Дифференциальные уравнения. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Интегрируем последнее равенство: lnm(x)= -lnx +lnC,

m(x)= Cx .

Положив C = 1 и умножив обе части исходного уравнения на m(x)= 1x , получим уравнение в полных дифференциалах:

xy dx +lnxdy =0;

M(x, y)= xy ; N(x, y)= lnx;

∂u(x, y)= x ; ∂u(x, y)= lnx. ∂x y ∂y

Интегрируем ∂u(x, y)= x по переменной x:

∂x y

u(x, y)= ∫ xy dx = y lnx +C (y).

Полученный результат дифференцируем по переменной y:

lnx

C =C2 -C1.

Ответ: y = lnCx .

21

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида

где р(х) и q(x) определены и непрерывны в промежутке (a, b ). (Уравнение называется линейным, так как обе функции входят в него в первой степени.)

Если f (x)≡0, то уравнение однородное, в противном случае не-

однородное. Однородное линейное дифференциальное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

Решить линейные дифференциальные неоднородные уравнения первого порядка можно тремя способами. Рассмотрим каждый из них более подробно.

П е р в ы й с п о с о б. Метод интегрирующего множителя. По-

кажем, что функция m(x, y)=e∫p(x)dx является интегрирующим

множителем для уравнения (25).

Для этого перепишем уравнение (25) в симметричном виде:

Следовательно, уравнение (26) является уравнением в полных дифференциалах.

Так как (26) равносильно уравнению (25), то, найдя общий интеграл уравнения (26), можно определить общий интеграл исходного уравнения.

22

П р и м е р 1: y′+ y cosx =sin2x.

Решение. В этом уравнении p(x)=cosx. Следовательно, интегрирующим множителем является функция m(x, y)=e∫cosxdx =esinx.

Перепишем уравнение в симметричном виде, то есть в виде (ycosx -sin2x)dx +dy =0, и умножим обе части на интегрирующий множитель: esinx (ycosx -sin2x)dx +esinx dy =0.

Здесь M (x, y)=(ycosx -sin2x)esinx ; N (x, y)=esinx ;

∂∂My =cosxesinx ; ∂∂Nx =cosxesinx .

Следовательно, ∂∂My = ∂∂Nx .

Получилиуравнениевполныхдифференциалах.Найдемфункцию u(x, y), являющуюся первообразной по отношению к левой части рассматриваемого уравнения. Для этого проинтегрируем

функцию N(x, y)=∂ ∂u(x, y) по переменной y: u(x, y)= ∫esinx dy = ∂y

= yesinx +ψ(x).

Для того чтобы найти функцию ψ(x), продифференцируем функцию u(x, y) по переменной x и приравняем полу-

Будем искать решение уравнения (25) в виде y =u(x)v(x), где u(x) и v(x) – новые неизвестные функции. Тогда y′=u′v+v′u.

Одну из функций можно взять произвольно, а другую определить на основании уравнения (25).

23

Подставляя в уравнение (25) вместо y и y′ их выражения через

Функцию v(x) выберем таким образом, чтобы она являлась ре-

Уравнение(28)–этоуравнениесразделяющимисяпеременными:

dvv = -p(x)dx.

Интегрируя, получим lnv = -∫ pdx +lnC, или v =Ce-∫p(x)dx.

Так как достаточно одного отличного от нуля решения одно-

Таккакдостаточнонайтихотябыоднуфункциюv,отвечающую условию v′+3v =0, то будем считать константу интегрирования

24

C = 0. Получим lnv = -3x, или v =e-3x. Подставляем данную функцию v в уравнение u′v+u(v′+3v)=e2x: u′e-3x +u 0=e2x , u′=e5x ; dudx =e5x , u= ∫e5x dx = 15e5x +C.

Общее решение имеет вид y =uv = 15e2x +Ce-3x .

Т р е т и й с п о с о б. Метод Лагранжа, или метод вариации про-

извольной постоянной. Решим сначала соответствующее однород-

Решение. Решимсначаласоответствующееоднородноеуравнение

y′+ xy =0: dxdy = - xy ; dyy = - dxx ,

∫dyy = -∫dxx , lny = -lnx +lnC,

y = Cx – решение однородного уравнения.

25

Решением неоднородного уравнения будет функция y = C (xx). Тогда y′= C′x(x)-Cx(2x).

Подставим значения y и y′ в уравнение y′+ xy = lnx:

C′x(x)-Cx(2x)+Cx(2x) = lnx, C′(x)= xlnx;

dC (x) = x lnx,C (x)= ∫xlnxdx. dx

Интеграл, расположенный в правой части последнего равен-

Подставляя начальные условия в общее решение, получим решение задачи Коши: y (1)=0-1+C1 =5 C1 =6 y = 2x lnx -1+ 6x .

9. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Уравнением Бернулли называется уравнение следующего вида:

где p(x), q(x) – непрерывные функции; n≠ 0,n≠1.

Уравнение(29),какилинейноенеоднородноеуравнение,можно решить методом подстановки, сделав замену y = u(x), v(x), где u(x), v(x) – новые неизвестные функции. Другой вариант – привести уравнение Бернулли к линейному уравнению с помощью преобразования. Разделим все члены уравнения на y n

и сделаем замену: z = y1-n, z′=(1-n)y-ny′= (1-ynn)y′.

26

Подставляя в уравнение (30) новую функцию, получим линейное уравнение

Находим общее решение уравнения (31) и, возвращаясь к замене, функцию у.

П р и м е р: y′+ xy = x3y3.

Решение.Отметимсразу,чтофункцияy =0являетсяособымрешением.

Разделим обе части уравнения на y3: yy3′ + yx2 = x3.

Чтобы свести данное уравнение к линейному, сделаем замену:

z = y-2, z′= -2y′y-3.

Получим - z2′ + xz = x3, z′-2xz = -2x3.

Решим данное линейное уравнение методом Лагранжа. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: z′-2xz =0;

dxdz = 2xz;

dzz = 2xdx; lnz = x2 +lnC, z =Cex2 .

Чтобы решить неоднородное уравнение, будем считать, что C = C(x).Тогдаz =C(x)ex2 , z′=C′(x)ex2 +2xex2 C(x).Подставляяв

27

Следовательно, z =C(x)ex2 , z = x2 +1+C1ex2 .

1

Возвращаясь к замене z = y –2, получим y =(x2 +1+C1ex2 )-2 , y = 0 – особое решение.

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

где F – известная функция (n + 2) переменных (n ≥ 1), которая определена и непрерывна в некоторой области G Rn+2; х – независимая переменная; y(x) – искомая функция.

Дифференциальноеуравнениеn-гопорядка,разрешенноеотно-

сительно старшей производной, имеет следующий вид:

где функция f (x,y,y′,y′′, ,y(n-1))– известная функция (n + 1)

переменной, которая определена и непрерывна в некоторой области D Rn+1.

Определение 12. Функция y = ϕ(x) называется решением уравнения (32) в промежутке a, b , если:

1) для любой точки x из интервала a, b определены и непре-

рывны функции ϕ(x), ϕ′(x), ϕ″(x), ..., ϕ(n)(x);

2) для любой точки x из интервала a, b точка

(x,ϕ(x),ϕ′(x), ,ϕ(n) (x)) G;

3) для любой точки х из интервала a, b F (x,ϕ(x),ϕ′(x), ,ϕ(n) (x))≡0.

График решения уравнения y = ϕ(x), x a, b , называется ин-

тегральной кривой.

28

Аналогично получают решение уравнения (33).

Определение 13. Функция y = ϕ(x) называется решением уравнения (33) в промежутке a, b , если:

1) для любой точки х из интервала a, b определены и непре-

рывны функции ϕ(x), ϕ′(x), ϕ″(x), ..., ϕ(n)(x);

2) для любой точки х из интервала a, b точка

(x,ϕ(x),ϕ′(x), ,ϕ(n-1) (x)) D;

3) для любой точки х из интервала a, b ϕ(n) (x)≡

≡ f (x,ϕ(x),ϕ′(x), ,ϕ(n-1) (x)).

Решение уравнения (32) (и уравнения (33)) может быть полу-

При этом предполагается, что соотношения (34) и (35) определяют у как функцию от переменной х (y = ϕ(x), x a, b ), которая является решением уравнения (32) (и уравнения (33)) на интервале a, b .

П р и м е р. Покажем, что функция y = y(x), заданная неявно y +lny = x (y >0),является решением уравнения yy′′= y′2 - y′3.

29

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Задача Коши для уравнения y(n) = f (x,y,y′,y′′, ,y(n-1))

формулируется следующим образом: из всех решений уравнения (33) найти такое решение y = ϕ(x), которое удовлетворяет заданным начальным условиям

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Еслифункция f (x,y,y′,y′′, ,y(n-1))непрерывнавобластиD Rn+1

и имеет в ней непрерывные частные производные ∂∂fy , ∂∂yf′,...,

∂y∂(fn-1) ,тодлялюбойточки(x0,y0,y0′,y0′′, ,y0(n-1))областиD задача Коши имеет единственное решение.

11. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ

ПОРЯДКА

У р а в н е н и я, н е с о д е р ж а щ и е я в н о и с к о м о й ф у н к- ц и и и н е с к о л ь к и х п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р о и з в о д-

н ы х. Это уравнения вида

30