Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Акустоэлектроника объемные акустические волны в кристаллах. Сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

662 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Найдем направления распространения обыкновенной поперечной волны в плоскости X1X2 кристалла.

Первый способ. В диэлектрических кристаллах направления рас- пространения и поляризации обыкновенных волн взаимозаменяемы. Поэтому поперечная волна, поляризованная вдоль оси X3, является обыкновенной при распространении вдоль двух взаимно перпенди- кулярных направлений в плоскости X1X2, совпадающих с направле- ниями поляризаций обыкновенных поперечных волн, которые могут распространяться вдоль оси X3.

Если волновая нормаль направлена вдоль оси X3 (n1 = n2 = 0, n3 = 1), то тензор Γik (1.2) принимает вид

		c55		c45	0
Γ	ik	= c		c	0	.
	ik		45	44
			0	0	c33
			0	0	c33

Из (1.12) – (1.14) получим, что в данном направлении распростра- няются две поперечные волны со скоростями (2.4); векторы поляри- заций поперечных волн лежат в плоскости X1X2; углы ϕ1 и ϕ2 = ϕ1 + π/2, которые эти векторы образуют с осью X1, определяются выраже-

нием (2.6).

Компоненты векторов групповых скоростей поперечных волн равны


V (FS ,SS ) = V (FS ,SS ) = 0 , V (FS ,SS ) =			1	(c p2		+ c p2		+ 2c p p ) .
V (FS ,SS ) = V (FS ,SS ) = 0 , V (FS ,SS ) =				(c p2		+ c p2		+ 2c p p ) .
1	2	3	55		1	44	2	45	1	2
			ρVFS ,SS

Поскольку V(FS) || n и V(SS) || n, то поперечные волны, распростра- няющиеся вдоль оси X3, обыкновенные. Таким образом, поперечная волна, поляризованная вдоль оси X3, является обыкновенной при распространении вдоль двух взаимно перпендикулярных направле-

ний (2.6).

Второй способ. Найдем групповые скорости поперечной волны,

распространяющейся					в	плоскости		X1X2. Поскольку					p(S ) = p(S ) = 0 ,
													1	2
p(S ) = 1,	для компонент вектора групповой скорости волны (1.15)
3
имеем
V (S ) =		1	(c n + c n ) , V (S ) =					1	(c n + c n ) , V (S ) = 0 .
V (S ) =			(c n + c n ) , V (S ) =						(c n + c n ) , V (S ) = 0 .
1		ρVS		1	45	2	2	ρVS		1	44	2	3
1	55			1	45	2	2	45		1	44	2	3

Из (1.22)

i	j	k
n1	n2	0	= 0 ,
V (S )	V (S )	0
1	2

0 i + 0 j + (V2(S )n1 − V1(S )n2 ) k = 0

или

V2(S )n1 − V1(S )n2 = 0 ,

откуда

(c55 – c44)n1n2 – c45(n12 – n22) = 0.

Очевидно, что (2.6) является решением полученного уравнения. Таким образом, поперечная волна, распространяющаяся в плоско-

сти симметрии моноклинного кристалла и имеющая экстремальное значение фазовой скорости, является обыкновенной волной.

2.4. Продольные нормали в кристаллах представляют несомнен- ный интерес для пьезотехники. В частности, бруски, вырезанные вдоль таких особых направлений, обладают свойством моночастот- ности при колебаниях по длине.

Определить возможные положения продольных нормалей в не- пьезоэлектрических кристаллах, принадлежащих ромбической син- гонии.

Решение. Из (1.23) имеем

i	j	k
n1	n2	n3	= 0 ,
Γ1k nk	Γ2k nk	Γ3k nk

[(Γ13n1 + Γ23n2 + Γ33n3)n2 – (Γ12n1 + Γ22n2 + Γ23n3)n3]i –

–[(Γ13n1 + Γ23n2 + Γ33n3)n1 – (Γ11n1 + Γ12n2 + Γ13n3)n3]j +

+[(Γ12n1 + Γ22n2 + Γ23n3)n1 – (Γ11n1 + Γ12n2 + Γ13n3)n2]k = 0

или

(Γ		22	− Γ		33	)n n + Γ			23	(n	2 − n	2 ) + Γ n n − Γ n n = 0,
						2	3			3	2	12	1			3	13		1		2
						)n n		+ Γ (n 2 − n 2 ) + Γ n n								− Γ		n n				= 0,
(Γ − Γ				33													23
	11					1	3	13		3	1	12	2	3					1	2
(Γ − Γ )n n								+ Γ (n 2 − n 2 ) + Γ n n − Γ n n = 0.
	11			22		1	2	12		2	1	13	2		3		23		1		3

Компоненты тензора Кристоффеля Γik для кристаллов ромбиче- ской сингонии имеют вид (2.1). Подставив (2.1) в полученную систе- му уравнений и проведя очевидные преобразования, получим

n n [(A − B )n							2	+ A n		2 − C n 2				] = 0,
	2	3		1	1	1		2	2			2	3
			[A n 2		+ (A		− B )n				2 − C n 2			] = 0,	(2.7)
n n
	1	3	1	1		2		2		2		1	3
n n			[B n 2		− B n 2 − (C						− C )n 2 ] = 0,
		2	1	1		2	2		1		2		3
1

где

A1 = c11 – c13 – 2c55, B1 = c11 – c12 – 2c66, C1 = c33 – c13 – 2c55, A2 = c22 – c23 – 2c44, B2 = c22 – c12 – 2c66, C2 = c33 – c23 – 2c44.

Решения системы уравнений (2.7):

n1 = n2 = 0, n3 = 1; n1 = n3 = 0, n2 = 1; n2 = n3 = 0, n1 = 1.

Следовательно, направления осей симметрии второго порядка яв- ляются продольными нормалями.

Пусть волновая нормаль лежит в координатной плоскости X1X2. В этом случае n1 = cos ϕ, n2 = sin ϕ, n3 = 0 и первые два уравнения сис- темы (2.7) удовлетворяются тождественно, а из третьего уравнения следует

n2	= tg ϕ = ±	B1	.

n1		B2

Аналогично получим решения для случаев, когда волновая нормаль лежит в координатных плоскостях X2X3 (n1 = 0, n2 = cos θ, n3 = sin θ) и

X1X3 (n1 = cos θ, n2 = 0, n3 = sin θ):

n1	= 0,	n3	= tg θ = ±	A2	;
		n2		C2

n2	= 0,	n3	= tg θ = ±	A1	.
		n1
				C1

Таким образом, каждая из плоскостей симметрии ромбического кристалла может либо не содержать ни одной, либо содержать две продольные нормали.

Пусть все компоненты вектора волновой нормали отличны от ну- ля. Тогда (2.7) можно представить в виде системы неоднородных ли-

нейных уравнений относительно переменных

− A

+ C

= A

− B ,

− A )

+ C

= A ,

+ (C

− C

)

= B .

Любое из уравнений данной системы является линейной комби- нацией двух других. Оставив, например, первые два уравнения и вы- разив компоненты вектора волновой нормали в сферических коорди-

натах n1 = cos ϕ cos θ, n2 = sin ϕ cos θ, n3 = sin θ (рис. 2.1), получим следующие решения:

A1 − B1

A1C1 − A1C2 − B1C1

= tg ϕ = ±

;

− A2

A2C2 − A2C1 − B2C2

B2 − A2

− A2

A1 − B1

B − A

B B − A B − A B

tgθ = ±

1 2 1 2 2 1

− A2

cos ϕ

A2C2 − A2C1 − B2C2

B2 − A2

Рис. 2.1. К соотношению между сферическими (ϕ, θ)

и декартовыми (n1, n2, n3) координатами волновой нормали

Таким образом, ромбический кристалл может либо не содержать ни одной, либо содержать четыре продольные нормали общего положения.

2.5. Определение направлений акустических осей в кристаллах имеет практическое значение, так как в экспериментальных работах вблизи таких направлений требуется особенно тщательная ориенти- ровка образцов исследуемых кристаллов.

Определить возможные положения акустических осей в непьезо- электрических кристаллах, принадлежащих ромбической сингонии.

Решение. Как следует из (2.1), для ромбических кристаллов все недиагональные компоненты тензора Γik равны нулю, если волновая нормаль совпадает с одной из осей симметрии второго порядка. Но вдоль этих направлений скорости всех трех акустических волн раз- личны. Следовательно, направления осей симметрии второго поряд- ка не являются акустическими осями.

Две недиагональные компоненты тензора Γik обращаются в нуль, если волновая нормаль расположена в любой из плоскостей симмет- рии кристалла.

Пусть волновая нормаль лежит в плоскости X1X2 (n1 = cos ϕ, n2 = sin ϕ, n3 = 0). Подставляя (2.1) в (1.25) и учитывая, что n3 = 0, получаем би- квадратное уравнение

			4				2
A		n2		+ B		n2		+ C	= 0 ,

1	n1			1	n1			1

где A1 = (с66 – с44) (с22 – с44),

B1 = (с11 – с55) (с22 – с44) + (с66 – с44)(с66 – с55) – (с12 + с66)2, C1 = (с11 – с55) (с66 – с55),

откуда

n		−B	±	B2	− 4A C
2	= tg ϕ = ±	1		1	1 1	–
	= tg ϕ = ±					–
n1				2A1

возможные положения акустических осей в плоскости X1X2. Аналогично подстановкой (2.1) в (1.26) и (1.27) могут быть полу-

чены выражения, определяющие возможные положения акустиче- ских осей в плоскости X1X3 (n1 = cos θ, n2 = 0, n3 = sin θ):

n		−B ±	B2	− 4A C	2
3	= tg θ = ±	2	2	2	2	,
n1	= tg θ = ±		2A2			,
n1			2A2

где

A2 = (с55 – с44) (с33 – с44),

B2 = (с11 – с66) (с33 – с44) + (с55 – с44) (с55 – с66) – (с13 + с55)2, C2 = (с11 – с66) (с55 – с66);

и в плоскости X2X3 (n1 = 0, n2 = cos θ, n3 = sin θ):

n		−B	±	B2	− 4A C
3	= tg θ = ±	3		3	3 3	,
	= tg θ = ±					,
n2				2A3

где

A3 = (с44 – с55) (с33 – с55),

B3 = (с22 – с66) (с33 – с55) + (с44 – с55) (с44 – с66) – (с23 + с44)2, C3 = (с22 – с66) (с44 – с66).

Таким образом, плоскость симметрии ромбического кристалла может либо не содержать ни одной, либо содержать две или четыре акустические оси.

Когда все компоненты тензора Γik отличны от нуля, возможные направления акустических осей определяются из (1.28):


			2	+ B n		2	+ C n		2	= 0,
A n				+ B n			+ C n			= 0,
	4	1		4	2		4	3		= 0,
A n			2	+ B n		2 + C n			2	= 0,
	5	1		5	2		5	3

где

A4 = (c13 + c55)[(c11 – c66) (c23 + c44) – (c12 + c66) (c13 + c55)], B4 = (c23 + c44)[(c66 – c22) (c13 + c55) + (c12 + c66) (c23 + c44)], C4 = (c55 – c44)(c23 + c44) (c13 + c55),

A5 = (c12 + c66)[(c11 – c55) (c23 + c44) – (c12 + c66) (c13 + c55)], B5 =(c66 – c44)(c12 + c66) (c23 + c44),

C5 = (c23 + c44)[(c55 – c33) (c12 + c66) + (c13 + c55) (c23 + c44)].

Полученную систему можно представить в виде системы неоднород-

ных линейных уравнений относительно переменных

+ C

= − A ,

+ C

= − A ,

откуда

− A4

− A C

A C

− A C

= tg ϕ = ±

4 5

;

B4C5 − B5C4

− A4

− A

A B − A B

tg θ = ±

4 5

5 4

cosϕ

B4C5 − B5C4

Здесь компоненты вектора волновой нормали выражены через сферические координаты в соответствии с рис. 2.1: n1 = cos ϕ cos θ,

n2 = sin ϕ cos θ, n3 = sin θ.

Таким образом, ромбический кристалл может либо не содержать ни одной, либо содержать четыре акустические оси общего положения.

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1.В устройствах, обеспечивающих работу цветного телевиде- ния, для накопления информации изображения одного из цветов для каждого кадра с последующей передачей ее на трубку в конце этого интервала времени используются ультразвуковые линии задержки из плавленого кварца с задержкой 60 мс. Какими должны быть размеры такой линии задержки: а) продольных, б) поперечных акустических волн?

3.2.Рассчитать линейные размеры линии задержки из KCl, рабо- тающей на поперечных акустических волнах, распространяющихся в направлении [100], и позволяющей получить задержку сигнала в 1.5 мс. Какие пути Вы могли бы предложить для уменьшения размеров такой линии задержки?

3.3.Рассчитать линейные размеры линии задержки из KBr, рабо- тающей на поперечных акустических волнах, распространяющихся в направлении [100], и позволяющей получить задержку в 0.5 мс.

3.4.Определить величины фазовых скоростей и поляризацию объ- емных акустических волн, распространяющихся в кристаллах кремния вдоль кристаллографических направлений: а) [100], б) [110], в) [111].

3.5.Рассчитать углы отклонения групповых скоростей от волно- вой нормали для акустических волн, распространяющихся в кри- сталлах арсенида галлия в направлении [110]. Являются ли данные волны обыкновенными?

3.6.Какой из кристаллов KCl или KBr характеризуется наимень- шим значением скорости поперечной акустической волны, распро- страняющейся в плоскости (100)?

3.7.С какой скоростью происходит распространение объемных акустических волн в монокристаллах германата висмута в направле-

ниях: а) [100], б) [110], в) [111]?

3.8.С какой скоростью распространяются объемные акустические волны в кристаллах фосфида галлия вдоль направлений: а) [110], б) [111]?

3.9.Вычислить фазовые скорости объемных акустических волн, распространяющихся в кристаллах сульфида кадмия в направлении

[0001]. Определить тип пьезоэлектрической активности этих волн. Какова величина коэффициента kE2 для продольно-пьезоактивной волны?

3.10.Какой из кристаллов молибдата свинца или молибдата каль- ция характеризуется наибольшим значением скорости поперечной волны, распространяющейся в плоскости (001)?

3.11.Рассчитать углы отклонения групповых скоростей от волно- вой нормали для объемных акустических волн, распространяющихся

вкристаллах молибдата свинца в направлении оси X1. Какая из этих волн обыкновенная?

3.12.Найти фазовые скорости и углы отклонения групповых ско- ростей от волновой нормали для объемных акустических волн, рас- пространяющихся в кристаллах кварца в кристаллографических на-

правлениях: а) [2 1 1 0], б) [01 1 0], в) [0001]. Какие из этих волн обыкновенные?

3.13. Рассчитать углы отклонения групповых скоростей от волно- вой нормали для объемных акустических волн, распространяющихся в кристаллах ниобата лития вдоль кристаллографических направле-

ний: а) [2 1 1 0], б) [01 1 0]. Какие из этих волн являются обыкновен- ными?

3.14.Рассчитать значения наибольшей и наименьшей скорости поперечной волны, распространяющейся в плоскости (110) в кри- сталлах кремния.

3.15.Определить направление волновой нормали, соответствую- щее максимальному значению скорости поперечной волны, распро- страняющейся в кристаллах германата висмута в плоскости (001). Каково значение минимальной и максимальной скорости такой вол- ны в указанной плоскости?

3.16.Вычислить положения и величину максимумов коэффициен- та kE2 для поперечной акустической волны, распространяющейся в кристаллах арсенида галлия в плоскости (001). Вдоль каких направ- лений, лежащих в указанной плоскости, пьезоэффект не влияет на величину скорости поперечной волны?

3.17.Как ориентированы продольные нормали в кубических кри- сталлах?

3.18.Какие направления являются акустическими осями в кубиче- ских кристаллах?

3.19.Определить направление волновой нормали, соответствую- щее максимальному значению скорости поперечной акустической волны, распространяющейся в плоскости симметрии в кристаллах цинкита. Каково значение минимальной и максимальной скорости такой волны в указанной плоскости?

3.20.Найти положения продольных нормалей в кристаллах бе-

риллия.

3.21.Определить направления акустических осей в кристаллах бериллия.

3.22.Рассчитать значения наибольшей и наименьшей скорости поперечной акустической волны, распространяющейся в кристаллах рутила в плоскости X2X3. В какой из плоскостей симметрии рутила должна распространяться поперечная волна, чтобы ее скорость не зависела от направления волновой нормали?

3.23.Под каким углом к оси X1 лежит направление волновой нор- мали, соответствующей наименьшей скорости квазипродольной вол- ны, распространяющейся в плоскости X1X2 в кристаллах молибдата свинца?

3.24.Вдоль каких направлений в кристаллах молибдата кальция могут распространяться продольные акустические волны?

3.25.Как ориентированы акустические оси в кристаллах рутила?

3.26.Под каким углом к оси симметрии высшего порядка лежит направление волновой нормали, соответствующей наибольшей ско- рости поперечной акустической волны, распространяющейся в плос- кости симметрии кристаллов танталата лития?

3.27.Какими значениями коэффициентов cmn характеризуются кристаллы алюмоиттриевого граната, если скорости продольной и поперечной акустических волн, распространяющихся в направлении [100], оказались соответственно равными 8542 м/с и 5027 м/с, а ско- рость продольной волны, распространяющейся в направлении [110], равной 8598 м/с?

3.28.Скорости продольной и поперечной акустических волн, рас- пространяющихся в кристаллах германата висмута в направлении [010], оказались равными 3724 и 1662 м/с соответственно. Скорость поперечной волны, распространяющейся в направлении [110] и по-

ляризованной вдоль [1 1 0], оказалась равной 2298 м/с. По данным акустических измерений рассчитать значения коэффициентов cmn для германата висмута.

3.29. Определение коэффициентов упругой жесткости кристаллов бериллия производилось измерением скоростей распространения объемных акустических волн вдоль направлений (1,0,0), (0,0,1) и

1	1
	,0,	. Результаты измерений приведены в таблице.

2	2

Рассчитать значения коэффициентов cmn для бериллия.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]