x5∙= x10

= x

x

∙6

11

x

= x

∙

∙7

12

∙x

=

x13

3

x8

∙x2

основанная на цепных дробях. Пусть

α1

−

положительное

действительное

число. Положим

q1 = [α1 ]

− целая

часть

α1 , тогда

α = q + (α − q ) = q +

1

= q +

1

,

1

1

1

1

1

1

1

1

α

α2

=

2

α1 − q1

где

α1

− q1

−

α = q + (α − q ) = q +

1

= q +

1

,

1

2

2

2

2

2

2

α3

α2 − q2

α3

=

1

α2

− q2

где

и т. д.;

α

= q +

1

,

i

i

αi+1

qi

= [αi ] ,αi+1

=

1

.

αi − qi

где

Окончательно имеем:

α1 = q1 +

1

q2 +

1

q3

+ L

1

qi +

1

αi − qi .

Представление

числа α1

в

вышеуказанном виде

называется

α = m

разложением его в цепную дробь. При рациональном

1

n цепная

δ

1

= q1

=

P1

Выражение

1

Q1

называется первой подходящей дробью

числа α1 . Здесь P1 = q1,Q1 = 1.

δ

= q +

1

= q2 ×q1 +1

=

q2 ×P1 + P0

= P2

,

2

1

Выражение

q

q + 0

q ×Q + Q Q

где

2

2

2

1

0

2

δ

= q +

1

= q +

q3

=

q1q2q3 + q1 + q3

=

1

3

1

q2 +

1

q2q3 +1

q2q3 +1

q3

= q3 (q1q2 +1) + q1

=

q3P2 + P1

=

P3

q3q2 +1

q3Q2 + Q1

Q3

− третья подходящая дробь. При

этом P3 = q3P2

+ P1,Q3 = q3Q2 + Q1.

δ

=

P

=

q P−

+ P−

2

,

3

i

1

i 1

i

Q

q Q −

+ Q

−

2

i

i

i 1

i

где

P = q P−

+ P−

,Q = q Q

− + Q −

2 .

i

i i 1

i 2

i

i i 1

i

Одним из важных свойств цепных дробей является тот факт, что

P

если несократимая дробь Q удовлетворяет неравенству

α

1

−

P

≤

1

,

Q

2Q2

P

то

Q − одна из подходящей дробей числа α1 . Виннер предложил

использовать цепные дроби для атаки на RSA. Оказывается, что если

1

kc <

1 ×n4

секретный ключ

3

(n –

модуль), то выполняется неравенство

k0

−

k

<

1

k

n

kc

2k02

и,

следовательно,

kc

−

подходящая

дробь для

k0

= 1+ kϕ(n) ),

рациональной дроби

n (здесь k0

− открытый ключ, k0kc

Q = q Q −

+ Q − ,Q = 0,Q = 1,α = k0

,q = [α

]

, αi+1 =

1

αi − qi

i

i

i 1

i 2

0

1

1

n

i

i

является секретным ключом kc .

Рассмотрим работу этого алгоритма на простом примере. Пусть

n

=

7387

=

×

k

0

= 2405

. Зная p,

q, можно

определить

k

c

= 3

.

83 89 и

k0 =

2405 = 0 +

1

= 0 +

1 .

n

7387

7387

3 +

172

2405

2405

На этом этапе Q2

= q2 ×Q1 + Q0 = 3×1+ 0 = 3 − секретный ключ.

Замечание: при

определении

секретного ключа kc каждый

построим

несекретную

(открытую)

последовательность

a = { a1,a2 K am} ,

где

ai = (w×bi )modn

. Сообщение

T0

= { x1

, x2 K xm}

,

являющееся

набором

нулей

и единиц,

шифруется

по

правилу

Tа =x

a +x

+ Ka +x

m

1

2 2

m

m

=a x

i

ш

1

å i

i=1

.

Для нахождения открытого текста получатель по имеющемуся w

вычисляет w−1mod n и находит

m

m

m

w−1 ×Tш = å(w−1ai )xi = å(w−1w)bi xi = åbi xi = S.

i=1

i=1

i=1

Так как получатель знает секретную последовательность b , то

m

ему

остается

только

решить

уравнение

åbi xi = S

относительно

i=1

неизвестных

x1, x2 K xm ,

т.

е.

найти открытый

текст

T0 .

Быстрорастущая последовательность чисел { b1,b2 K bm}

позволяет

легко осуществить это по следующему алгоритму: если

S ³ bm , то

x =1

,

иначе

(S < b ) x = 0

. Далее, если

S - b ³ b −

x − = 1,

m

m

m

m

m

1 , то

m 1

иначе

x −

= 0.

В общем виде если

m 1

m

S - å bj xj ³ bi ,

то xi = 1, иначе xi = 0.

j=i+1

Индекс i принимает значения m,m −1,K 2,1.

Этот

метод можно

пояснить

на простом

примере: если

из

пытаемся извлечь груз весом

b −

. Если это удается сделать, то вес

m

1

рюкзака станет равным

S - b

- b

−

, т. е.

x −

= 1.

В противном случае

m

m

1

m 1

А Б В Г Д Е Ж З И Й К

Л М Н О П

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ

Ы

Ь Э Ю Я

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27 28

29

30

31

Модуль n возьмем равным 32, множитель wНОД= 3(

(3,32) = 1),

должна храниться в секрете. Используя

ее, находим координаты

открытого

(несекретного)

вектора

a = { a1,a2 ,a3

,a4

,a5}

по формуле

ai = (wbi )mod n :

a1 = (3×1)mod32 = 3,

a2 = (3×2)mod32 = 6 , a3 = (3×4)mod32 = 12;

a4 = (3×8)mod32 = 24 , a5 = (3×16)mod32 = 16.

В итоге a = { 3,6,12,24,16} .

TПЧЕЛА= {

}

Зашифруем

сообщение

0

.

Представим

буквы

сообщения

5-битовыми

словами, используя

нумерацию

букв

в алфавите:

П −15 = { 01111} ; Ч − 23 =

{10111} ;

Е − 5 = { 00101} ;

Л −11 = { 01011} ;

А − 0 = { 00000} .

Шифруем сообщение:

i=1

Ъ – 26.

(11×26)mod32 = 286mod32 = 30.

Первую букву открытого текста (5-битовое слово) находим из

решения уравнения:

1×x1 + 2 ×x2 + 4 ×x3 + 8 ×x4 +16 ×x5 = 30.

Согласно

алгоритму т. к. 30>16, то

x5

= 1.

Вычисляем

30 −16 = 14 > 8,

тогда x4 = 1. Далее аналогично: 14 − 8 = 6 > 4 , x3 = 1;

6 − 4 = 2 = 2 , x2 = 1; 2 − 2 = 0 < 1, x1 = 0.

1´x + 2 ´x

+ 4´x

+ 8´x

+16´xЧ= 29 Þ {10111} = 23 -

1

2

3

4

5

.

Ь – 28.

(11×28)mod32 = 308mod32 = 20.

1´x + 2 ´x

+ 4´x

+ 8´x

4

+16´xЕ= 20 Þ { 00101} = 5 -

1

2

3

5

.

1´x + 2 ´x

+ 4 ´x + 8´x

+16´xЛ= 26 Þ { 01011} =11-

1

2

3

4

5

.

находят отношение

æ

b

ömod n =

æ k0k

´T0

ömod n =

æ

pkkc ´T0

ömod n = T .

ç

ç

kc ¸

ç

p

kkc

¸

p

kkc

¸

0

è a

ø

è

ø

è

ø