Уравнение Даламбера – основное уравнение динамики волн.
Ускорение |
|
|
2 |
a 2 cos (t |
|
z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
cos( t kz) |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
t |
|
|||
z 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
2 |
|
1 2 |
|
|
||||||||||
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
t2 |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
Уравнение Даламбера.
(t,z) acos( t kz) acos (t z ) - удовлетворяет уравнению Даламбера
Колебательная |
|
|
|
|
|
z |
||
скорость |
t |
a sin (t |
|
|
|
) |
||
|
|
|||||||
Относительная |
|
|
a |
|
z |
|||
деформация |
z |
|
|
sin (t |
|
) |
||
|
|
|||||||
Ускорение |
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
a 2 cos (t |
) |
||||||
|
t2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
a 2 |
cos (t |
|
z |
) |
||
|
z2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
max z max t
2 |
|
1 |
2 |
|
z2 |
2 |
t2 |
||
|
Т.о., уравнение бегущей волны удовлетворяет уравнению Даламбера.
в тонком стержне Закон Гука
E ;
|
F |
; |
E |
модуль Юнга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Sнапряжение; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||
Второй закон Ньютона : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z z |
z |
|
z z |
|
|
||||||||||
S z F |
|
|
F |
|
S |
|
|
|
z |
||||||||||
S |
z SE 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
E |
2 |
|
t2 |
x2 |
|
v |
E |
|
|
|||
|
|
Скорость упругих продольных волн в тонком стержне .
скорость поперечных упругих волн в твердой среде
-скорость волны в гибком шнуре
F сила натяжения
|
линейная плотность шнура- масса единицы |
||
1 |
длины шнура. |
||
|
|
|
скорость волны в газе. |
|
v |
p |
скорость волны в жидкости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия. Плотность энергии упругой волны |
||||||||
z |
|
l |
|
|
F |
z |
F z kz |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
деформация стержня. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
x |
kz2 |
Работа силы F |
||||
A F z dz kzdz |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
W kz2 . Потенциальная энергия
п2
|
S |
|
|
F |
kz S; |
-площадь поперечного сечения |
|
|
|
|
|
напряжение ; |
|
E Закон Гука |
|
|
z |
|
относительная деформация |
|
l |
||||
|
|
|
WП |
Fx |
|
Sl |
|
потенциальная энергия |
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W |
|
|
|
E 2 |
|
E |
|
|
|
2 |
||
w |
|
П |
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
П |
|
Sl |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- плотность упругой энергии
Wк |
S z |
2 |
кинетическая энергия |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
t |
|
|
wк |
Wк |
|
|
|
|
2 |
- плотность кинетической энергии |
|
|
|
|
|
|||
S z |
2 |
|
; |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
v |
E |
|
z |
|
|
||||
|
t |
|
|
|||
синфазны
wк wП |
|
|
2 |
|
E |
2 |
Синфазны |
||
|
|
|
|
|
|
|
и равны |
||
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
t |
|
|
z |
||||
w w w |
|
2 |
; |
|
|
|
|
||
к П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Потенциальная энергия упругой |
Кинетическая энергия упругой |
|
||||||||||
деформации физически малого объёма |
деформации физически малого объёма |
|||||||||||
Wn |
|
2 |
|
2 |
Wk |
m |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
V |
|
2 |
|
|
2 |
V |
|
|||
|
|
|
z |
|
|
t |
|
t |
|
|||
Усредненные по физически малому объему значения
acos( t kz)
|
a sin( t kz) |
t |
|
|
ak sin( t kz) a sin( t kz) |
z |
|
Плотность |
|
Wk Wn |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||||
энергии упругой |
w |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
sin |
( t kz) |
V |
|
|||||||||||||||
волны |
|
|
|
|
t |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распространение волны |
|
|
|
|
|
w a2 2 sin2 ( t kz) |
|
|
|
|
сопровождается |
|
|
|
|
переносом энергии в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
Плотность энергии упругой гармонической волны
Величина и фаза плотностей кинетической и упругой энергий одинаковы
|
2 |
2 2 2 |
t kz ; |
|
w wк wП |
|
a sin |
||
|
t |
|
|
|
w a2 2 sin2( t kz)
Распространение волны сопровождается переносом энергии в пространстве
w
a2 2 2