Основные главы элементарной физики. Механика. Конспект лекций
.pdf
I = lim |
yi |
x |
i |
|
x |
→0 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
=
x2
x1
y(x)dx
.
Здесь аргумент изменяется в пределах от х1 до х2. xi = xi+1 − xi . Значение функции yi выбирается в диапазоне изменения аргумента
от |
xi до xi+1 . |
|
|
|
|
|
|
Первообразная функция. |
|
|
|
|
|
|
Если существует такая дифференцируемая функция Y(x) , что |
|||||
|
dY / dx =Y |
|
= y(x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то такая функция Y(x) является первообразной для функции |
y(x) . |
|||||
|
Неопределенный интеграл: |
|
|
|
|
|
|
y(x)dx = Y (x) + const – множество всех первообразных. |
|||||
|
Здесь Y(x) – первообразная функции y(x) : Y |
|
= y(x) . Первооб- |
|||
|
|
|||||
разная определена с точностью до константы:
Y1 (x)
= Y2 (x) + const
;
|
dy(x) |
dx = |
|
dx |
|||
|
|
y(x) + const
.
Формула Ньютона–Лейбница:
x |
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
||
|
y(x)dx = Y (x |
|
) −Y (x ) |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
где Y(x) – первообразная функции y(x) .
,
Пример: вычисление пройденного вдоль траектории пути по известной скорости в каждый момент времени.
Задача перед лекцией: зеркальная симметрия. Задача об отражении в зеркале.
11
III.Движение по траектории
Траектория частицы. Путь. Перемещение. Скорость. Скорость средняя. Скорость мгновенная. Ускорение. Угол. Мера угла. Скорость угловая. Ускорение угловое, тангенциальное, нормальное (центростремительное). Движение с постоянным ускорением. Движение в поле тяжести. Уравнение траектории. Радиус кривизны траектории. Скорость частицы в декартовых координатах. Производная от вектора.
Траектория частицы – кривая, по которой движется частица в пространстве / на плоскости.
Путь – длина участка траектории, пройденного за рассматривае-
мый отрезок времени: S = S(t) .
Путь – сумма длин участков траектории:
S = lim |
|
S |
i |
= lim |
i |
t |
i |
|
||
|
|
v |
|
. |
||||||
S |
→0 |
|
|
|
t |
→0 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Путь – интеграл от скорости по времени в пределах от
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
S = |
|
V (t)dt = S(t |
|
||
|
|
) − S(t |
) |
||
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t1
до
t |
2 |
|
:
Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения частицы. Может быть равно нулю – тело вернулось в исходную точку.
Пример – перемещение за день, от кровати до кровати. Скорость средняя (модуль) – полный путь на полное время.
Vср = S / t = Si |
/ ti . |
|
|
|
Пример – пароход на реке. |
|
|
|
|
Скорость мгновенная: |
|
|
|
|
V = lim |
r |
. |
|
|
t |
|
|
||
t →0 |
|
|
|
|
Мгновенная скорость направлена вдоль вектора |
r |
– по каса- |
||
тельной к траектории. |
|
|
|
|
На траектории движения мгновенная скорость: |
|
|
||
V = lim |
Si . |
|
|
|
ti →0 |
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Ускорение: |
|
|
|
|
a = lim |
v |
|
|
|
|
|
|
||
t |
= dv / dt = v (t) . |
|
|
|
t →0 |
|
|
|
|
Ускорение – вектор. Направление – вдоль вектора |
v . Угол |
|
||
|
||||
между вектором скорости и вектором ускорения – произвольный и
лежит в пределах |
0 . |
|
|
При = 0 и |
= |
тело движется |
по прямой линии. При |
|
|||
= / 2 тело движется по окружности. |
В этом случае ускорение |
||
направлено к центру окружности, по которой движется тело. Пример – скорость и ускорение на параболе – траектории движе-
ния в однородном поле тяжести.
Угол – часть плоскости между двумя лучами, проведенными из
одной точки. |
|
Мера угла – отношение длины l |
дуги окружности, отсекаемой лу- |
чами на окружности с центром в точке пересечения лучей, к радиусу
R этой окружности: |
|
|
|
|
|
|
= l / R . |
||
Если l = R , угол |
=1 |
радиан. |
|
|
Скорость угловая: |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|||
|
t |
= . |
||
|
|
t →0 |
|
|
Из приведенных соотношений при постоянном радиусе следует:
Здесь
ности.
V
=dl = l dt
|
|
|
= l / R или V = R . |
– линейная скорость движения точки по окруж-
ω – псевдовектор.
Пусть при движении по окружности (например, Земли вокруг
Солнца) с угловой скоростью ω ее радиус-вектор |
r |
переходит в ра- |
диус–вектор |
|
= |
|
+ |
|
. Вектора |
r , r |
, ω |
образуют правую тройку |
||||
r |
r |
r |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
векторов: если смотреть из конца вектора |
, то при вращении век- |
||||||||||||
тора |
r |
к вектору r1 движение вектора |
r |
происходит против часовой |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
стрелки.
13
Ускорение угловое:
ε=ω .
Ускорение угловое – псевдовектор: вектора
r , ω, ε
образуют пра-
вую тройку векторов.
Ускорение тангенциальное (касательное к траектории движе-
ния) – при движении в плоскости проекция полного вектора ускорения на мгновенную скорость частицы.
Ускорение центростремительное (нормальное к траектории движения) – при движении в плоскости проекция полного вектора ускорения на перпендикуляр к мгновенной скорости частицы.
Радиус кривизны траектории – радиус наибольшей окружности, касательной траектории в данной точке движения.
Движение частицы в декартовых координатах
Радиус-вектор частицы в момент времени t задается тремя (двумя, одной) функциями:
r = r (t) = i x(t) + jy(t) + kz(t) = (x(t), y(t), z(t) = (x, y, z) . r(t + t) = (x(t + t), y(t + t), z(t + t)) .
Производная от вектора
Приращение радиус-вектора:
r = r (t + t) − r (t) = i x(t) + j y(t) + k z(t) .
Скорость частицы – производная радиус-вектора:
V = lim |
r |
, |
|
t |
|||
t→0 |
|
V = lim |
i x + j y + k z |
= i x |
+ jy |
+ kz |
= i V |
|
+ jV |
|
+ kV |
z , |
||||||||
t |
x |
y |
||||||||||||||||
t →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
V = i Vx + jVy + kVz . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В конечных разностях r = Vср t .
В пределе при t → 0 средняя скорость переходит в мгновенную скорость, направление вектора перемещения и вектора мгновенной скорости совпадают. Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.
14
Модуль (величина) скорости:
V 
= (Vx2 +Vy2 +Vz2 )1/ 2 ,
Vx |
= x(t) . |
|
|
Ускорение частицы в декартовых координатах:
a = i a |
x |
+ ja |
y |
+ ka |
. |
|
|
z |
|
Равномерное движение.
В этом случае скорость не зависит от времени:
|
V (t) = V0 , |
где V0 |
– постоянный вектор. |
Радиус-вектор частицы: |
|
|
r = r (t) = r0 + V0t , |
где r0 |
– значение радиус-вектора частицы при t = 0. |
|
r = V0 t . |
Направление вектора перемещения и вектора скорости совпадают. На координатной плоскости (в пространстве) частица двигается по прямой линии.
Задача – векторы скорости и ускорения на траектории движения. Задача перед лекцией: свечка во вращающейся комнате.
IV. Инвариантные и относительные величины. Преобразования Галилея
Инвариантность. Относительность
Инвариантными величинами движения называются такие, которые сохраняются при переходе из одной системы отсчета в другую.
Например, сохраняется временной интервал, длина отрезка, линейки, масса тела и т.д. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую инерциальную систему сохраняется величина ускорения тела.
15
Относительными величинами называются такие, которые меняются при переходе из одной системы отсчета в другую. В кинематике это координаты тела, перемещение, скорость. Если хотя бы одна из систем отсчета является неинерциальной, то при переходе может меняться и ускорение тела.
Преобразования Галилея
|
|
|
Z´ |
|
|||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y´ |
|
|
|
|
|
X´ |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
X |
Системы отсчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в лабораторной системе отсчета XYZ |
с началом координат |
||||||
в точке O движется частица, при этом ее текущий радиус-вектор |
r . |
||||||
Соответственно, |
|
|
|
|
|
||
скорость частицы в этой системе отсчета v = r , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ускорение a = v |
= r . |
|
|
|
|
||
Пусть относительно лабораторной системы |
O движется система |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ра- |
отсчета X Y Z |
|
с началом в точке O . При этом в системе XYZ |
|||||
диус-вектор точки O равен R , скорость движущейся системы |
O |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно лабораторной (относительная скорость) V = R . |
|
||||||
В движущейся системе отсчета радиус-вектор частицы r , ско-
|
, ускорение a |
|
|
|
|
. |
рость v = r |
|
= v |
|
= r |
В механике Ньютона предполагается, что время во всех системах отсчетах течет одинаково, время абсолютно: t = t .
16
Тогда справедливы соотношения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= R + |
|
|
||||
r |
r |
|
||||||
r |
|
|
+ r |
|
||||
= R |
или |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
= R |
+ r |
|
|||||
t = t
r = R v =V a =V t = t
+r
+v
+a
.
Если относительное ускорение движущейся системы отсчета
|
|
|
= 0 , то величина ускорения частицы сохраняется: |
равно нулю, т.е. V |
|||
a = a |
|
. Например, ускорение инвариантно относительно перехода |
|
|
|||
из одной инерциальной системы отсчета в другую инерциальную си-
стему. Это следует из того, что в этом случае V = const . Координаты и время в одной инерциальной системе отсчета с ко-
ординатами и временем в другой инерциальной системе отсчета связаны соотношениями:
R0
r = R +Vt + r |
|
|
0 |
. |
|
t = t |
||
|
Если в первый момент времени начала систем отсчета совпадают, =0, приведенные соотношения имеют вид:
r =Vt + r
t= t
Втаком виде это преобразования Галилея.
V.Динамика. Законы Ньютона
Основные понятия. Уравнения движения. Законы сохранения. Масса. Инерция. Импульс частицы и системы частиц. Сила. Принцип суперпозиции. Сила трения. Первый закон. Второй закон. Третий закон. Принцип относительности Галилея. Закон всемирного тяготения. Вес тела. Сила реакции опоры. Невесомость. Движение по параболе в однородном поле тяжести.
17
Основные понятия Уравнения движения – соотношения, связывающие ускорение ча-
стицы с координатами и скоростями.
Законы сохранения – соотношения, определяющие инвариантные (неизменные) величины при движении системы.
Масса – характеристика внутреннего состояния частицы, определяющая ее энергию (E = mc2), «интенсивность» гравитационного взаимодействия с другими частицами (F = GmM/r2), «интенсивность» сопротивления изменению скорости (F = ma) – мера инерции.
Инерция – способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения. Тело двигается «по инерции…».
P
Импульс
= |
i i |
mV |
частицы
.
P = mV
, импульс системы частиц
Импульс – вектор, как и скорость. Сила – мера взаимодействия тел.
Принцип суперпозиции – суммарное действие независимых причин равно сумме действий этих причин.
Замкнутая система – система, не подверженная действию внешних сил.
Сила трения покоя и скольжения – силы, возникающие при сколь-
жении тел. Приложены в точке взаимодействия тел и лежат в касательной плоскости. Направлены против вектора возможного смещения или скорости.
Тяготение – свойство масс взаимодействовать на расстоянии. Одно из четырех фундаментальных взаимодействий (сильное, слабое, электромагнитное, гравитационное).
Вес – сила действия тела на опору.
Сила реакции опоры – сила, возникающая при контактном взаимодействии тел. Приложена к телу в точке взаимодействия тел и направлена по нормали к касательной плоскости.
18
Законы Ньютона
Первый закон Ньютона – закон инерции.
Существуют системы отсчета, в которых тела, свободные от внешних воздействий, движутся прямолинейно и равномерно. Такие системы отсчета называют инерциальными.
Следствие: если на тело не действует сила, тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения.
Принцип относительности Галилея.
Механические явления (законы) одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Инерциальные системы отсчета эквивалентны.
Время абсолютно. Для полного совпадения необходима одинаковость начальных условий.
Второй закон Ньютона:
F = ma .
Такое уравнение называется также уравнением движения тела. Для системы тел:
Fi = mi ai .
Движение по параболе в однородном поле тяжести
Поскольку
F = ma = i F + jF + kF = m(i a |
x |
+ |
||
x |
y |
z |
|
|
ja |
y |
|
+
ka |
z |
|
)
,
уравнение движения и, соответственно, собственно движение тела распадается на три явно не зависимых движения по трем координатам:
|
|
Fx = ma x ; Fy = ma y ; Fz |
= maz . |
|||||
Поле тяжести направим по оси Y, т.е. оси координат расположим |
||||||||
так, что |
Fx = Fz |
= 0 . Тогда ax = az = 0 |
, |
ay |
= −g и соответствую- |
|||
щие уравнения движения имеют вид: |
|
|
|
|||||
|
|
Fx |
= ma x |
= mdvx |
/ dt = 0 |
; |
|
(1) |
|
|
Fy |
= ma y |
= mdv y |
/ dt = −g ; |
(2) |
||
|
|
Fz |
= maz |
= mdvz |
/ dt = 0 . |
|
(3) |
|
19
|
Пусть |
из |
|
пушки |
|
выстреливают снаряд со скоростью |
||||
V |
= i V |
x0 |
+ jV |
y0 |
+ kV |
z0 |
, т.е. |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Vx |
(0) = Vx0 |
, Vy (0) = Vy 0 |
, Vz (0) = Vz 0 . |
||||
Расположим пушку в начале координат. Еще одно условие на расположение пушки: «без ограничения общности» можно положить
Vz 0 = 0 . Тогда решение системы (1), (2), (3) при оговоренных началь-
ных условиях будет иметь вид: |
|
|
|||
vx (t) = Vx0 ; v y (t) = Vy 0 |
− gt ; vz (t) = Vz 0 = 0 . |
||||
Соответственно |
|
|
|
|
|
x(t) = V |
x0 |
t ; |
y(t) = V |
y0 |
t − gt 2 / 2 ; z(t) = 0 . |
|
|
|
|
||
Из последнего уравнения видно, что траектория движения снаряда в однородном поле лежит в одной плоскости XY , т.е. в плоскости Z = 0 .
Из последних уравнений находим явный вид зависимости коор-
динаты y от координаты |
x |
при полете снаряда по траектории – |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
уравнение траектории: |
|
V |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
x − g |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y 0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V |
|
|
|
|
|
2V |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Снаряд двигается по параболе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
V V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
y 0 |
|
|||
Максимальная высота полета |
yм акс |
= |
|
, при этом |
x = |
x0 |
. |
|||||||||
2g |
g |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
V |
|
V |
y 0 |
|
|
|
|
|
|
||
В точке падения снаряда |
xм акс |
= 2 |
|
|
x0 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время подъема до верхней точки |
|
= |
V |
y 0 |
. Время полета равно |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
g |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
времени спуска. Траектория симметрична относительно верхней точки полета.
20