Акустоэлектроника объемные акустические волны в кристаллах. Сборник задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков

Н.В. Переломова А.Н. Забелин

Акустоэлектроника

Объемные акустические волны в кристаллах

Сборник задач

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2010

1

УДК 548

П27

Р е ц е н з е н т проф. В.Т. Бублик

Переломова Н.В., Забелин А.Н.

П27 Акустоэлектроника: Объемные акустические волны в кри- сталлах: Сб. задач. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 43 с.

ISBN 978-5-87623-354-7

Сборник задач содержит краткие теоретические сведения по теме «Объ- емные акустические волны в кристаллах». Приводятся примеры решения ти- повых задач. Задачи для самостоятельного решения позволят освоить техни- ку расчетов характеристик объемных акустических волн.

Предназначен для студентов четвертого курса направления 140400 «Тех- ническая физика».

УДК 548

2

3

1.ОБЪЕМНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

ВКРИСТАЛЛАХ

Вобщем случае в заданном направлении в безграничном кристал- ле могут распространяться три плоские однородные объемные аку- стические волны с разными скоростями и взаимно ортогональными поляризациями. Эти три волны, имеющие общую волновую нормаль, называются изонормальными.

Волна, вектор поляризации которой составляет наименьший угол

сволновой нормалью, называется квазипродольной (QL), а если ее

поляризация совпадает с направлением волновой нормали – про- дольной (L). Две другие волны называются квазипоперечными (QS), если их векторы поляризаций не ортогональны вектору волновой нормали, и поперечными (S), если их поляризации ортогональны волновой нормали. Если фазовая скорость одной из квазипоперечных волн больше фазовой скорости другой, то они называются соответст- венно быстрой квазипоперечной (QFS) и медленной квазипопереч- ной (QSS).

1.1.Фазовые скорости и поляризации объемных

акустических волн

Распространение плоских объемных акустических волн в диэлек- трических кристаллах описывается уравнением Кристоффеля

тензор Кристоффеля; ρ – плотность кристалла; V – фазовая скорость акустической волны; δik – символ Кронекера; pk – компоненты еди-

ничного вектора поляризации p; cijklS – адиабатические коэффициен-

ты упругой жесткости кристалла; nj – компоненты единичного векто- ра волновой нормали n.

В большинстве практически важных случаев объемные акустиче- ские волны в пьезоэлектрических кристаллах рассматриваются в рамках так называемого квазиэлектростатического приближения, в котором учитывается только потенциальная часть электрического

4

поля. При этом распространение плоских объемных акустических волн в пьезоэлектрических кристаллах описывается модифицирован- ным уравнением Кристоффеля

где Πik – тензор Кристоффеля для пьезоэлектрических кристаллов,

ε – диэлектрическая проницаемость кристалла в направлении волно- вой нормали;

cijklE,S – адиабатические коэффициенты упругой жесткости кристалла,

измеренные при постоянном электрическом поле; enij – пьезоэлек-

трические коэффициенты; εumn – коэффициенты диэлектрической проницаемости кристалла, измеренные при постоянной деформации.

Вид матриц коэффициентов cijklE,S , εumn и enij для 32 классов сим- метрии приведена в табл. П1–П3 приложения.

В рамках квазиэлектростатического приближения акустическая волна в пьезоэлектрическом кристалле может сопровождаться вол- ной электрического поля (E || n) и волной электрической индукции (D n). Электрические свойства объемной акустической волны за- висят от взаимной ориентации пьезоэлектрического вектора волны

и волновой нормали n. Если e(m) = 0, то акустическая волна не сопро- вождается электрическими колебаниями и в этом смысле не является пьезоактивной. Акустическая волна, для которой e(m) || n, сопровож- дается волной электрического поля и называется продольно-

5

пьезоактивной. Акустическая волна, для которой e(m) n, сопровож- дается волной электрической индукции и называется поперечно- пьезоактивной. Акустическая волна, у которой векторы e(m) и n обра- зуют острый угол, называется волной смешанной пьезоактивности.

Обобщенной характеристикой пьезоэлектрических свойств кри- сталла является коэффициент электромеханической связи. Для про- дольно-пьезоактивных волн коэффициент электромеханической свя- зи kE2 (kE2 < 1) определяется следующим образом:

С учетом формулы (1.9) выражение для фазовой скорости объем- ной акустической волны в пьезоэлектрическом кристалле может быть записано в виде

где V0 – фазовая скорость волны без пьезоэлектрической поправки. Для расчета компонент тензоров Γik (1.2) и Πik (1.4) удобно ис-

пользовать таблицу П4 приложения.

Как следует из систем уравнений (1.1) и (1.3), задача о нахожде- нии фазовых скоростей и векторов поляризаций плоских объемных акустических волн, распространяющихся в заданном направлении n в кристалле, сводится к задаче о нахождении собственных значений и собственных векторов тензора Aik = Γik (1.2) для диэлектрических кристаллов и Aik = Πik (1.4) для пьезоэлектрических кристаллов.

Собственные значения λ = ρV2 тензора Aik находятся из условия совместности системы уравнений (1.1) для диэлектрических кри- сталлов и системы (1.3) для пьезоэлектрических кристаллов:

В общем случае уравнение (1.10) имеет три различных действи- тельных и положительных корня λ(1), λ(2) и λ(3).

6

Подставляя поочередно каждое из трех собственных значений λ(m)

находим компоненты вектора поляризации p(m) каждой из трех объ- емных акустических волн, распространяющихся с фазовыми скоро-

фазовые скорости и векторы поляризаций трех изонормальных объ- емных акустических волн равны

Если две из трех недиагональных компонент тензора Кристоффе- ля, например A13 и A23, равны нулю, разложение определителя (1.10) по элементам третьей строки или третьего столбца

(A33 – λ)[(A11 – λ)(A22 – λ) – A122] = 0

сразу позволяет найти корень λ(3) = A33. Два других собственных зна- чения

являются решениями квадратного уравнения

λ2 – (A11 + A22)λ + A11A22 – A122 = 0.

7

Из системы (1.11), которая при A13 = A23 = 0 принимает вид

гих собственных значений из условия λ(k) ≠ A33, где k = 1, 2, следует

Направления векторов p(1) и p(2), лежащих в плоскости X1X2, могут быть заданы углами ϕ1 и ϕ2 = ϕ1 + π/2, которые они образуют с осью

Если два собственных значения тензора Кристоффеля, например λ(2) и λ(3), совпадают, то векторы поляризаций вырожденных волн могут иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной век- тору поляризации невырожденной волны.

1.2. Лучевые и групповые скорости объемных акустических волн

Распространению объемной акустической волны в кристалле со- путствует процесс переноса энергии. Скорость и направление потока энергии (акустического луча) характеризуется вектором лучевой или групповой скорости. В кристалле без потерь лучевая скорость совпа- дает с групповой скоростью.

Если направление групповой скорости совпадает с волновой нор- малью, то такую волну называют обыкновенной, а если эти направ- ления не совпадают, то – необыкновенной волной.

8

Компоненты вектора групповой скорости акустической волны, распространяющейся в заданном направлении n в диэлектрическом кристалле, рассчитываются из выражения

Компоненты вектора групповой скорости акустической волны, распространяющейся в пьезоэлектрическом кристалле, находятся из выражения

т.е. проекция вектора групповой скорости на направление волновой нормали равна фазовой скорости акустической волны.

Угол между вектором групповой скорости акустической волны и волновой нормалью определяется следующим образом:

где s(m) – единичный вектор луча, s(m) = V(m) / | V(m) | . Для обыкно-

венной волны γ = 0.

Условие существования обыкновенной волны в направлении n имеет вид

где δijk – символ Леви – Чивита.

9

В диэлектрических кристаллах направления распространения и поляризации обыкновенной волны взаимозаменяемы: если в направ- лении n распространяется обыкновенная волна с поляризацией p и со скоростью V, то в направлении p с той же скоростью распространя- ется обыкновенная волна с поляризацией n.

Для вычисления компонент Vi(m) (1.15), (1.16) векторов групповой скорости удобно использовать табл. П4 – П6 приложения.

1.3. Особые направления в кристаллах

Различают три вида особых направлений в кристаллах: попереч- ная нормаль, продольная нормаль и акустическая ось.

Поперечной нормалью называется направление n, в котором рас- пространяется одна поперечная волна (p(S) n), а две другие волны могут быть квазипродольной и квазипоперечной.

Продольной нормалью называется направление n, в котором рас- пространяется продольная волна (p(L) || n) и две поперечные волны

(p(S) n).

Условие существования продольных нормалей в кристалле:

Акустической осью называется направление n, в котором распро- страняются вырожденные квазипоперечные волны, векторы поляри- заций которых могут иметь любое направление в плоскости, перпен- дикулярной вектору поляризации квазипродольной волны. Если при этом n оказывается еще и продольной нормалью, то такое направле- ние называется продольной акустической осью.

Для акустических осей, согласно их определению, два корня ку- бического уравнения (1.10) совпадают, поэтому одновременно с оп- ределителем равен нулю и взаимный тензор

где ρVs2 – двукратное собственное значение.

Условие (1.24) определяет акустические оси в любом кристалле. Если тензор Aik имеет диагональный вид, то условие существова-

ния акустической оси сводится к равенству двух диагональных ком- понент тензора Aik.

10