Дискретная математика. Примеры и задачи. Практикум

реписываем заполненные элементы из первой строки в первый столбец (зеркально отражаем относительно главной диагонали).

а) подробный процесс заполнения первой строки и первого столбца;

б) заполнение матрицы, начиная с 3-й строки

Рисунок 3.3. – Заполнение матрицы смежности

21

Окончательно получаем:

г) Обозначим ребра в графе (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4. – Обозначение ребер

У графа 7 вершин, 11 ребер, поэтому матрица инцидентности I(G) будет прямоугольной размера 7 11. Для удобства заполнения слева в матрице подписаны вершины, а сверху – ребра в соответствии с введенными на рисунке 10 обозначениями. В столбце матрицы будут стоять 2 единицы, соответствующие вершинам, которые соединяет данное ребро, остальные элементы равны нулю. Например, ребро e1 соединяет вершины 1 и 4, поэтому в первом столбце напротив строк с заголовками 1 и 4 стоят единицы, остальные элементы столбца равны нулю. Матрица инцидентности графа:

д) Упорядочим ребра в порядке неубывания их весов (последние числа в тройках чисел, задающих ребро в условии задачи): (1, 2, 1), (2, 6, 1), (2, 3, 2), (4, 7, 2), (5, 6, 2), (1, 6, 3), (3, 4, 3), (1, 4, 4), (3, 5, 5), (5, 7, 7), (2, 4, 9). Если вес

22

нескольких ребер одинаков, то между собой они могут располагаться в любом порядке.

Будем использовать алгоритм Краскала. Для этого будем последовательно выбирать из списка ребро и присоединять его к остову, если не образуется циклов с уже имеющимися ребрами остова. Если цикл образуется, ребро не присоединяем. Процесс закончен, когда переберем все ребра из списка.

Рисунки 3.5 – 3.10 демонстрируют процесс построения минимального остова. Сначала остов пуст. Берем первое ребро из упорядоченного списка

(1, 2, 1).

Рисунок 3.5. – Присоединение ребра (1, 2, 1)

Берем ребро (2, 6, 1). При присоединении к имеющемуся остову цикл не образуется, присоединяем это ребро.

Рисунок 3.6. – Присоединение ребра (2, 6, 1)

Берем ребро (2, 3, 2). При присоединении к имеющемуся остову цикл не образуется, присоединяем это ребро.

Рисунок 3.7. – Присоединение ребра (1, 3, 2)

Берем ребро (4, 7, 2). При присоединении к имеющемуся остову цикл не образуется, присоединяем это ребро.

Рисунок 3.8. – Присоединение ребра (4, 7, 2)

23

Берем ребро (5, 6, 2). При присоединении к имеющемуся остову цикл не образуется, присоединяем это ребро.

Рисунок 3.9. – Присоединение ребра (5, 6, 2)

Берем ребро (1, 6, 3). При присоединении к имеющемуся остову образуется цикл (1-2-6-1), ребро не присоединяем.

Берем ребро (3, 4, 3). При присоединении к имеющемуся остову цикл не образуется, присоединяем это ребро. Заметим, что вершина 3 уже была нарисована ранее.

Рисунок 3.10. – Присоединение ребра (3, 4, 3)

Берем ребро (1, 4, 4). При присоединении к имеющемуся остову образуется цикл (1-2-3-4-1), ребро не присоединяем.

Берем ребро (3, 5, 5). При присоединении к имеющемуся остову образуется цикл (3-5-6-2-3), ребро не присоединяем.

Берем ребро (5, 7, 7). При присоединении к имеющемуся остову образуется цикл (5-6-2-3-4-7-5), ребро не присоединяем.

Берем ребро (2, 4, 9). При присоединении к имеющемуся остову образуется цикл (2-3-4-2), ребро не присоединяем.

Больше ребер в списке нет. Процесс построения минимального остова за-

кончен. Вес минимального остова – сумма весов ребер:

W =1+1+ 2 + 2 + 3 + 2 =11.•

Вопросы для самопроверки

1.Из каких элементов состоит граф?

2.Какие вершины называются смежными?

3.Какие элементы матрицы смежности равны единице?

4.Какие элементы матрицы инцидентности равны единице?

5.Что называется остовом графа?

6.В чем заключается алгоритм Краскала?

24

4. Задачи для контрольной работы

Контрольная работа состоит из трех задач. Номера задач контрольной работы выбираются по таблице из колонки, соответствующей последней цифре номера зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки оканчивается на 5, то контрольная работа состоит из задач с номерами: 5, 15, 25.

Таблица 1 – Выбор задач для варианта контрольной работы

4.1.Задачи 1-10

Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр указанного числа?

Таблица 2 – Выбор данных для первой задачи контрольной работы

4.2.Задачи 11-20

Управление имеет а предприятий, из них а1 предприятий выпускают продукцию А, а2 – продукцию B, a3 – продукцию С. Продукцию А и В выпускают а4 предприятий, В и С – а5 предприятий, А и С – а6 предприятий. Все виды продукции выпускают а7 предприятий. Сколько предприятий а) выпускают ровно один вид продукции А, В или С?

б) не выпускают ни одного из указанных видов продукции?

25

Таблица 3 – Выбор параметров для второй задачи контрольной работы

4.3.Задачи 21-30

Граф G задан списком ребер (каждый элемент списка – это тройка чисел: номера двух смежных вершин и вес ребра, их соединяющего). Требуется

а) Нарисовать граф G.

б) Найти степенную последовательность графа G. в) Найти матрицу смежности графа G.

г) Обозначить ребра и найти матрицу инцидентности графа. д) Найти минимальный остов графа и его вес.

Таблица 4 – Выбор данных для третьей задачи контрольной работы

30(1, 4, 3), (1, 5, 6), (2, 6, 8), (2, 7, 9), (2, 8, 2), (3, 7, 5), (3, 8, 4), (4, 6, 1), (4, 8, 3), (5, 6, 7), (5, 7, 9), (5, 8, 4)

26

Заключение

Успешное освоение компетенций, формируемых учебной дисциплиной «Дискретная математика», предполагает оптимальное использование времени самостоятельной работы. В такой вид работы включаются: самостоятельное изучение теоретического материала; изучение учебно-методической и научной литературы; выполнение контрольной работы; проведение самоконтроля путем ответов на вопросы текущего контроля знаний, решения представленных в учебно-методических материалах дисциплины задач; подготовка к зачету. Самостоятельная работа не исключает получение дополнительных разъяснений от преподавателя. Общение с преподавателем происходит через чат в электронной образовательной среде или электронную почту.

27

Литература

1.Галкина М. Ю. Дискретная математика: учебное пособие. – Новосибирск:

СибГУТИ, 2004. – 56 с.

2.Храмова Т. В. Дискретная математика. Элементы теории графов: учебное пособие. – Новосибирск: СибГУТИ, 2014. – 43 с.

3.Бернштейн Т. В. Практикум по дискретной математике: учебное пособие. – Новосибирск: СибГУТИ, 2014. – 131 с.

4.Выборнов А. Н., Ветренко Е. А. Дискретная математика: учебник. – Москва:

РТУ МИРЭА, 2023. – 176 с.

5.Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Дискретная математика: учебник. – 5-е изд. – Новосибирск: НГТУ, 2016. – 280 с.

28