общности, предположить, что G – грамматика без ε-правил и без цепных правил.

Построим грамматику G′ = (N′,Σ,P′,S), в которой в множество P′ включены:

1)все правила из P вида (4.14) и (4.15);

2)для каждого правила из P вида (4.16) – правила вида

A → X1′X2′,

где все Yi – новые нетерминалы, а Xi′ = Xi, если Xi N, и Xi′ – новый нетерминал в противном случае;

4)правила Xi′ → Xi, для всех новых нетерминалов Xi′, введенных в пунктах 2–3.

Легко проверить, что L(G′) = L(G).

4.6. Лемма о накачке для КС-языков

Лемма 3 (О длине выводимой цепочки). Пусть дано дерево разбора для грамматики G = (N,Σ,P,S) в нормальной форме Хомского и кроной дерева является цепочка α Σ+.

Если n – наибольшая длина пути от корня к листьям, то |α| 6 2n−1.

Доказательство. По индукции: пусть n = 1. Длина пути есть число ребер, т. е. на 1 меньше числа узлов, участвующих в этом пути. Таким образом, дерево с максимальной длиной пути состоит из корня и листа, отмеченного терминалом (рис. 4.4). Цепочка α является этим терминалом, и |α| = 1. Так как 2n−1 = 20 = 1, то предположение леммы для n = 1 верно. Пусть n > 1. Корень дерева использует правило, которое должно иметь вид S → AB (рис. 4.5), так как n > 1 (т. е. нельзя начать дерево, использовав продукцию с терминалом). Ни один из путей в поддеревьях с корнями в A и B не может иметь длину больше чем n − 1. По предположению индукции эти два поддерева имеют длину кроны не более 2n−2. Крона всего дерева представляет собой конкатенацию этих двух крон, а следовательно, имеет длину, не превышающую 2n−2 + 2n−2 = 2n−1.

74

Теорема 28 (Лемма о накачке (о разрастании) для КС-языков). Пусть L –

контекстно-свободный язык. Тогда существует такая константа n, что если z – произвольная цепочка из L, длина которой не меньше n, то можно записать z = uVwxy, причем выполняются следующий условия:

1)|Vwx| 6 n (средняя часть не слишком длинная);

2)Vx =6 ε (хотя бы одна из цепочек V и x не пуста);

3)uViwxiy L, i > 0.

Доказательство. Для L найдем грамматику G = (N,Σ,P,S) в нормальной форме Хомского. Пусть #N = m.

Возьмем n = 2m. Предположим, что z L, |z| > n. По лемме 3 любое дерево разбора с кроной z имеет путь длиной не менее m + 1.

Пусть самый длинный путь имеет длину k + 1, k > m. Тогда на этом пути встречается k + 1 нетерминал A0,A1,A2,...,Ak. Но N содержит всего m нетерминалов, поэтому хотя бы два из m + 1-го нетерминала на пути должны совпадать. Пусть Ai = A j = A, где k − m 6 i 6 j 6 k.

Тогда дерево разбора можно разделить так, как показано на рис. 4.6. Цепочка w является кроной поддерева с корнем A j . Цепочки V и x – это цепочки соответственно справа и слева от w в кроне большого поддерева с корнем Ai. Цепных правил в грамматике нет, поэтому цепочки V и x не могут одновременно равняться ε (хотя одна из них может). Наконец, u и y образуют части z, лежащие соответственно слева и справа от поддерева с корнем Ai.

Если Ai = A j = A, то по исходному дереву можно построить новое дерево разбора. Сначала можно заменить поддерево с корнем A j , имеющее крону Vwx, поддеревом с корнем A j , у которого крона w. Это допустимо, так как корни обоих поддеревьев отмечены одним и тем же нетерминалом A. Полученное дерево представлено на рис. 4.7. Оно соответствует случаю i = 0.

Другая возможность представлена на рис. 4.8. Там поддерево с корнем A j заменено поддеревом с корнем Ai. Это допустимо, так как корни поддеревьев совпадают. Кроной такого дерева является цепочка uV2wx2y. Можно далее продолжать процесс замены поддеревьев большими поддеревьями с целью получения кроны uViwxiy для любого i. Итак, в G существуют деревья разбора для всех таких цепочек.

75

Мы выбирали Ai с условием k − i 6 m. Таким образом, самый длинный путь в поддереве с корнем Ai имеет длину не более m + 1. По лемме 3 поддерево с корнем Ai имеет крону, длина которой не больше 2m = n. Тем самым все утверждения теоремы доказаны.

Контрольные вопросы и задания

1.Что собой представляет регулярное выражение?

2.Как регулярное выражение определяет язык?

3.Перечислите операции над регулярными выражениями в порядке возрастания приоритетов.

4.Что является решением леволинейной системы с регулярными коэффициентами?

5.Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений с регулярными коэффициентами.

76