Дискретная математика. Примеры и задачи. Практикум

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)

М. Ю. Галкина

Дискретная математика. Примеры и задачи

Практикум

Новосибирск

2024

УДК 519.1(076.5)

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензент доц. Т.Э. Захарова

Галкина, М. Ю. Дискретная математика. Примеры и задачи : практикум / М. Ю. Галкина ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, кафедра прикладной математики и кибернетики. – Новосибирск, 2024. – 29 с.

Практикум предназначен для студентов заочной формы обучения, обучающихся по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии», профиль «Информационные системы и технологии в медиаиндустрии» и изучающих дисциплину «Дискретная математика».

Основной формой учебного процесса студента, обучающегося по заочной форме, является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературой. Данный практикум ставит своей целью оказание помощи таким студентам в организации их работы по овладению системой знаний и умений, необходимых для выполнения контрольной работы по дисциплине «Дискретная математика». Он знакомит студента с кругом понятий дискретной математики и формирует у него терминологический запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной математической литературы. Практикум позволяет студенту овладеть методами дискретной математики, наиболее употребительными при решении практических задач, содержит задания для контрольной работы и вопросы для самопроверки. Подробный разбор примеров и решений задач является составной частью изучения предлагаемого материала.

©Галкина М.Ю., 2024

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2024

2

3

Введение

Перед выполнением контрольной работы рекомендуется изучить материал, изложенный в разделах 1 – 3, разобрать примеры решения задач.

До решения каждой задачи необходимо выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует заменить общие данные конкретными из соответствующего варианта. Задачи необходимо располагать в порядке возрастания номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.

Выполненная работа присылается через электронную образовательную среду в формате doc/docx или pdf.

После получения результата проверки работы, в случае ее незачета, студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации. После этого работу следует прислать для повторной проверки в короткий срок.

После получения зачета за контрольную работу студент должен сдать зачет по курсу «Дискретная математика», охватывающий материал в соответствии с программой курса.

4

1. Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из объектов заданного множества.

Рассмотрим два правила, с помощью которых решается большинство задач комбинаторики: правило умножения и правило сложения.

Пусть действие A можно выполнить m способами, а действие B выполнить

kспособами. Тогда:

1.Действие «сначала A, затем B» можно выполнить m k способами (правило умножения).

2.Действие «либо A, либо B» можно выполнить m+k способами (правило сложения).

Замечания:

1.При практическом решении задач следует руководствоваться следующим: если в рассуждениях между выполняемыми действиями имеется одна из связок «и», «затем», «потом», то работает правило умножения; если имеется одна из связок «или», «либо», то работает правило сложения.

2.В комбинаторных задачах часто встречаются фразы «не более n» (означает все числа, меньше или равные n); «не менее n» (означает все числа, больше или равные n); «менее n» (означает все числа, меньше n), «более n» (означает все числа, больше n).

3.При выполнении любого перебора следует упорядочивать этот перебор по ка- кому-нибудь признаку, чтобы рассмотреть все возможные случаи.

Пример 1.1

В помещении имеется 5 дверей. Сколькими способами можно зайти и выйти из помещения? Ответьте на тот же вопрос в предположении, что нельзя выходить через ту дверь, через которую зашел.

Решение:

Вэтой задаче присутствуют 2 действия. А – зайти в помещение,

В– выйти из помещения.

Действие А можно осуществить 5-ю способами (зайти в любую из 5 дверей), действие В можно также осуществить 5-ю способами.

Действия А и В осуществляются последовательно, поэтому действует правило умножения. Зайти и выйти из помещения можно 5 5 = 25 способами.

При ответе на второй вопрос меняется количество способов осуществить действие В. Теперь для выхода существует только 4 варианта. Также применяем правило умножения и получаем, что зайти и выйти в разные двери можно 4 5 = 20 способами. •

5

Пример 1.2

Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 5?

Решение:

Вспомним признак делимости на 5: число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. В десятичной системе счисления имеется 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Будем составлять число слева направо, выбирая цифры.

Выполняем 5 действий:

A1 – выбираем цифру самого левого (старшего разряда),

A2 – выбираем цифру следующего разряда за предыдущим выбранным, A3 – выбираем цифру следующего разряда за предыдущим выбранным, A4 – выбираем цифру следующего разряда за предыдущим выбранным, A5 – выбираем цифру младшего разряда.

Действие A1 можно выполнить 9-ю способами (выбираем любую цифру, кроме 0, при выборе 0 число не будет пятизначным), каждое из действий A2, A3, A4 можно выполнить 10-ю способами, действие A5 можно выполнить 2-мя способами (выбрать цифру 0 или 5). Для получения пятизначного числа необходимо последовательно выполнить 5 указанных действий. Процесс составления числа проиллюстрирован на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Процесс составления числа в примере 1.2

Применяя правило умножения, получаем, что количество пятизначных чисел, делящихся на 5, равно 9 10 10 10 2 =18000 .•

Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются выборки в количестве m элементов из множества, содержащего n элементов, которые различаются только составом элементов.

Пример 1.3

Пусть имеется множество, состоящее из 3 элементов {a, b, c}. Найти все сочетания из 3 по 2.

Решение:

Будет всего 3 возможных сочетания: {a, b}, {a, c}, {b, c}.•

При решении задач нам не важны сами сочетания, а важно только их количество. Количество всех сочетаний из n элементов по m обозначают Cnm . Эта величина вычисляется по формуле:

6

Некоторые полезные свойства числа сочетаний:

1.Cnm = Cnn−m ;

2.Cn0 + Cnn = 1;

3.C1n + Cnn−1 = n .

Пример 1.4

Сколько существует способов зачеркнуть 6 чисел в лотерее «6 из 45»?

Решение:

Имеется множество чисел от 1 до 45, необходимо выбрать 6 из них. Очевидно, что порядок выбора этих чисел не важен. Поэтому для решения задачи необходимо найти число сочетаний из 45 по 6.

Размещениями без повторений из n элементов по m называются выборки в количестве m элементов из множества, содержащего n элементов, которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования, либо и тем, и другим.

Пример 1.5

Пусть имеется множество, состоящее из 3 элементов {a, b, c}. Найти все размещения из 3 по 2.

Решение:

Будет всего 6 возможных размещений: (a, b), (a, с), (b, c), (b, a), (c, a), (c, b).•

Так же, как и в случае с сочетаниями, при решении задач нам не важны сами размещения, а важно только их количество. Количество всех размещений

из n элементов по m обозначают Anm . Эта величина вычисляется по формуле:

Некоторые полезные свойства:

1.An0 = 1;

2.A1n = n ;

3.Ann−1 = Ann = n!.

Пример 1.6

Турист может посетить города Углич, Ростов, Ярославль, Кострому, Сергиев Посад. Сколько маршрутов с последовательным посещением трех городов он может составить?

7

Решение:

Для составления маршрутов надо выбрать 3 города из 5, причем важен порядок их выбора. Для решения задачи необходимо найти число размещений из

5 по 3.

Пример 1.7

Сколькими способами можно разложить в 4 кармана 5 шпаргалок, если в каждом кармане должна лежать хотя бы одна шпаргалка?

Решение:

Очевидно, что в 3 карманах должно быть по 1 шпаргалке, а в одном кармане – 2 шпаргалки.

Рассмотрим следующие действия, осуществляемые при раскладке шпаргалок в карманы:

А1 – выбираем карман, в котором будут лежать 2 шпаргалки. Это действие можно осуществить 4 способами.

А2 – выбираем 2 шпаргалки из 5, которые положим в выбранный в предыдущем действии карман. Это действие можно осуществить C52 способами.

Теперь у нас остались 3 шпаргалки и 3 кармана.

А3 – раскладываем 3 шпаргалки в 3 кармана. Здесь важен порядок, поэтому используем формулу размещений А33 .

Применяя правило умножения, получаем, что способов раскладки 5 шпар-

Перестановками из n элементов называются всевозможные упорядочивания этих элементов.

Пример 1.8

Пусть имеется множество, состоящее из 3 элементов {a, b, c}. Найти все перестановки этого множества.

Решение:

Будет всего 6 возможных перестановок:

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). •

Для подсчета количества перестановок вводится обозначение Pn . Количе-

ство перестановок из n элементов находится по формуле:

Pn = n!

Очевидно, Pn = Ann .

8

Пример 1.9

5 студентов купили билеты в кино на 5 соседних мест. Сколькими способами они могут занять эти места? Сколькими способами они могут сесть, если Иванова и Петров хотят сидеть рядом?

Решение:

При ответе на первый вопрос необходимо найти количество перестановок

из 5 элеменов: P = 5! =120 .

5

При ответе на второй вопрос рассмотрим 3 действия:

A – выбираем расположенные рядом места для Ивановой и Петрова. B – размещаем Иванову и Петрова на выбранных местах.

C – на оставшихся трех местах размещаем оставшихся трех студентов. Действие A можно выполнить 4 способами, все способы обозначены фи-

гурными скобками на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2. – Способы выбора мест для Ивановой и Петрова

Действие B можно выполнить двумя способами (на 2 выбранных места посадить Иванову и Петрова).

Действие C можно выполнить P = 3! = 6 способами.

3

По правилу умножения получаем, что во втором случае будет 4 2 6=48 вариантов.•

Пример 1.10

Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр числа

1112222345000?

Решение:

Разделим все составленные числа на группы по первой цифре в числе. Таких групп будет пять. Сначала будем ставить на первое место цифры, которые встречаются чаще всего.

1-я группа

У чисел из этой группы на первом месте стоит «двойка». Эти числа имеют вид 2***, где на место *** выбираются 3 цифры из набора 111222345000.

Перечислим 3 возможных случая выбора цифр на место ***.

а) Это могут быть либо 3 «единицы», либо 3 «двойки», либо 3 «нуля» – всего 3 варианта.

б) Либо 2 одинаковые («единицы» или «двойки» или «нули») и одна от них отличная (если выбрали 2 «единицы», третью выбираем из {2,3,4,5,0}, если выбрали 2 «двойки», третью выбираем из {1,3,4,5,0}, если выбрали 2 «нуля», третью выбираем из {1,2,3,4,5}). Выбранные две одинаковые

цифры можно поставит на два из трех мест тремя ( C32 = 2!1!3! = 3 ) способа-

9

ми (порядок не важен, т.к. цифры одинаковые). Всего таких чисел будет:

Всего чисел в этой группе будет n1 = 3 + 45 +120 =168.

2-я группа

У чисел из этой группы на первом месте стоит «единица». Эти числа имеют вид 1***, где на место *** выбираются 3 цифры из набора 112222345000.

Аналогично предыдущему перечислим 3 возможных случая выбора цифр на место ***.

а) Это могут быть либо 3 «двойки», либо 3 «нуля» – всего 2 варианта.

б) Либо 2 одинаковые («единицы» или «двойки» или «нули») и одна от них отличная (если выбрали 2 «единицы», третью выбираем из {2,3,4,5,0}, если выбрали 2 «двойки», третью выбираем из {1,3,4,5,0}, если выбрали 2 «нуля», третью выбираем из {1,2,3,4,5}). Выбранные две одинаковые

цифры можно поставит на два из трех мест тремя ( C32 = 2!1!3! = 3 ) способами (порядок не важен, т.к. цифры одинаковые). Всего таких чисел будет:

Всего чисел в этой группе будет n2 = 2 + 45 +120 =167 .

3-я группа

У чисел из этой группы на первом месте стоит «тройка». Эти числа имеют вид 3***, где на место *** выбираются 3 цифры из набора 111222245000.

Аналогично предыдущему перечислим 3 возможных случая выбора цифр на место ***.

а) Это могут быть либо 3 «единицы», либо 3 «двойки», либо 3 «нуля» – всего 3 варианта.

б) Либо 2 одинаковые («единицы» или «двойки» или «нули») и одна от них отличная (если выбрали 2 «единицы», третью выбираем из {2,4,5,0}, если выбрали 2 «двойки», третью выбираем из {1,4,5,0}, если выбрали 2 «нуля», третью выбираем из {1,2,4,5}). Выбранные две одинаковые цифры