Линейная статистическая модель (линейная регрессия от одного параметра)

При моделировании химико-технологических процессов (ХТП) во многих случаях связь между входными (x) и выходными (y) параметрами можно аппроксимировать линейным полиномом (зависимостью).

(7)

Для получения вида математической модели необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии b₀ и b₁. Для этого применяется метод наименьших квадратов.

(8)

Таким образом, процедура нахождения коэффициентов регрессии сводится к задаче определения минимума функции. Необходимое условие минимума функции является равенство нулю частных производных функции по исходным величинам (коэффициентам).

(9)

(10)

(11)

Решая систему уравнений, выражаем коэффициенты b₀ и b₁.

(12)

(13)

После вычисления коэффициентов необходимо провести статистический анализ полученного уравнения регрессии с целью проверки модели на адекватность.

Статистические модели в виде нелинейных полиномов. Параболическая регрессия

При составлении статистических моделей ХТП часто возникает необходимость использовать уравнения нелинейной формы, в частности полином второй степени.

(14)

Коэффициенты регрессии определяем по методу наименьших квадратов.

(15)

Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b₀, b₁, b₂.

(16)

Выполнив преобразования, получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (b₀, b₁, b₂).

(17)

Введем обозначения:

				(18)

С учетом принятых обозначений система будет иметь следующий вид:

(19)

Определим неизвестные коэффициенты b₀, b₁, b₂.

(20)

(21)

(22)

После решения системы уравнений и вычисления коэффициентов b₀, b₁, b₂ проводится статистический анализ полученного уравнения регрессии. Аналогичным образом будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Исследование уравнения проводится по статистическим критериям. Однако в этом случае не требуется вычислять выборочные коэффициенты корреляции. Адекватности уравнения регрессии эксперименту можно добиться, повышая степень полинома. Однако при этом все коэффициенты следует вычислять заново, так как существует корреляция между коэффициентами.

Расчет коэффициента корреляции с пояснениями:

Введем обозначение:

y (выходной параметр) – Концентрация химического реагента, г/т

x₁ (фактор) – Поверхностное натяжение, дин/см

x₂ (фактор) – Диаметр капли, см

x₃ (фактор) – Обводненность нефти на выходе, % мас.

Выполним обработку экспериментальных данных при помощи программы Microsoft Excel.

Формула коэффициента корреляции:

(4)

Рассчитаем числитель по формуле:

(5)

Для x₁: -192,95

Для x₂: 0,341

Для x₃: -112,4045

Рассчитаем по формуле:

350. Тогда =18,70829

Рассчитаем по формуле:

4,33219. Следовательно, =2,081391

1,35288E-05. Следовательно, =0,003678

1,518574666. Следовательно, =1,232305

Рассчитаем коэффициент корреляции:

-0,991030473

0,991107878

-0,975127931

Благодаря полученным значениям коэффициентам корреляции, можно сделать вывод, что поверхностное натяжение, диаметр капли и обводненность нефти на выходе находятся в тесной корреляционной зависимости от концентрации химического реагента.

Построим графики описывающие экспериментальные данные.

Зависимость поверхностного натяжения и диаметра капли от концентрации химического реагента лучше всего описывается линейным уравнением, а зависимость обводненности нефти от концентрации химического реагента – полиномиальным уравнением второй степени. Данные уравнения выбрали так, чтобы значения ошибки аппроксимации были наиболее близки к единице.

Вывод: в ходе данной лабораторной работы провели статистический анализ экспериментальных данных, полученных при исследовании химико-технологического процесса. Рассчитаны коэффициенты парной корреляции, установлена тесная связь между входными и выходными параметрами. Получили вид функциональной зависимости физико-химических параметров и оценили ошибку аппроксимации.