Дифференциальные уравнения. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТПЕТРАВЕЛИКОГО

Физико-механический институт

Кафедра высшей математики

Ф. И. Копелевич И. В. Оханцева

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Ч а с т ь 1

Учебное пособие

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург

2022

Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation

PETER THE GREAT ST. PETERSBURG

POLYTECHNIC UNIVERSITY

Institute of Physics and Mechanics

Department of Higher Mathematics

F. I. Kopelevich I. V. Okhantseva

DIFFERENTIAL EQUATION

P a r t 1

Training manual

Peter the Great

St.Petersburg Polytechnic

University

Saint Petersburg

2022

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие посвящено дифференциальным уравнениям, являющимся ядром курса высшей математики. Представлен теоретический материал для выполнения заданий (в форме главных положений курса). Приведены способы решения основных видов дифференциальных уравнений и примеры решений.

Авторы надеются, что представленный материал будет полезен студентам инженерных специальностей.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение1.Дифференциальным уравнением называется урав-

нение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных,эти переменные и производные различныхпорядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от не-

скольких – уравнением в частных производных.

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде

где F = F (x1, x2, , xn+2 ) – некоторая известная функция от n + 2

переменных, n ≥ 1.

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет следующий вид:

где f = f (x1, x2, , xn+1)–некотораяфункцияотn+1переменной.

5

Порядокnстаршейпроизводной,входящейвзаписьуравнения

(1)или (2), называется порядком уравнения.

Пр и м е р ы:

1)y′-2xy2 +5=0 – уравнение первого порядка;

2)y′′′= y sinx - y′′y5 +5x – уравнение третьего порядка.

Определение 2. Решением, или интегралом, дифференциального

уравнения n-го порядка называется функция y = ϕ(x), имеющая на некотором интервале (a, b) (может быть a = –∞, b = +∞) производ-

ные y′(x), y′′(x),..., y(n) (x)до порядка n включительно и удовлет-

воряющая этому уравнению, то есть выполняется тождество по x: F (x, y, y′, y′′, , y(n))≡0, x (a, b).

Здесь функция y = ϕ(x) непрерывна на интервале (a, b) вместе со своими производными до порядка n – 1 включительно и имеет на (a, b) производную n-го порядка y(n) (x). Будем считать, что

y(n) (x)также непрерывна.

Задача о нахождении решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

График решения y = ϕ(x), x ϕ(a, b), дифференциального уравнения (1) на плоскости Оху называется интегральной кривой.

Например, рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка y′(x)= f (x), где f(x) – известная функция,

определенная и непрерывная на некотором интервале (a, b) оси Ох: y =y(x) – искомая функция независимой переменной x. Решениями этого уравнения являются первообразные функции для

x

f(x), то есть y (x)= ∫ f (x)dx +C, где x0, x (a, b). Такое решение на-

x0

зывается общим решением дифференциального уравнения, так как, придавая постоянной С различные значения, получают бесконечное множество решений уравнения y′= f (x).

Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение y =ϕ(x,C1,C2, ,Cn ), которое является функцией переменной x

6

и n произвольных независимых постоянных C1,C2, ,Cn (то есть между постоянными отсутствуют какие-либо соотношения).

Определение 4. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых значениях постоянных C1,C2, ,Cn.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим подробнее дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение 5. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь x – независимая переменная, y = y(x) – неизвестная функция, F (x, y, y′)– известная функция трех переменных. Урав-

нение (3) является уравнением общего вида, оно неразрешимо относительно производной.

Уравнение вида

где f(x, y) – известная функция двух переменных, называется диф-

ференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Часто используется следующая запись дифференциального уравнения:

где M(x, y) и N(x, y) – известные функции переменных х и у. Урав-

нение (5) имеет симметричную форму.

Здесь переменные х и у равноправные.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: y′(x)= f (x, y).

7

Пустьфункцияf(x, y)определенаинепрерывнавнекоторойобласти D плоскости Оху. В этом случае говорят, что уравнение y′= f (x, y)задано в области D.

Определение 6. Функция y = ϕ(x) называется решением уравнения (4) в промежутке a,b, если:

1)ϕ(x) дифференцируема на a,b;

2)точка (x, ϕ(x)) D x a,b;

3)ϕ′(x)= f (x, ϕ(x)) x a,b.

Функция f(x, ϕ(x)) непрерывна на промежутке a,b как суперпозиция непрерывных функций. Следовательно, и функция ϕ′(x) непрерывна на a,b.

Это означает, что любое решение уравнения (4) непрерывно дифференцируемо на промежутке a,b.

Решение уравнения (4) может быть получено также в неявной или параметрической форме.

Решение в неявной форме имеет вид

При этом предполагается, что соотношение (6) определяет у какфункциюотпеременнойх(y =ϕ(x), x a,b),котораяявляет-

ся решением уравнения (4) на промежутке a,b. Параметрическая форма решения уравнения (4) имеет вид

И здесь предполагается, что соотношения (7) определяют у как функцию от х(y =ϕ(x), x a,b), которая является решением (4)

на промежутке a,b.

Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л у р а в н е н и я y′= f (x, y )

Определение7.Есликаждойточкенекоторойобластипоставлено в соответствие одно и только одно направление, то говорят, что в этой области задано поле направлений.

8

Рассмотрим дифференциальное уравнение y′= f (x, y) более подробно.

Пусть D – область, в которой определена и непрерывна функция f(x, y). Построим в области D поле направлений. Для этого в каждой точке (x0, y0 ) D проведем отрезок, например, единич-

ной длины, исходящий из данной точки, так чтобы он составил с положительным направлением оси Ох угол a, притом tgα =

= f (x0, y0 ).

Пусть функция y =ϕ(x), x a,b, является решением уравнения (4), график которого l проходит через точку (x0, y0). Так как функция y = ϕ(x) – решение уравнения (4), то для ее производной справедливо следующее равенство: ϕ′(x)= f (x, ϕ(x)) x a,b.

В частности, это равенство выполняется и в точке (x0, y0), то есть ϕ′(x0 )= f (x0, ϕ(x0 ))= f (x0, y0 ). Но ϕ′(x0 )– тангенс угла наклона касательной к графику функции y = ϕ(x) в точке (x0, y0) (рисунок).

Таким образом, интегральная кривая уравнения (4) в каждой своей точке имеет касательную, совпадающую с направлением поля в этой точке. Верно и обратное: всякая кривая, расположенная в области D и касающаяся в каждой своей точке направления, имеющегося в данной точке, является интегральной кривой урав-

ния поля.

9

Определение 8. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной.

Все интегральные кривые, пересекающие изоклину, в точках пересечения наклонены к оси Ох под одним и тем же углом.

Уравнение семейства изоклин имеет вид f(x, y) = k.

З а д а ч а К о ш и. Пусть наряду с дифференциальным уравне-

нием y′= f (x, y)задано начальное условие

Задача нахождения решения дифференциального уравнения (4), удовлетворяющего начальному условию (8), называется зада-

чей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть в дифференциальном уравнении y′= f (x, y) функция f(x, y)

и ее частная производная ∂f непрерывны на открытом множестве

∂y

D координатной плоскости Оху. Тогда:

1) для любой точки (x0, y0) множества D найдется решение y = y(x) уравнения (4), удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0(x);

2)еслидварешенияy = y1(x)иy = y2(x)уравнения(4)совпадают хотя бы для одного значения x = x0, то есть y1(x0) = y2(x0), эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. То есть если решение задачи Коши существует, то оно единственно.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что через каждуюточку(x0,y0)множестваD проходитоднаитолькооднаинтегральная кривая уравнения (4).

Пусть функция y =ϕ(x,C ), зависящая от переменной x и про-

извольной постоянной С, является общим решением дифференциальногоуравнения(4).Функция y =ϕ(x,C0 ),которуюполучают

из общего решения при определенном значении постоянной C = C 0 после подстановки начальных условий, называется част-

ным решением дифференциального уравнения (4).

10