Дифференциальные уравнения. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

В этом случае заменой y(k) (x)= z(x), где z(x) – новая неизвестная функция, порядок уравнения (37) понижается на k единиц:

=ϕ(x,C1,C2, ,Cn-k ), то, последовательно интегрируя k раз, получим искомую функцию y:

y(k-1) = ∫ϕ(x,C1,...,Cn-k )dx +Cn-k+1,

y(k-2) = ∫(∫ϕ(x,C1, ,Cn-k )dx)dx +Cn-k+1x +Cn-k+2,

………………………………………………………………………….........................

kk

+Cn-1x + Cn.

Если в результате интегрирования уравнения (38) получили Φ(x,y(k),C1,C2, ,Cn-k )=0, то часто такое уравнение допускает параметрическое представление

x =ϕ(t,C,...,Cn-k ),y(k) =ψ(t,C,...,Cn-k ),

где ϕ – дифференцируемая функция.

Вэтомслучаеdy(k-1) = y(k)dx =ψ(t,C1, ,Cn-k )ϕ′(t,C1, ,Cn-k )dt.

Следовательно, y(k-1) = ∫ψ(t,C1, ,Cn-k )ϕ′(t,C1, ,Cn-k )dt +

+Cn-k+1 =ψ1 (t,C1, ,Cn-k,Cn-k+1).

31

Аналогичнонаходим y(k-1),y(k-2), ,y′,y .Дляуполучаемвыра- жение вида y =ψk (t,C1, ,Cn-1,Cn ). Поэтому система

x =ϕ(t,C1,...,Cn-k ),

y =ψk (t,C1,...,Cn-k,Cn )

является общим решением уравнения (37) в параметрической форме.

П р и м е р 1. Решить уравнение y′′=cos3x -6x +2.

Решение.Здесьk= 1,n=2.Следовательно,сделаемзаменуy′ = z.

У р а в н е н и я, н е с о д е р ж а щ и е я в н о н е з а в и с и м о й

Порядок уравнения (39) можно понизить на единицу, сделав следующую замену: y′x = z(y), где z(y) – новая искомая функция;

у – новая независимая переменная. При такой замене

32

Подставляя в исходное уравнение вместо y′x ,y′′xx ,...,y(xnn) полученные для них выражения, имеем F (y,z,ψ1 (z,z′y ),ψ2 (z,z′y,z′′yy ),

, ψn (z,z′y, , z(ynn--11))=0, или F (y,z,z′y,z′′yy, ,z(ynn--11))=0 – диффе-

ренциальное уравнение порядка (n – 1).

Заметим, что при замене y′x = z(y) возможна потеря решения y = const. Поэтому необходимо непосредственной подстановкой в исходное уравнение проверить наличие или отсутствие такого решения уравнения.

П р и м е р 2. Решить уравнение y′2 +2yy′′=0.

Решение. Здесь F (x,y,y′,y′′)= y′2 +2yy′′.

Посредством подстановки в уравнение y = const убеждаемся, что такая функция является решением данного уравнения.

Это уравнение не содержит явно независимую переменную х.

уравнениеявляетсяуравнениемсразделяющимисяпеременными:

dzz = - 2dyy;

∫dzz =- 12 ∫dyy ; lnz = -12 lny+lnC1,

z = C1y .

Возвращаясь к замене, получим y′= C1y ;

ydy =C1dx.

33

Интегрируя последнее уравнение, получим ∫ydy =C1∫dx; 32 y32 =C1 (x +C2 );

y3 = 49 C12 (x +C2 )2 ,

или y3 =C1 (x +C2 )2, где C1 = 49 C12 .

В итоге получаем y =const,y3 =C1 (x +C2 )2 .

У р а в н е н и я, о д н о р о д н ы е о т н о с и т е л ь н о и с к о м о й

где функция F однородна относительно y, y′, ..., y(n), а именно выполняетсяравенствоF (x,ay,ay′,ay′′, ,ay(n))=amF (x,y,y′, ,y(n)).

Порядокуравнения(40)можнопонизитьнаединицу,сделавзамену: y′ = yz, где z(x) – новая искомая функция. При такой замене получим

y′′= y′z + z′y = yz2 + z′y = y(z2 + z′),

y′′′= y′(z2 + z′)+ y(2zz′+ z′′)= yz(z2 + z′)+ y(2zz′+ z′′)= y(z3 +3zz′+ z′′),

………………………………………………………………………............................

y(n) = yψ(z,z′,z′′, ,z(n-1)).

Относительно новой неизвестной функции уравнение примет видF (x,y,yz,y(z2 + z′),y(z3 +3zz′+ z′′), ,yψ(z,z′,z′′, ,z(n-1)))=0.

Так как функция F однородная, то

F (x,y,yz,y(z2 + z′),y(z3 +3zz1 + z′′), , yψ(z,z′,z′′, , z(n-1)))= = ymF (x,1,z,(z2 +z′), (z3 +3zz′+ z′′),..., ψ(z,z′,z′′, , z(n-1))).

Исходное уравнение примет вид

ymF (x,1,z,(z2 + z′),(z3 +3zz′+ z′′), ,ψ(z,z′,z′′, ,z(n-1)))=0.

34

Сократив на ym, получим уравнение (n – 1)-го порядка относительно функции z:

но, общее решение уравнения имеет вид y =Cne∫

При Cn = 0 получим решение y = 0.

П р и м е р 3. Решить уравнение xyy′′- xy′2 = yy′.

Решение. Очевидно, что функция y = const является решением рассматриваемого уравнения.

Здесь F (x,y,y′,y′′)= xyy′′- xy′2 - yy′.

ТаккакF (x,ay,ay′,ay′′)=a2 xyy′′-a2 xy′2 -a2 yy′=a2 (xyy′′-xy′2 - -yy′)=a2F (x,y,y′,y′′), то функция F является однородной относи-

тельно y, y′, y″. Сделаем замену y′ = y z, где z(x) – новая искомая функция. Тогда y′′= yz′ + z′y = yz2 + z′y = y(z2 + z′).

Подставляя эти выражения для y′ и y″, получим xy2 (z2 + z′)- xy2 z2 = y2 z.

Разделимобечастиуравнениянаy2: xz2 + xz′- xz2 = z,илиxz′=z. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его,

получим

dzz = dxx ;

∫dzz = ∫dxx , z =C1x.

Возвращаемся к функции y′= yz: y′= yC1x;

∫dyy =C1∫xdx,

lny =C1 x22 +lnC2, y =C2eC1x2 ,

гдеC1 = C21 .

35

у которых левые части являются точными производными от некоторой функции Φ(x,y,y′, ,y(n-1)), а именно

F(x,y,y′, ,y(n))= dxd Φ(x,y,y′, ,y(n-1)).

Вэтом случае исходное уравнение может быть представлено

ввиде

dΦ(x,y,y′,...,y(n-1))=0, dx

или Φ(x,y,y′, , y(n-1))=C1.

Получили уравнение на порядок ниже. Следовательно, уравнения в полных производных допускают понижение порядка на единицу.

П р и м е р ы

4. Решить уравнение yy′′+(y′)2 =0.

Решение: yy′′+(y′)2 =0;

= lnC1,C1 >0.

36

12. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

где p1, p2, ..., pn-1, pn – постоянные действительные числа. Построимфундаментальнуюсистемурешений(ФСР)дляурав-

нения (43).

Будем искать решение в виде

Подставляя выражения (45) для функции y(x) и ее производных до n-го порядка в однородное уравнение (43), получим

вается характеристическим многочленом уравнения (43), уравнение (46) – характеристическим уравнением, соответствующим уравнению (43), его корни – характеристическими числами урав-

нения (43). Если λ0 – характеристическое число уравнения (43), то eλ0 x – решение уравнения (43).

Возможны два случая: все корни уравнения (46) различные; среди корней уравнения (46) есть кратные.

38

П е р в ы й с л у ч а й. Все корни уравнения (46) λ1,λ2, ..., λn – различные числа (действительные или комплексные). В этом слу-

чае получаем n различных решений уравнения (43):

Функции (47) линейно независимые в любом промежутке, следовательно, они образуют ФСР уравнения (43):

а) если все корни λ1,λ2, ..., λn – вещественные числа, то все решения (47) вещественные.

В этом случае функция

является общим решением уравнения (43) (как линейная комбинация n вещественных решений уравнения (43)).

Здесь C1,C2, ..., Cn – произвольные постоянные;

б)средикорнейхарактеристическогоуравненияимеютсякомп-

лексные. Пусть, например, λ1,2 =a1 ±ib1,λ3,4 =a2 ±ib2,...,

λ2m-1,2m =am ±ibm, λ2m+1, λ2m+2, ...,λn, где λ2m+1, λ2m+2, ..., λn – веще-

ственные корни уравнения (46).

В этом случае уравнение (43) допускает следующую ФСР: e(a1±ib1)x =ea1x (cosb1x ±isinb1x), e(a2 ±ib2 )x =ea2 x (cosb2 x ±isinb2 x),

..., e(am ±ibm)x =eamx (cosbmx ±isinbmx), eλ2m+1x, eλ2m+2x,...,eλnx. Тогда потеоремекомплекснойФСРзаключаем,чтофункцииea1x cosb1x,

ea1x sinb1x, ea2x cosb2x, ea2x sinb2x,..., eamx cosbmx, eamx sinbmx, eλ2m+1x , eλ2m+2 x ,..., eλnx образуют ФСР уравнения (43).

Все эти решения – вещественные функции вещественного аргумента х.

Функция y = ea1x (C1cosb1x +C1sinb1x)+ea2x (C1cosb2x +C1sinb2x)+

+...+eam (Cm cosbmx +Cm sinbmx)+C2m+1eλ2m+1x + +Cneλn , где C1,C1,

C2,C2, ,Cm,Cm,C2m+1, ,Cn eλn – произвольные постоянные,

есть общее решение уравнения (43).

В т о р о й с л у ч а й. Среди корней характеристического уравнения ϕ(λ) = 0 имеются кратные. Пусть полный набор корней уравнения ϕ(λ) = 0 такой:

39

λ1 – корень кратности n1 (n1 ≥ 1), λ2 – корень кратности n2 (n2 ≥ 1),

................…………………………………

λm – корень кратности nm (nm ≥ 1)

(1 ≤ m < n, среди чисел λ1,λ2, ..., λm нет одинаковых, и n1 + n2 + ... +

+ nm = n).

Так как числа λ1, λ2, ..., λm различные, то следующие функции являются линейно независимыми в любом промежутке и, значит, образуют ФСР уравнения (43)

eλ1x, xeλ1x,...,xn1-1eλ1 ,

eλ2 x, xeλ2 x,...,xn2 -1eλ2 ,..., (49) eλmx, xeλmx,...,xnm -1eλm :

а) если все числа λ1,λ2, ..., λm вещественные, то решения (49) – вещественные функции. В этом случае общее решение уравнения

(43)–линейнаякомбинация nвещественныхрешений:y =C1(1)eλ1x +

+C2(1)xeλ1x +...+Cn(11)xn1-1eλ1x +C1(2)xeλ2x +C2(2)xeλ2x +...+Cn(22)xn2-1eλ2x + +C1(m)eλmx +C2(m)xeλmx +...+Cn(m)xnm -1eλmx;

m

б) среди корней характеристического уравнения имеются комплексные. Пусть

λ1,2 =a1 ±ib1 – корень кратности n1,

………………………………………......................

λ2k-1,2k =ak ±ibk – корень кратности nk,

λ2k+1– корень кратности n2k +1,

……………………… – корни вещественные, λm – корень кратности nm.

Следовательно, в этом случае уравнение (43) допускает следую-

щую ФСР: ea1x (cosb1x +sinb1x),xea1x (cosb1x +sinb1x),...,xn1-1ea1x × ×(cosb1x +sinb1x),..., eak x (cosbk x +sinbk x),xeak x (cosbk x +sinbk x),

...,xnk -1eak x (cosbk x +sinbk x),eλ2m+1x, xeλ2m+1x,...,eλ2m+1x,...,eλmx,xeλmx,

..., xnm -1 eλmx. Тогда по теореме комплексной ФСР следующие

40