Системы автоматизированного проектирования и мониторинга состояния элементов газонефтепроводов. Учебно-методическое пособие

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТНОЙ РАБОТЫ

3.1. Для расчёта амплитудно-частотной характеристики

Рассчитаем комплекснозначный коэффициент передачи – комплексная функция частоты.

K( j ) Aвих (j ) ,

Aвх( j )

где Aвх ( j ) - комплексная амплитуда входного сигнала, Aвих ( j ) - комплексная амплитуда отклика.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – K( j ) , а фазо-частотна

(ФЧХ) - arg K j . Расчёт АЧХ необходимо выполнять в диапазоне частот от fa до fb . Шаг изменения частоты может изменяться в зависимости от характера АЧХ. На участках резкого изменения амплитудно-частотной характеристики шаг изменения частоты целесообразно уменьшить. Расчёт значений АЧХ необходимо выполнять дополнительно для частот nF (n = 0 10, F = 1/T ), а также для частот экстремумов (при их наличии).

Ниже приводятся различные типы амплитудно-частотных характеристик, встречающихся в расчётной работе, которые помогут сориентироваться при выборе нижней fa и верхней fb частот рассчитываемого диапазона.

Для цепи второго порядка комплексный коэффициент передачи – дробнорациональная функция относительно j

K( jω) a2(jω)2 a1 jω a0

b2(jω)2 b1 jω b0

с положительными полиномиальными коэффициентами. В зависимости от того, какие коэффициенты числителя принимают нулевые значения, выборочная цепь осуществляет фильтрацию в разных областях частотного диапазона:

а) если a1 a2 0, K j передаточная функция полиномиального фильтра нижних частот (ФНЧ) з АЧХ, приведенной на рис. 3.1,

21

в) a2 a0 0, то K( j ) описывает полосной фильтр (ПФ), АЧХ которого приведена на рис. 3.3, её параметры:

(РФ).

Параметры АЧХ РФ связаны с полиномиальными коэффициентами комплексной передаточной функции следующим образом:

22

В зависимости от соотношения между K0 і K получаем различные типы режекторных фильтров. Для K0 > K имеем фильтр низких частот с режекцией на частоте 0 max , АЧХ которого приведена на рис. 3.4.

Для K0 < K получаем фильтр высоких частот с режекцией на частоте0 max , АЧХ такого фильтра изображена на рис. 3.5. Если 0 совпадает с

max , то получаем только режекцию на частоте 0, что возможно на малых потерях; АЧХ режекторного фильтра приведена на рис. 3.6.

3.2. К расчёту фазо-частотной характеристики

По определению arg[K(j )] фазо-частотная характеристика является зависимостью, преимущественно нисходящей с ростом частоты. Расчет ФЧХ

23

необходимо производить именно для тех же частот, которые выбраны для расчета амплитудно-частотной характеристики.

В общем виде имеем:

1( ) для полиномиальных фильтров – константа, которая зависит от типа

фильтра. Для ФНЧ 1( ) = 0, для ФВЧ 1( ) = , для СФ 1( ) , а для РФ в

2

зависимости от диапазона 1( ) приобретает различные значения. Для частот, находящихся ниже частоты режекции 0, 1( ) = 0, для частот выше 0 - 1( ) = , следовательно, на частой режекции наблюдается скачкообразное изменение фазо-часотной характеристики.

Кривая 2( ) для частот max с ростом изменяется от 0 до /2, так

3.3. К расчёту спектров входного сигнала и отклика

Временные характеристики – переходная h(t) и импульсная g(t) – определяются по операторной характеристике K(p).

Из-за того, что G(p) K(p) і H(p) K( p) p , то

7 (t) K(p), а h(t) K(p) .

p

Можем сначала вычислить h(t), а потом

24

g(t) = h(0) (t) + h(t).

Фильтры верхних частот и режекторные фильтры имеют h(0) 0, это говорит о том, что их импульсные характеристики содержат дельта-функцию.

Полиномиальные фильтры с комплексно-спряжёнными полюсами K(p) характеризуются времен7ными характеристиками с постоянной времени

2b2 . b1

3.4. Красчёту отклика на заданный входной сигнал спектральным методом

Комплексная форма ряда Фурье даёт возможность входной сигнал, являющийся периодическим сигналом, представить в следующем виде:

спектр фаз входного сигнала, , n = 1, 2…, m. Целое число m выбираем из условия Am≤0.1 A1{m≤10}.

Используя комплексную частотную характеристику цепи K(jω), комплексную амплитуду отклика цепи Anвих определяем следующим образом:

Посредством (3.2) определяем спектр амплитуд отклика, а (3.3) даёт возможность найти спектр фаз отклика. Постоянная составляющая отклика составляет:

25

Для расчёта числовых значений отклика шаг изменения времени находим по формуле

3.5. К расчёту временных характеристик и отклика цепи с их помощью

Временная характеристика h(t) может быть определена классическим методом в виде суммы свободной и вынужденной составляющих по формуле:

h(t)=hв(t)+hвим(t),

которые соответствуют общему и отдельному решению дифференциального уравнения. Для цепи второго порядка свободная составляющая определяется в следующем виде:

hв (t) A1ep1t A2ep2t

для простых корней характеристического уравнения p1, p2,и в следующем виде

hв(t) Ae t cos( вt ),

для комплексно-спряжённых корней p1,2 j в характеристического уравнения. В первом случае A1, A2, а во втором – А, – постоянные

26

интегрирования. Для нахождения корней характеристического уравнения знаменатель передаточной функции K(jω).

Знаменатель b2(jω)2 b1 jω b0 после смены jω на p необходимо приравнять кнулю. Вэтомслучае имеем:

b2 p2 b1 p b0 0,

Решая это уравнение, найдём р1, р2.

Вынужденную составляющую найдем при t→∞, то есть в установившемся режиме. Для нахождения постоянных интегрирования необходимо по схеме, используя законы Кирхгофа, определить h(0+) и h´(0+),

учитывая, что iL(0+)=0 uc(0+)=0

Импульсную характеристику g(t) определяем по переходной характеристике, используя следующую формулу:

g(t)=h(0)δ(t)+h´(t).

Фильтры верхних и режекторных частот имеют h(0)≠0, следовательно, их импульсные характеристики содержат дельта-функцию.

Расчет числовых значений временных характеристик выполняется в

действительных корней шаг ∆t можно увеличить.

Определить отклик на входной сигнал в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов можно с помощью переходной характеристики. На интервале t1 ≤ t ≤ t1+ τu

f2(t) H h(t t1).

Для t > t1 + τu

f2(t) H h(t t1) H h[t (t1 u )],

при подстановке t = T значение f2(t) становится бесконечно малой величиной, что дает возможность воспользоваться указанными формулами.

27

4. ПРИМЕР РАСЧЁТА

Значения, приведенные в табл. 1.1 (R – отмечены в омах, L – в микрогенри, C – в нанофарадах) параметров обобщенной схемы, приводятся в табл. 4.1.

Согласно обобщенной схеме, изображаем предложенную схему варианта расчёта.

Рис. 4.1. Анализируемая схема

4.1. Расчёт спектра входного сигнала

Используя табл. 4.1, представим параметры входного сигнала u1(t) в

табл. 4.2.

28

По спектру входного сигнала u(t) определяем спектр входного сигнала задержки u1(t) (рис. 4.2),

u(t) An , u1(t) Anвх An e j n t1 ,

где t1 – час задержки, t1=1 мкс.

Anвх Anвх ej nвх An ej n e j n t1An ej n n t1 .

Спектр амплитуд остаётся неизменным ( Anвх An), а спектр фаз входного сигнала u1(t):

nвх n n t1.

Данные расчетов заносим в табл. 4.3.

По результатам расчетов построим спектральные диаграммы входного сигнала (рис. 4.4).

Таблица 4.3

Расчет диапазона входного сигнала

30