Финансовая математика. Сборник задач

член которой равен R , а срок – n . Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член проценты начисляются n 1 год, на второй n 2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (рента постнумерандо). Наращенные к концу срока каждого взноса суммы составят

R(1 i)n 1, R(1 i)n 2 , , R 1 i , R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1 i и первым членом R . Число членов прогрессии равно n . Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии. Отсюда

Обозначим множитель, на который умножается R , через sn,i ; индекс n,i указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. Этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Этот коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1:

Таким образом,

S Rsn,i .

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо. Напомним, что под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо терминов «современная стоимость» и «современная величина» потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины «капитализированная стоимость» и «приведенная стоимость (величина)». Как было показано выше, современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток. В связи с этим данный показатель находит широкое применение в разноо-

51

бразных финансовых расчетах (планирование погашения долгосрочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффективности производственной инвестиции и т.д.).

Начнем рассмотрение методов расчета современных стоимостей финансовых рент с годовой ренты постнумерандо, член которой равен R, срок ренты – n , ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна Rv , второго – Rv2 , последнего – Rvn . Как видим, эти величины образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом Rv и знаменателем v . Обозначим сумму членов этой прогрессии как A . Найдем ее:

3.3. Решение типовых задач

Задача 3.1. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение пяти лет. Размер разового платежа – 4 млн руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5 %. Определите величину фонда на конец срока.

Решение

Величина фонда на конец срока составит

Задача 3.2. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение пяти лет. Размер разового платежа – 4 млн руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5 %. Определите величину фонда на конец срока. Проценты начисляются поквартально.

Решение

Имеем j 18,5 , mn 20.

m4

52

Как видим, переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму.

Задача 3.3. Определить размеры периодических взносов при решении двух следующих задач:

а) создать целевой фонд (например, для погашения задолженности или обеспечения инвестиций) в сумме 100 млн руб.; б) погасить в рассрочку текущую задолженность в сумме

100 млн руб.

Решение

Срок в обоих случаях – 5 лет, процентная ставка равна 20 %, платежи ежегодные постнумерандо.

a5;20 2,9906

3.4.Вопросы для обсуждения

1.Какой денежный поток называется потоком пренумерандо? Приведите пример.

2.Какой денежный поток называется потоком постнумерандо? Приведите пример.

3.Чем объясняется достаточно большое распространение на практике потока постнумерандо?

4.В рамках решения каких двух задач может выполняться оценка денежного потока?

5.Какая формула лежит в основе оценки наращенного денежного потока?

6.Какая формула лежит в основе определения общей величины приведенного денежного потока?

53

7.Почему при оценке денежного потока обычно предполагается капитализация по схеме сложных процентов?

8.Какой денежный поток называется аннуитетом?

9.Что называется членом аннуитета, периодом аннуитета?

10.Какой аннуитет называется срочным?

11.Какой аннуитет называется p-срочным?

12.Приведите пример срочного аннуитета постнумерандо.

13.Приведите пример срочного аннуитета пренумерандо.

14.Какой аннуитет называется постоянным?

15.Что называется коэффициентом наращения аннуитета?

16.Каков экономический смысл коэффициента наращения аннуитета?

17.Как изменяется коэффициент наращения аннуитета при изменении процентной ставки и срока действия аннуитета?

18.Как пользоваться таблицей значений коэффициента наращения аннуитета?

19.Какие свойства коэффициента наращения аннуитета вы можете привести? Дайте этим свойствам финансовую интерпретацию.

20.Какое существует соотношение между множителем наращения сложными процентами и коэффициентом наращения аннуитета? Каким образом, используя это соотношение, можно интерпретировать результат наращения сложными процентами?

21.Какие существуют подходы при рассмотрении ситуации, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода?

22.Что называется коэффициентом дисконтирования аннуитета?

23.Каков экономический смысл коэффициента дисконтирования аннуитета?

24.Как изменяется коэффициент дисконтирования аннуитета при изменении процентной ставки и срока действия аннуитета?

25.Как пользоваться таблицей значений коэффициента дисконтирования аннуитета?

26.Какие свойства коэффициента дисконтирования аннуитета вы можете привести? Дайте этим свойствам финансовую интерпретацию.

54

27.Какое существует соотношение между множителем дисконтирования при дисконтировании по сложной процентной ставке и коэффициентом дисконтирования аннуитета? Каким образом можно интерпретировать это соотношение?

28.Какой аннуитет называется отсроченным?

29.Как получить формулы определения будущей или приведенной стоимости аннуитета при начислении непрерывных процентов?

30.Каково соотношение между будущими стоимостями аналогичного вида аннуитетов пренумерандо и постнумерандо?

31.Какая из приведенных стоимостей аналогичного вида аннуитетов больше: пренумерандо или постнумерандо?

32.Какой аннуитет называется бессрочным?

33. Приведите пример бессрочного аннуитета (вечной ренты).

34.Почему определение будущей стоимости бессрочного аннуитета не имеет смысла?

35.Как пояснить с финансовой точки зрения, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость?

36.Какая существует связь между приведенной стоимостью срочного аннуитета и приведенными стоимостями бессрочных аннуитетов?

37.В каких случаях для определения приблизительно приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета?

38.Какой аннуитет называется непрерывным?

39.В каких случаях р-срочный аннуитет можно практически считать непрерывным? Приведите пример.

40.Каким образом можно получить формулы для оценки непрерывного аннуитета?

41.Имеет ли смысл говорить о непрерывном аннуитете как об аннуитете постнумерандо или пренумерандо?

42.Какой аннуитет называется переменным?

43.Приведите пример переменного аннуитета с постоянным абсолютным изменением его членов. Какую зависимость образуют члены такого аннуитета?

55

44.Приведите пример переменного аннуитета с постоянным относительным изменением его членов. Какую зависимость образуют члены такого аннуитета?

45.Приведите пример переменного аннуитета, при оценке которого можно воспользоваться формулами оценки постоянного аннуитета.

3.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Клиент в конце каждого года вкладывает 4 тыс. руб.

вбанк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 30 % годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через: а) 3 года; б) 8 лет; в) 15 лет. Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются в начале каждого года?

2.Вам предлагают сдать в аренду участок на 5 лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 15 тыс. руб. – в конце каждого года; б) 130 тыс. руб. – в конце пятилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 24 % годовых по вкладам? При какой оплате в конце каждого года оба варианта практически эквивалентны?

3.Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет в течение 4 лет получать в конце каждого полугодия 12 тыс. руб. Определите возможные суммы, которые через 4 года получит предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 24 % годовых с начислением процентов: а) ежегодно; б) каждые полгода; в) ежеквартально.

4.В течение 6 лет каждые полгода в банк вносится по 10 тыс. руб. по схеме: а) постнумерандо; б) пренумерандо. Банк начисляет сложные проценты каждые полгода из расчета 20 % годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?

5.Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета постнумерандо: а) класть на депозит 30 тыс. руб. каждые полгода при условии, что банк начисляет 18 % годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) делать ежегодный вклад в размере 63 тыс. руб. на условиях 19 % годовых при ежегодном начислении сложных процентов. Ка-

56

кая сумма будет на счете через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен? Изменится ли ваш выбор, если процентная ставка во втором плане будет снижена до 18,5 %?

6. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо: а) класть на депозит сумму в размере 15 тыс. руб. каждый квартал при условии, что банк начисляет 20 % годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) делать ежегодный вклад в размере 52 тыс. руб. на условиях 22 % годовых при ежегодном начислении сложных процентов. Какая сумма будет на счете через 8 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен? Изменится ли ваш выбор, если процентная ставка во втором плане будет увеличена до 23 %?

7. Страховая компания заключила договор с предприятием на три года, установив годовой страховой взнос в 6 тыс. руб. Страховые взносы помещаются в банк под сложную процентную ставку 25 % годовых. Определите сумму, которую получит страховая компания по этому контракту, если взносы будут поступать: а) в конце каждого года; б) равными долями в конце каждого полугодия в размере 3 тыс. руб.; в) равными долями в конце каждого квартала в размере 1,5 тыс. руб. Учесть возможность использования и только сложных процентов, и смешанной схемы.

8. Для создания фонда фирма вкладывает ежегодно в банк по 24 тыс. руб. под годовую номинальную процентную ставку 32 %. Определите сумму, которая будет накоплена в фонде через 8 лет, если: а) взносы делаются в конце года, а сложные проценты начисляются по полугодиям; б) взносы делаются равными долями в конце каждого месяца (т.е. по 2 тыс. руб.), а сложные проценты начисляются ежеквартально; в) взносы делаются равными долями в конце каждого квартала (т.е. по 6 тыс. руб.) и начисляются непрерывные проценты.

9. Стоит ли покупать за 5500 руб. ценную бумагу, генерирующую ежегодный доход в размере 1000 руб. в течение 20 лет, если банк предлагает сложную процентную ставку 18 % годовых?

57

10.Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой 4 тыс. руб. Годовая процентная ставка

втечение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются ежеквартально. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 4 года; в) через 5,5 года, а сложная процентная ставка равна 32 % годовых?

11.Клиент хочет накопить на своем счете 80 тыс. руб., осуществляя в конце каждого года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 30 % годовых. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы клиент мог накопить требуемую сумму: а) за 5 лет; б) за 10 лет?

12.Предприниматель с целью покупки оборудования делает в конце каждого квартала равные вклады в банк под годовую номинальную процентную ставку 28 %, причем сложные проценты начисляются по полугодиям. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы предприниматель мог накопить 250 тыс. руб.: а) за 3 года; б) за 8 лет при использовании только схемы сложных процентов?

13.На взносы в банк по 15 тыс. руб. в начале каждого полугодия в течение 8 лет начисляются ежеквартально сложные проценты по ставке 20 % годовых. Какая сумма будет на счете

вконце срока?

14.Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос

вразмере 14 тыс. руб. Банк устанавливает годовую номинальную процентную ставку 36 %. Какая сумма будет на счете по истечении 6 лет, если начисление сложных процентов происходит: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

15.На ежеквартальные взносы в банк в размере 10 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет сложные проценты по номинальной процентной ставке 24 % годовых: а) раз в год; б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?

16.Предприятие намеревается создать за 5 лет фонд развития в размере 300 тыс. руб. Какую сумму предприятие должно ежегодно ассигновать на эту цель при условии помещения денег в банк в конце каждого года под процентную ставку 24 % годовых с начислением сложных процентов: а) ежегодно; б) ежемесячно?

58

17.Некая фирма хочет создать фонд в размере 400 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 80 тыс. руб. в банк под 32 % годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.

18.Господин N с целью накопления на своем счете 180 тыс. руб. в начале каждого квартала будет вносить по 6 тыс. руб.

вбанк под номинальную процентную ставку 26 % годовых. Определите необходимый для этого срок, если банк начисляет непрерывные проценты.

19.Клиент положил в банк 20 тыс. руб., намереваясь снимать со счета в конце каждого года 5,5 тыс. руб. Как долго клиент сможет снимать деньги со счета, если банк начисляет сложные проценты по ставке 24 % годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно?

20.Определите текущую (приведенную) стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 24 % годовых, причем сложные проценты начисляются по полугодиям.

21.Фермеру предлагают продать находящийся в его владении участок земли, на котором он выращивает в среднем 600 т картофеля в год. Цена одного килограмма картофеля (в долларах) из года в год одна и та же и равна 0,3 долл. Банковский процент по валютным вкладам устойчиво держится на уровне 15 % годовых. Ниже какой цены фермеру не имеет смысла продавать землю, если затраты на выращивание, сбор и реализацию картофеля оцениваются в 60 тыс. долл. в год?

22.Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 32 % годовых, чтобы неограниченно долго иметь возможность ежегодно получать по 80 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 3 месяца (т.е. по 20 тыс. руб.), если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно?

23.У вас есть возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными вы-

59

платами 15 тыс. руб. Второй проект в течение двух лет принесет соответственно 30 и 80 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 24 % годовых? Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ изменится на противоположный?

24.Предприниматель получил ссуду в сумме 400 тыс. руб. под 25 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. В соответствии с финансовым соглашением предприниматель будет возвращать долг равными суммами по 150 тыс. руб. в конце каждого года. Составьте план погашения долга.

25.Выдан кредит в сумме 80 тыс. руб. под 24 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Долг нужно возвращать ежемесячно в течение года равными суммами. Определите величину каждого платежа, если он происходит: а) в конце каждого месяца; б) в начале каждого месяца.

26.В течение 7 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 30 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу седьмого года при использовании сложной процентной ставки 24 % годовых, считая, что платежи поступают непрерывным образом.

27.В течение 3 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 15 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу третьего года при использовании процентной ставки 18 % годовых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) по полугодиям; б) ежемесячно. Рассмотрите схемы постнумерандо и пренумерандо, полагая в году 360 дней. Можно ли

вкачестве приближения считать, что имеем дело с непрерывным аннуитетом?

28.Некоторое месторождение полезных ископаемых будет разрабатываться в течение 8 лет, при этом ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения составят в среднем 300 млн руб. в год. Определите капитализированную (приведенную) стоимость ожидаемого дохода при использовании сложной процентной ставки 20 % годовых и в предположе-

60