Дифференциальные уравнения. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Геометрически общее решение y =ϕ(x,C ) представляет собой

семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение y =ϕ(x,C0 ) – одну интегральную кривую этого семейства, прохо-

дящую через заданную точку (x0, y0).

3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СРАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Дифференциальное уравнение y′= f (x, y) называется уравне-

нием с разделяющимися переменными, если его правую часть можно представить в виде произведений функций, одна из которых зависит от х, а другая от у:

Считая у известной функцией от х, равенство (10) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, получим соотношение, связывающее решение у, независимую переменную х и произвольную постоянную С, то есть общее решение уравнения (10):

11

Полагая, чтопроизвольнаяпостоянная C1 = ±C,получимобщее

ln xy + x - y =C – общее решение (интеграл).

4. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Определение 9. Функция y = f(x, y) называется однородной степени k (по переменным х и у), если для произвольного числа α выполняется равенство

П р и м е р ы:

1)f (x, y)= x2 + y2 - xy; f (ax, ay)=a2 x2 +a2 y2 -axay =a2 (x2 +

+y2 - xy) – однородная функция степени 2;

2)f (x, y)= 3x +5y – однородная функция степени 12.

Определение 10. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным, если функции М(x, y) и N(x, y) являются однородными одной и той же степени k.

Считаем,чтофункцииМ(x, y)иN(x, y)определеныинепрерывны в некоторой области D и имеют непрерывные частные произ-

водные Mx′ (x, y), My′ (x, y), Nx′ (x, y), Ny′ (x, y).

Уравнение (13) можно преобразовать следующим образом:

12

Получитьукакявнуюфункциюотхздесьневозможно,номожно выразить х: x = y-2ln Cy .

13

5.ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ

КОДНОРОДНОМУ УРАВНЕНИЮ

Если в уравнении (15) с1 = с2 = 0, то оно является однородным,

Сделаем замену

x =u +a,y = v+b,

где u, v – новые переменные; a, b – некоторые постоянные числа, пока неизвестные. Относительно новых переменных уравнение (15) запишем в виде

Числа a и b выбираем таким образом, чтобы выполнялись сле-

всегда имеет и притом единственное решение. При таком выборе чисел a и b вместо уравнения (16) получаем уравнение

14

котороеявляетсяоднородным.Решив(18)ивозвращаяськстарым переменным, получим решение исходного уравнения (15).

Чтобы привести уравнение (19) к известному нам виду, сделаем замену:z =a2 x +b2 y,гдеz = z(x)–новаянеизвестнаяфункция.Тог-

Относительно новой неизвестной функции уравнение (15) будет представлять собой уравнение с разделяющимися переменны-

Решив (20) и подставив вместо z выражение a2  x + b2  y, найдем

Для того чтобы свести это уравнение к однородному, составим

15

Проведем замены: x =u-1;y = v- 13;

dv = -u+1+3v-1, du 3u -3+3

dudv = -u3+u3v.

Вполученном однородном уравнении проведем замену: v = zu dudv = z′u+ z;

z′u+ z = -13+ z, u dudz = -13, dz = - du3u ,

z = -13∫duu = -13ln u +C.

Обратная замена: z = uv,

uv = -13ln u +C, v = -13uln u +Cu.

Возвращаемся к переменным х и у:

u= x +1; v = y+ 13;

16

где C = const.

2. Решить уравнение (x -2y -1)dx +(3x -6y +2)dy =0.

Сведем данное уравнение к уравнению с разделяющимися пе-

ременными: (x -2y -1)dx +(3(x -2y)+2)dy =0.

Проведем замену: z = x -2y;dz =d(x -2y)=dx -2dy,2dy = -dz +dx,

Умножим каждое слагаемое на –2:

-2(z -1)dx +(3z +2)(dz -dx)0;

-2(z -1)dx +(3z +2)dz -(3z +2)dx =0;

(3z +2)dz = 2(z -1)dx +(3z +2)dx, (3z +2)dz =(2z -2+3z +2)dx,

(3z +2)dz =5zdz.

Разделим переменные и интегрируем:

(3z +2)dz =5dx; z

∫3+ 2 dz =5∫dx;z

3z +2ln z =5x +C1.

Обратная замена: z = x -2y;

3(x -2y)-5x +2ln x -2y =C1,

3x -6y -5x +2ln x -2y =C1,

-2x -6y +2ln x -2y =C1, x +3y -2ln x -2y = -C21 ,

x+3y -2ln x -2y =C.

17

6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

где M(x, y), N (x, y) – непрерывные функции двух переменных, определенные в некоторой области D.

Определение 11. Уравнение (21) называется уравнением в полных дифференциалах в области D, если существует функция u(x, y), непрерывнодифференцируемаявD, такая,чтоdu(x, y)= M (x, y)dx +

+N (x, y)dy,(x,y) D.

В этом случае функцию u(x, y) называют первообразной по отношению к левой части уравнения (21) в D.

Общеевыражениефункцииu1(x,y),откоторойполныйдифференциал равен M (x, y)dx + N (x, y)dy, задается формулой u1 (x, y)=u(x, y)+C, где С – произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение M(x, y)dx + N(x, y)dy было полным дифференциалом некото-

рой функции u (x, y), заключается в том, чтобы в D выполнялось тождество

П р и м е р. Решить уравнение

(yexy +lny+sinx)dx + xexy + x +cosy dy =0.

y

Решение. Здесь M (x, y)= yexy +lny+sinx; N (x, y)= xexy + xy +

+cosy;

жение – уравнение в полных дифференциалах.

18

Найдем функцию u(x, y), являющуюся первообразной по отношениюклевойчастирассматриваемогоуравнения.Дляэтогопро-

u(x, y)= ∫(yexy +lny+sinx)dx =exy+ xlny-cosx +ϕ(y).

Для того чтобы найти функцию ϕ(y), продифференцируем функцию u(x, y) по переменной y и приравняем полученное вы-

ражение к N(x, y)= ∂u(x, y):

∂y

xexy + xy +ϕ(y)= xexy + xy +cosy.

Отсюда следует, что ϕ′(y)=cosy.

Таким образом, ϕ(y)= ∫cosydy =siny -C. Тогда u(x, y)=

=exy + xlny-cosx +siny-C.

Окончательно получим exy + xlny-cosx +siny =C.

7. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

Пусть дифференциальное уравнение (21), заданное в симметричной форме, не является уравнением в полных дифференциалах, M(x, y), N(x, y) – непрерывные функции двух переменных, определенные в некоторой области D.

Если существует непрерывная в области D функция m(x, y)≠ 0

такая,чтопослеумножениянанееобеихчастейуравнения(21)получают уравнение

m (х, у)M(x, y)dx + m(х, у)N(x, y)dy = 0, (23)

которое уже является уравнением в полных дифференциалах в области D, то функция µ(x, y) называется интегрирующим множителем для уравнения (21).

Рассмотримвопросонахожденииинтегрирующегомножителя.

Пусть функции M(x, y), N(x, y), My′ (x, y), Nx′ (x, y) непрерывны в односвязной области D, а функция µ(x, y) в этой области непре-