Финансовая математика. Сборник задач

б) Поскольку в этом случае n 9 , то при наращении сложными и простыми процентами соответственно получим

S 20(1 0,25)9 20 7,4506 149,012 тыс.руб.;

S20 1 9 0,25 65 тыс.руб.

Вобоих случаях наращение сложными процентами составляет большую по величине сумму, чем наращение простыми процентами. С увеличением числа периодов начисления разница между этими наращенными суммами все больше растет. Заметим, однако, что если бы проценты начислялись за время меньше года, то наращение простыми процентами составило бы большую сумму, чем сложными.

Задача 2.2. В банке получена ссуда в размере 40 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28 % годовых, на следующий год устанавливается маржа в размере 1 %, и на последующие годы маржа равна 1,5 %. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.

Решение

Поскольку имеем дело с переменной процентной ставкой, то мы получаем следующую формулу:

S 40(1 0,28)3 1 0,29 (1 0,305)4 313,850 тыс.руб.

Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 8 лет ежегодно начисляются сложные проценты по процентной ставке

i 8 (1 0,28)3 1 0,29 (1 0,305)4 1 0,2937.

То есть 29,37 % годовых, с целью проверки найдем наращенную сумму:

40(1 0,2937)8 313,855 тыс.руб.

т.е. с точностью до единиц рублей мы получили такую же величину S . Если взять более точное значение i , например

31

i 29,3697 %, то результат проверки составит 313,850 тыс. руб.

Задача 2.3. Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30 % годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза; б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение

а) Если начисляются сложные проценты, то получаем

При начислении простых процентов:

n 4 1 10 лет. 0,3

Таким образом, для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении сложных процентов требуется времени гораздо меньше (почти в 1,9 раза), чем при начислении простых процентов.

б) Для случая простых процентов находим n 1 1 3,333 года,

r0,3

т.е. необходимый срок удвоения первоначальной суммы при начислении простых процентов равен обратной величине процентной ставки, используемой при наращении.

Для случая сложных процентов получаем

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как «правило 72-х». Это правило заключается в следующем: если i – процентная ставка, выраженная в процентах, то n 72 / i представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно

32

удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений i . Так, если годовая ставка i 12 %, то применение «правила 72-х» дает значение n 6 лет (а по формуле получаем n 6,116 года). Если же процентная ставка i 30 %, то по правилу n 2,4 года (а по формуле получили n = 2,642). Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма «правила 72-х» ставка взята в процентах.

Задача 2.4. Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 тыс. руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке: а) 20 % годовых; б) 25 % годовых.

Решение

а) Первоначальная величина долга:

P 40(1 0,2)3 20,48 тыс. руб.

Поэтому дисконт равен:

D 40 20,48 19,52 тыс. руб.

б) Так как в этом случае d 0,25, то

P 40(1 0,25)3 16,875 тыс. руб.;

D 40 16,875 23,125 тыс. руб.

Видно, что с ростом учетной ставки уменьшается дисконтированная величина выплаты по долговому обязательству, следовательно, увеличивается величина дисконта.

Задача 2.5. На сумму 6 тыс. руб. в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 7 %; б) 27 %.

Решение

а) Наращенная сумма при ставке 7 %:

S 6e0,07 5 8,514 тыс. руб.

33

Если в данном случае применить формулу для начисления обычных сложных процентов по процентной ставке i 0,07 , то получим сумму

S 6(1 0,07)5 8,415 тыс.руб.,

которая отличается от предыдущей всего на 99 руб., хотя наращение происходит достаточно долго – 5 лет. Такой результат объясняется небольшой величиной ставки. Ясно, что при более частом начислении сложных процентов эта разница будет еще меньше.

б) Наращенная сумма при ставке 27 %:

S 6e0,27 5 23,145 тыс. руб.

Для сложных процентов получаем:

S 6(1 0,27)5 19,823 тыс. руб.,

т.е. имеем значительную разницу (3,322 тыс. руб.) между найденными суммами.

Задача 2.6. Долговое обязательство учтено в банке за 9 месяцев до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке 32 %. По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?

Решение

Рассчитаем значение простой учетной ставки:

Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 29,51 % годовых. Можно провести проверку найденного решения:

d 4 1 3 1 0,75 0,2951 0,32, или 32 %.

Получив номинальную годовую учетную ставку, данную в условии примера, делаем вывод, что простая учетная ставка найдена верно.

34

2.4.Вопросы для обсуждения

1.Как происходит начисление сложных процентов на капитал в течение всего срока?

2.Какой вид имеет множитель наращения при начислении процентов по сложной процентной ставке?

3.Какой можно привести экономический смысл множителя наращения сложных процентов при использовании процентной ставки?

4. Почему представляется естественным использование в расчетах именно сложных процентов в случае многократного их начисления?

5.Что называется капитализацией процентов?

6.Каким образом должны соответствовать друг другу длина периода начисления и процентная ставка?

7.Как пользоваться таблицей значений множителя наращения при начислении сложных процентов?

8.Как соотносятся величины наращенных сумм при начислениях по схеме простых и по схеме сложных процентов?

9.Как соотносятся величины наращенных сумм при начислениях процентов по сложной процентной ставке и по простой учетной ставке, когда эти ставки равны?

10.Какие два основных способа начисления процентов, связанных со сложными процентами, вы знаете? Какой из них выгоднее для кредитора? Возможны ли еще какиелибо способы?

11.Какой из всех возможных способов начисления процентов, связанных со сложными процентами, доставляет наибольшую наращенную сумму, а какой – наименьшую?

12.3а какой период происходит удвоение первоначальной суммы в результате наращения по сложной процентной ставке?

13.В чем заключается «правило 72-х»? Какие аналогичные правила еще можно указать?

14.Какая годовая процентная ставка называется номинальной?

15.Верно ли, что начисление сложных процентов по процентной ставке 12 % годовых не эквивалентно начислению сложных процентов по процентной ставке 1 % в месяц? А при начислении простых процентов?

35

16.Что происходит с наращенной суммой, если растет частота начисления сложных процентов по процентной ставке? Чем эта ситуация отличается от случая простых процентов?

17.Могут ли номинальные процентные ставки, предусмотренные в финансовых контрактах, служить в качестве показателей для сравнения этих контрактов?

18.Какая ставка называется эффективной годовой процентной ставкой? От каких параметров она зависит?

19.Как ведет себя эффективная годовая процентная ставка с увеличением внутригодовых начислений?

20.Как пояснить с финансовой точки зрения соотношение между эффективной и номинальной процентными ставками?

21.В каком случае эффективная годовая процентная ставка совпадает с номинальной?

22.Что происходит с величиной номинальной процентной ставки при определении ее через эффективную годовую процентную ставку, когда число начислений процентов в году растет?

23.Какие номинальные процентные ставки называются эквивалентными?

24.Каким образом можно определить эффективную процентную ставку, не используя явным образом номинальную ставку?

25.Почему номинальная ставка процента по кредитам так называемых коротких денег (на одну-две недели) ниже ставки центрального банка?

26.Приведите формулу дисконтирования по сложной процентной ставке.

27.Каков экономический смысл множителя дисконтирования при математическом дисконтировании?

28.Из каких соображений может определяться процентная ставка в дисконтном множителе при математическом дисконтировании?

29.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по сложной процентной ставке и по простой учетной ставке, когда эти ставки равны?

30.С позиции какого момента времени можно оценить будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, при использовании сложной процентной ставки?

36

31.В каких случаях может осуществляться дисконтирование по сложной учетной ставке?

32.Опишите подробно, как осуществляется дисконтирование по сложной годовой учетной ставке при продаже некоторого долгового обязательства за три года до срока погашения.

33.Какой вид имеет множитель дисконтирования при дисконтировании по сложной учетной ставке?

34.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по простой и по сложной учетным ставкам?

35.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по сложной учетной и по сложной процентной ставкам?

36.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по простой процентной и по сложной учетной ставкам?

37.Какие два основных способа дисконтирования, связанные со сложной учетной ставкой, вы знаете? Какой из них выгоднее для лица, осуществляющего учет?

38.Может ли учет по сложной учетной ставке привести

кнедопустимым на практике величинам?

39.Какая годовая учетная ставка называется номиналь-

ной?

40.Что происходит с величиной учтенного капитала, если растет число осуществлений операции дисконтирования по сложной учетной ставке?

41.Какая ставка называется эффективной годовой учетной ставкой? От каких параметров она зависит?

42.Как ведет себя эффективная годовая учетная ставка с увеличением числа периодов дисконтирования в году?

43.Как пояснить с финансовой точки зрения соотношение между эффективной и номинальной учетными ставками?

44.В каком случае эффективная годовая учетная ставка совпадает с номинальной?

45.Что происходит с величиной номинальной учетной ставки при определении ее через эффективную годовую учетную ставку, когда число операций дисконтирования в году растет?

46.Какие номинальные учетные ставки называются эквивалентными?

37

47.Приведите формулу наращения по сложной учетной ставке.

48.Какая из ставок, сложная учетная или такая же по величине сложная процентная, обеспечивает более быстрый рост капитала при наращении?

49.Как соотносятся между собой результаты наращения по простой процентной и сложной учетной ставкам?

50.Что можно сказать о декурсивном и антисипативном способах начисления сложных процентов, когда период начисления уменьшается?

51.Как пояснить переход к непрерывным процентам?

52.Чем отличаются дискретные проценты от непрерывных?

53.Какая постоянная используется при непрерывном начислении процентов?

54.Какая ставка называется силой роста?

55.Чему равен множитель наращения при непрерывном начислении процентов?

56.Можно ли сказать, что сила роста показывает скорость относительного роста накапливаемой суммы?

57.Какое существует соотношение между силой роста и годовой процентной ставкой?

58.Какое существует соотношение между силой роста и годовой учетной ставкой?

59.Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую процентную ставку.

60.В каких случаях целесообразно использовать непрерывное начисление процентов?

61.Можно ли с помощью двух различных ставок получить один и тот же финансовый результат? Поясните на примере.

62.Можно ли сказать, что любая ставка характеризует доходность финансовой операции?

63.Какие ставки называют эквивалентными?

64.Почему участникам финансового соглашения безразлично, какая из эквивалентных ставок указывается в контракте?

65.Можно ли рассматривать определение эффективной ставки (процентной или учетной) как определение одной из эквивалентных ставок?

66.Какая идея используется при выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки?

38

67.В каких случаях эквивалентность процентных ставок не зависит от продолжительности периода начисления?

68.В каких случаях эквивалентность процентных ставок зависит от продолжительности периода начисления?

69.Для каких целей переходят от дискретных ставок к соответствующим эквивалентным непрерывным ставкам?

70.Приведите пример ситуации, когда ставка эквивалентна двум ставкам.

2.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Депозит в 40 тыс. руб. положен в банк на 5 лет под процентную ставку 28 % годовых. Найдите наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты. Составьте схему возрастания капитала по годам.

2.Сумма 24 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 30 % годовых: а) на 4 года; б) на 10 лет. Найдите наращенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.

3.Сделайте сравнительный анализ графиков изменения наращения капитала при реализации схем простых и сложных процентов.

4.Предприниматель получил в банке ссуду в размере 30 тыс. руб. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22 % годовых, на следующие три года устанавливается маржа в размере 0,5 % и на последующие годы маржа равна 0,8 %. Найдите сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при ежегодном начислении сложных процентов.

5.Банк предоставил ссуду в размере 250 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 34 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Какая схема менее выгодна для банка?

6.Предприниматель взял в банке кредит в размере 90 тыс. руб. под сложную процентную ставку 36 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Через 2 года

39

и 7 месяцев кредит был погашен суммой 201,421 тыс. руб. Какую из двух основных схем начисления процентов использовал банк?

7.Вы делаете вклад в банк в размере 14 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 32 % годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов производится по схеме сложных и простых процентов: а) ежегодно; б) каждые полгода?

8.Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы

в1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая процентная ставка равна 24 %, периоды наращения различны: 30 дней, 150 дней, 210 дней, 1 год, 4 года, 10 лет, 20 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты.

9.В банк вложены деньги в сумме 8 тыс. руб. на 1,5 года под 32 % годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Приведите схему возрастания капитала в конце каждого периода. Как изменится итоговая наращенная сумма при ежемесячном начислении сложных процентов? Какой вывод можно сделать о частоте начисления сложных процентов?

10.Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных процентов, если процентная ставка равна: а) 5 %; б) 10 %; в) 15 %; г) 25 %; д) 50 %; е) 75 %; ж) 100 %.

11.На вклад в конце каждого полугодия начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 20 %. За какой срок первоначальный капитал увеличится

в4 раза? Как изменится результат, если сложные проценты начисляются ежемесячно?

12.За какой срок исходная сумма 20 тыс. руб. возрастет до 60 тыс. руб., если сложные проценты по процентной ставке 28 % годовых начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

13.Вкладчик хотел бы за 4 года удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов ежеквартально?

40