ВОЛНЫ
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .
УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Упругие волны бывают продольными и поперечными. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной – перпендикулярно распространения волны.
УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль длинного натянутого вдоль оси х шнура.
|
- смещение элементов шнура из положения |
|
|
|
|||
|
равновесия; |
скорость волны. |
|
|
|
z |
|
0,t f t |
z,t |
|
|
||||
f |
t |
|
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
0,t a cos t |
0 |
|
|
z |
z |
z |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
z,t a cos t |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
a cos t kz |
k волновое число. |
||||
Геометрическое место точек, до которого дошли колебания ,называется волновым фронтом.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.
Если волновая поверхность – плоскость, то волна называется плоской. Если- сфера, то волна называется
сферической.
Рассмотрим продольную, гармоническую плоскую волну, распространяющуюся в |
||
однородной, изотропной упругой среде со скоростью |
в направлении оси |
Z . |
Z- координата положения равновесия одной (А) из множества частиц упругой среды
|
А |
S |
|
z
Z |
Z |
|
|
- Отклонение |
|
|
|
|
|
частицы от |
|
|
|
положения равновесия |
|
|
в данный момент |
|
|
времени |
0 aS cos( t ) |
aA cos (t ) |
a a если затуханием колебаний можно
S A пренебречь
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
z |
|
Уравнение плоской |
aA cos (t ) aA cos |
|
) |
бегущей волны |
|
|
|
|
|
z |
|
2 z |
|
2 z |
kz |
|
2 |
k |
|
T |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волновое
число
aA cos( t kz ) |
Уравнение плоской |
бегущей волны |
- начальная фаза колебаний в источнике
kz - начальная фаза колебаний в рассматриваемой точке
t kz - фаза колебаний
aA cos( t kz )
aA cos( t kz )
ar0 cos( t kr )
уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся
в направлении оси Z
уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся
в направлении, противоположном оси Z
уравнение сферической бегущей волны, распространяющейся
в направлении луча r .
Без учета затухания из-за потери энергии волной при ее распространении
Фазовая скорость – скорость распространения постоянной фазы
(t |
|
z |
) const |
dz |
? |
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
|
z |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
dz |
|
|
|||||
|
|
|
(t |
|
) |
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазовая скорость численно равна скорости распространения гармонической волны
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
a cos t kr
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos t |
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
a cos t k |
|
|
|
cos |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
a cos |
|
|
r |
|
cos |
|
r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos t kr
2. Уравнение Даламбера – основное уравнение динамики волн.
(t,z) acos( t kz) acos (t z )
Колебательная скорость |
|
a sin( t kz) |
|
||
|
t |
Относительная деформация |
ak sin( t kz) |
z |
|
|
1 |
||
|
|
|
||
z |
t |
|||
|
||||
|
z z z |
z; |
||
|
|
|
z |
|
liт |
|
|
. относительная деформация |
|
x 0 |
z |
z |
|
|
|
|
1 |
уравнение волны, |
z |
t |
распространяющейся слева направо |
|
|
|
1 |
уравнение волны, |
z |
t |
распространяющейся справа |
|
|
|
|
налево |