Основные главы элементарной физики. Механика. Конспект лекций

Векторы скорости и ускорения на траектории движения

Третий закон Ньютона

Для двух взаимодействующих тел a, b:

Fab = −Fba ,

где Fab – cила действия на тело b со стороны тела a численно равна и противоположна Fba – силе, действующей на тело a со стороны

тела b. По третьему закону Ньютона при взаимодействии тел силы всегда возникают парами; силы направлены в противоположные стороны и приложены к разным телам. Для замкнутой (изолированной)

Основные задачи. 1. Движение тела под действием силы. 2. Движение связанных тел. Натяжение невесомой нерастяжимой веревки. 3. Натяжение веревки, имеющей погонную плотность. 4. Блоки. 5. Тело на наклонной плоскости. 6. Дорога движет автомобиль.

Закон всемирного тяготения (Ньютон, 1665 г.):

r – соответственно расстояние между частицами, вектор r r – еди-

ничный вектор, направленный вдоль вектора r . Тела притягиваются друг к другу: вектор силы гравитационного взаимодействия тел (вектор силы тяжести) направлен против направления вектора r .

G = 6, 67 10−11 Н×м2 /кг2 – универсальная гравитационная постоянная.

Поле тяжести

Напряженность гравитационного поля, поле тяжести, создавае-

Вблизи Земли поле тяжести близко к однородному полю, при этом ускорение свободного падения g 9,8 м/с2 .

Задача о поле внутри однородного шара, сферы. Степень однородности гравитационного поля Земли.

VI. Работа. Энергия. Закон сохранения механической энергии

ние силы, действующей на тело, на перемещение dl :

A = F l = ma l = m( v / t) l = m( l / t) v = mv v .

В общем случае для произвольного вектора v можно записать:

22

(vv) = (vx2 + vy2 ) = 2(vx vx + vy vy ) = 2v v = v2 .

Поэтому

Силу, действующую на тело, можно разложить на две составляющие – проекции: параллельную и перпендикулярную перемещению

l . Точно так же можно разложить и мгновенную скорость частицы. Работу совершает только первая часть силы. За счет действия силы меняется параллельная проекция скорости; перпендикулярная проекция скорости при этом сохраняется. При изменении скорости частицы меняется ее кинетическая энергия. Иначе говоря, справедлива

теорема о кинетической энергии: работа силы равна изменению кинетической энергии тела.

Работа консервативной силы на криволинейной траектории Консервативной называется сила (соответственно, консерватив-

Работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю:

A = b F dl + a F dl =

a b

U (r1 ) −U (r2 ) + (U (r2 ) −U (r1 )) = 0

23

Справедливо и обратное утверждение: если работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю, то такая сила (поле) является консервативной, т.е. работа силы не зависит от формы траектории.

Однородным называется поле, сила действия которого не зависит от координат.

Близким к однородному полю является поле тяжести вблизи

Элемент работы в декартовых координатах

dA = F dl = Fxdx + Fydy + Fzdz .

При перемещении их точи А в точку Б совершается работа

Функцию U называют потенциальной энергией тела в поле тяжести.

Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии тела:

A = − U .

«Без ограничения общности» можно положить U(0) = 0 , т.е.

U = mgy .

Однородное поле тяжести является консервативным полем, поскольку

24

Пусть тело находится в некотором силовом поле, например поле тяжести, и приводится в движение этим

потенциальная энергия тела.

В этих обозначениях работа силы

убыли его потенциальной энергии U .

Ракета в поле тяжести

Окончательно:

Следовательно, справедлива теорема о полной механической энергии тела: работа силы равна изменению полной – потенциальной и кинетической энергии тела.

При f = 0

Таким образом, выполняется закон сохранения механической энергии: если тело находится в поле тяжести, а другая сила (кроме силы тяжести), действующая на тело, равна нулю, полная механическая энергия тела сохраняется.

25

действующей на тело, на время ее действия. Второй закон Ньютона в конечных разностях

Импульс действующей на тело силы (импульс силы) равен изменению импульса тела.

Выполняется закон сохранения импульса:

Если на тело не действует сила, его импульс сохраняется.

Рассмотрим систему взаимодействующих тел (силы взаимодей-

Складывая левые и правые части системы уравнений, получим:

Поскольку суммирование идет по одним и тем же частицам,

Fi t = Fj t .

Сумма изменения импульсов частиц равна изменению импульса системы:

суммарный импульс силы внешних по отношению к системе сил равен изменению импульса системы.

Если сумма внешних сил равна нулю, т.е. если Fi = 0 , то

P = 0 , и, соответственно,

26

Для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса:

импульс замкнутой системы тел сохраняется.

Система центра инерции

Можно выбрать систему отсчета, в которой полный импульс ча-

стиц равен нулю: P = 0 . Относительно лабораторной системы отсчета ее скорость определяется из соотношения:

V = P / mi = miVi / mi = mi ri / mi = R .

Количество таких систем отсчета бесконечно.

Одна из движущихся со скоростью V систем отсчета, радиус-век- тор начала отсчета которой определяется из соотношения

R = mi ri / mi ,

называется системой центра инерции (ЦИ) тел. Скорость движения системы ЦИ в лабораторной системе определяется как полная производная от выражения для радиус-вектора ее начала:

соотношение:

miri = 0 .

27

Точку, относительно которой выполняется приведенное соотношение, еще называют центром масс.

щихся друг от друга на расстоянии X, расположен на линии, их соединяющей. Координата первой частицы относительно центра масс

x1 = Xm2 /(m1 + m2 ) , второй частицы x2 = −Xm1 /(m1 + m2 ) . Ось X направлена от второй частицы к первой.

Может оказаться, что центр масс находится вне тела. Так, центр масс колеса находится на его оси.

Столкновение частиц

Упругим называется столкновение частиц, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. При этом сохраняется полный импульс частиц и суммарная кинетическая энергия.

Рассмотрим столкновение двух частиц. В системе ЦИ такой процесс выглядит наиболее просто. Полный импульс равен нулю, поэтому до и после столкновения импульсы частиц равны по величине и противоположны по направлению. По закону сохранения энергии остаются неизменными и абсолютные значения импульсов. Массы частиц при ударе также не меняются. Поэтому в системе ЦИ при упругом столкновении двух частиц происходит поворот их скоростей, остающихся неизменными и противонаправленными.

В лабораторной системе отсчета упругое столкновение двух частиц также определяется законами сохранения.

Пусть одна из частиц до удара покоилась. Для импульса и энергии частиц можно записать.

Возведя первое уравнение в квадрат, получим:

Для частиц одинаковой массы из приведенных соотношений получаем

Скалярное произведение векторов скоростей равно нулю, поэтому в лабораторной системе отсчета возможны два варианта. В

28

первом случае после столкновения обе скорости отличны от нуля и частицы разлетаются под прямым углом. Во втором случае первая

емому центральному удару.

Центральным называется столкновение (удар), при котором импульсы частиц до и после столкновения лежат на одной прямой. В системе ЦИ при упругом центральном ударе двух частиц их скорости меняют знак, оставаясь на той же прямой и неизменными по величине.

Неупругим называется удар, при котором часть энергии переходит во внутреннюю энергию тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что при столкновении двух тел образуется одно тело с общей массой. В системе ЦИ скорость этого тела равна нулю, вся кинетическая энергия тел в результате столкновения переходит во внутреннюю энергию образовавшегося тела.

VIII. Закон Гука. Гармонические колебания

Силы упругости – силы, возникающие при удлинении пружины, стержня. При относительно небольших удлинениях сила упругости пропорциональна удлинению и направлена в сторону, противоположную направлению удлинения тела (закон Гука 1676 г.):

с жесткостью k . На тело действует сила упругости пружины

F = −kx.

29

По второму закону Ньютона

F = −kx = ma = mx .

Соответствующее уравнение движения тела, прикрепленного к пружине, будет иметь вид:

mx + kx = 0 ,

Данное дифференциальное уравнение второго порядка описывает гармонические колебания тела около положения равновесия.

Решение уравнения имеет вид:

лебаний в секунду.

Для простоты далее положим φ = 0.

Дифференцируя координату по времени, получим скорость тела

и ускорение тела в процессе колебаний.

Из приведенных уравнений видно, что скорость колеблющегося тела «опережает» по фазе координату на угол π / 2 , ускорение «опережает» по фазе скорость на угол π / 2 , координата тела и ускорение находятся в противофазе.

30