Акустоэлектроника объемные акустические волны в кристаллах. Сборник задач

Когда только две недиагональные компоненты тензора Aik равны нулю, направления акустических осей удовлетворяют одному из со- отношений:

Когда лишь одна из недиагональных компонент тензора Aik равна нулю, скорости объемных акустических волн не могут совпадать.

Наконец, если все компоненты тензора Aik отличны от нуля, на- правления акустических осей являются решением системы уравне- ний

11

2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1.Вычислить фазовые и групповые скорости объемных акусти- ческих волн, которые могут распространяться в кристаллах ниобата

лития в направлении оси симметрии третьего порядка. Определить тип пьезоактивности этих волн. Какова величина коэффициента kE2 для продольно-пьезоактивной волны?

Решение. Кристаллы ниобата лития относятся к классу 3m. Со- гласно правилам выбора кристаллофизических осей в кристаллах

этого класса, ось X3 параллельна оси симметрии третьего порядка, т.е. компоненты вектора волновой нормали n равны n1 = n2 = 0, n3 =1.

В соответствии с видом матриц cmn, eim, εij для кристаллов класса 3m (X1 m) компоненты упругого тензора Кристоффеля (1.5), пьезо- электрического вектора (1.6) и диэлектрическая проницаемость (1.7) в направлении оси X3 соответственно равны

Γ11 = c44, Γ22 = c44, Γ33 = c33, Γ12 = Γ13 = Γ23 = 0;

e1 = e2 = 0, e3 = e33;

ε = ε33.

Тогда

–––––––––

При решении задач используются материальные константы кристаллов, приве- денные в табл. П7 и П8 приложения.

12

ствует вырожденным поперечным волнам, векторы поляризации этих волн могут быть любыми из векторов, лежащих в плоскости X1X2, т.е. p(S)(p1, p2, 0). Таким образом, ось симметрии третьего по- рядка является продольной акустической осью.

Компоненты пьезоэлектрического вектора (1.8) продольной волны

ei(L) = ei33 и e1(L) = e2(L) = 0 , e3(L) = e33 .

Поскольку e(L) || n, то продольная волна является продольно- пьезоактивной. Распространение этой волны сопровождается волной продольного электрического поля.

Компоненты пьезоэлектрического вектора (1.8) вырожденных по- перечных волн

ei(S) = ei31 p1 + ei32 p2 и e1(S ) = e15 p1(S ) , e2(S ) = e15 p2(S ) , e3(S ) = 0 .

Поскольку e(S) n, то вырожденные поперечные волны являются поперечно-пьезоактивными, и их распространение сопровождается волной электрической индукции.

Коэффициент (1.9) для продольной волны

Для продольной волны пьезоэлектрический множитель в (1.16)

Компоненты упругого (1.17), пьезоэлектрического (1.18) и диэлектри- ческого (1.19) векторов групповой скорости соответственно равны

S1д = S2д = 0 , S3д = ε33 ,

откуда для компонент вектора групповой скорости имеем

Поскольку V(L) || n, то продольная волна является обыкновенной.

13

Для вырожденных поперечных волн p(S)(p1, p2, 0) и пьезоэлектри- ческий множитель в (1.16)

Поэтому пьезоэлектрический эффект не влияет на групповые скоро- сти вырожденных поперечных волн и

отличен от нуля, вырожденные поперечные волны необыкновенные. Если положение вектора поляризации p(S) задать углом ϕ, который

он образует с осью X1 (p1 = cos ϕ, p2 = sin ϕ, p3 = 0), то

Отсюда следует, что при повороте вектора поляризации p(S) на угол ϕ проекция вектора групповой скорости V(S) на плоскость X1X2 поворачивается в обратном направлении на угол 2ϕ. Вектор группо- вой скорости V(S) описывает конус, половина плоского угла которого

γS = 8.53°.

2.2. Определение коэффициентов упругой жесткости непьезоэлек- трических кристаллов, относящихся к ромбической сингонии, можно осуществить, измерив значения скоростей трех изонормальных аку- стических волн, распространяющихся вдоль кристаллографических направлений [100], [010], [001], а также измерив скорости квазипопе- речных (квазипродольных) волн, распространяющихся в координат- ных плоскостях.

14

Найти выражения, позволяющие по известным значениям указан- ных скоростей акустических волн рассчитать значения всех незави- симых коэффициентов упругой жесткости ромбических кристаллов.

Решение. Упругие свойства кристаллов ромбической сингонии определяются девятью независимыми коэффициентами c11, c22, c33,

c12, c13, c23, c44, c55, c66.

Компоненты тензора Γik (1.2) для ромбических кристаллов равны

Согласно правилам выбора кристаллофизической системы коорди- нат в ромбических кристаллах оси X1, X2, и X3 параллельны кристалло- графическим направлениям [100], [010] и [001] соответственно.

Если акустическая волна распространяется в направлении [100], то n1 = 1, n2 = n3 = 0 и тензор Γik имеет вид

откуда следует, что

c11 = ρVL2,

где VL – скорость продольной волны.

Условимся обозначать скорость поперечной волны, имеющей век- тор поляризации p(p1, p2, p3), через VS[p1p2p3]. Тогда

c66 = ρVS2[010] , c55 = ρVS2[001] .

Аналогично, если акустическая волна распространяется в направ- лении [010], то

15

c22 = ρVL2, c66 = ρVS2[100] , c44 = ρVS2[001] .

При распространении волны в направлении [001]

Таким образом, измерив скорости изонормальных волн, распро- страняющихся в направлениях координатных осей X1, X2, и X3, мож- но получить значения шести коэффициентов c11, c22, c33, c44, c55, c66.

Выражения, позволяющие определить коэффициенты c12, c13, c23, найдем из рассмотрения распространения объемных акустических волн в направлениях, лежащих в координатных плоскостях.

Пусть акустическая волна распространяется в плоскости X1X2. То- гда n(n1, n2, 0) и тензор Γik запишется в виде

представляет интереса, поскольку сюда не входит ни один из коэф- фициентов c12, c13 или c23.

Выражения для скоростей квазипродольной и квазипоперечной волн получаем из (1.12):

Поскольку V1 < V2, то V1 соответствует квазипоперечной волне, V2 – квазипродольной волне, так как во всех известных средах скорости поперечных волн меньше, чем скорости продольных волн.

16

Пусть в процессе эксперимента была измерена скорость V1. Из выражения для V12 найдем r и возведем обе части полученного ра- венства в квадрат:

Подставим выражение для r и, оставив в левой части только член, в который входит c12, получим

−1 (c66 − c11 )n12 + (c22 − c66 )n22 2

4

или

(c12 + c66 )2 n12n22 = (c66n12 + c22n22 − ρV12 )(c11n12 + c66n22 − ρV12 ) .

Отсюда

Точно так же можно было бы найти c12, пользуясь значением скоро- сти V2 квазипродольной волны.

Аналогичным образом, если известна скорость квазипоперечной (квазипродольной) волны, распространяющейся в плоскости X2X3, получаем

Если известна скорость квазипоперечной (квазипродольной) вол- ны, распространяющейся в плоскости X1X3, получаем

2.3. При конструировании монокристаллических звукопроводов для ультразвуковых линий задержки особый интерес представляет

17

распространение поперечной акустической волны в плоскости сим- метрии, поскольку только в таких плоскостях возможно отражение поперечных волн без преобразования в акустические волны другого типа.

Определить положения и величину экстремумов скорости попереч- ной волны, распространяющейся в плоскости симметрии непьезоэлек- трических кристаллов, принадлежащих к моноклинной сингонии. Найти направления, в которых эта волна является обыкновенной.

Решение. Пусть ось X3 кристаллофизической системы координат параллельна оси симметрии второго порядка. Тогда интересующая нас поперечная акустическая волна распространяется в плоскости X1X2, т.е. n(n1, n2, 0), и поляризована вдоль оси X3, т.е. p(0, 0, 1).

В соответствии с видом матрицы упругих жесткостей cmn (X3 || 2) для акустических волн, распространяющихся в плоскости X1X2, тен- зор Γik (1.2) имеет вид

где

Γ11 = c11n12 + c66n22 + 2c16n1n2, Γ22 = c66n12 + c22n22 + 2c26n1n2, Γ33 = c55n12 + c44n22 + 2c45n1n2,

Γ12 = c16n12 + c26n22 + (c12 + c66)n1n2.

Отсюда скорость поперечной волны, поляризованной вдоль оси X3,

Очевидно, что скорость VS достигает экстремальных значений в тех же направлениях n, что и функция

ρVS2 = Γ33 = c55n12 + c44n22 + 2c45n1n2,

но последняя более удобна для решения. Таким образом, требуется найти векторы n единичные, т.е. удовлетворяющие условию

n12 + n22 = 1, (2.2)

и такие, чтобы функция ρVS2 была экстремальна.

18

Первый способ. Используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию

F= ρVS2 – λ( n12 + n22 – 1) = c55n12 + c44n22 +

+2c45n1n2 – λ( n12 + n22 – 1),

где λ – множитель Лагранжа.

Искомые векторы n и соответствующие им значения λ находятся как решения системы, состоящей из двух уравнений, соответствую- щих векторному уравнению ∂F/∂n = 0:

и уравнения (2.2).

Выясним физический смысл множителя λ. Умножив первое урав- нение системы (2.3) на n1, второе – на n2 и сложив полученные уравне- ния, получим λ = ρVS2. Очевидно, здесь n1 и n2 – компоненты вектора n, для которого величина ρVS2 достигает экстремального значения.

Система уравнений (2.3) показывает, что λ – собственные значе- ния двумерной матрицы

c55 c45 , c45 c44

а n – ее собственные векторы.

Так как матрица двумерная, собственных значений у нее два – это корни квадратного уравнения

где λ(1) (знак «+») определяет максимальную скорость, λ(2) (знак «–») – минимальную скорость поперечной волны.

19

Подставив λ(1) в (2.3), получим, что максимальное значение ско- рости поперечной волны достигается при

Аналогично можно найти направление, в котором скорость попе- речной волны минимальна, но проще воспользоваться взаимной пер- пендикулярностью собственных векторов, соответствующих несов- падающим собственным значениям.

Второй способ. Обозначив через ϕ угол, который образует вектор n с осью X1 (n1 = cos ϕ, n2 = sin ϕ, n3 = 0), получим зависимость ско- рости VS от угла ϕ:

Задача сводится к определению значений угла ϕ, при которых функция F = ρVS2 экстремальна. Для этого необходимо решить урав-

нение dF/dϕ = 0:

Выражение (2.6) определяет два взаимно ортогональных направле- ния в плоскости X1X2, если учесть два решения для угла 2ϕ, отли- чающиеся на π.

Найдем экстремальные значения скорости поперечной волны. Учитывая, что

из (2.5) нетрудно получить (2.4).

20