Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

РГР №2

по дисциплине «Экономико-математические методы»

на тему: Транспортная задача

Выполнила студентка

2 курса группы

ЭК-3-22-03

Крючкова Алиса Андреевна

специальность «Экономика Предприятий и организаций»

Преподаватель

Завгородний Владимир Николаевич

Санкт-Петербург 2024

Транспортная задача

Транспортная задача (классическая) — задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).

Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку). Под названием транспортная задача, определяется широкий круг задач с единой математической моделью, эти задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены оптимальным методом. Однако, спец.метод решения транспортной задачи позволяет существенно упростить её решение, поскольку транспортная задача разрабатывалась для минимизации стоимости перевозок.

Математическая постановка транспортной задачи: Пусть имеется m пунктов отправления (поставщиков) с запасами a1, a2, ..., am и n пунктов назначения (потребителей) с потребностями b1, b2, ..., bn. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения равна cij. Требуется составить такой план перевозок, при котором общая стоимость всех перевозок была бы минимальной.

Основные методы решения транспортной задачи:

1. Метод северо-западного угла

2. Метод наименьшей стоимости

3. Метод потенциалов

4. Метод аппроксимаций Жордана

Транспортная задача имеет широкое практическое применение в различных областях, таких как логистика, распределение ресурсов, планирование производства и многие другие. Она позволяет оптимизировать процессы перевозок и минимизировать связанные с ними затраты.

Метод потенциалов решения

Метод потенциалов - это один из алгоритмов решения транспортной задачи. Он основан на определении потенциалов для каждой ячейки таблицы и последующем использовании этих потенциалов для определения оптимального решения. Этот метод решения транспортной задачи представляет собой вариант двойственного симплекс-метода. В основе его лежит следующее утверждение относительно решения пары двойственных задач.

На любой итерации процесса решения задачи линейного программирования симплекс методом

Алгоритм метода потенциалов:

1. Найдите начальное допустимое решение, используя метод, северо-западного угла.

2. Рассчитайте потенциалы для каждой ячейки таблицы следующим образом:

• Назначьте потенциалы нуля для первого поставщика и первого потребителя.

• Для всех остальных ячеек таблицы рассчитайте их потенциалы, используя следующую формулу:

Потенциал ячейки = Значение ячейки –

- (Потенциал поставщика + Потенциал потребителя)

3. Проверьте, является ли текущее решение оптимальным. Если все клетки таблицы имеют ненулевые потенциалы или нулевые значения, то решение оптимально, и вы можете перейти к следующему шагу. Если это не так, перейдите к шагу 4.

4. Найдите недопустимую ячейку с наибольшим отрицательным потенциалом. Начинайте поиск с ячеек, которые имеют отрицательные значения.

5. Постройте замкнутый цикл, начиная с найденной ячейки. Цикл должен проходить через клетки со значением 0 в указанной ячейке. Проверьте, что количество посещенных ячеек нечетное.

6. Измените значения внутри этого цикла следующим образом:

• В ячейках, где значение было 0, установите значение, показывающее, что ресурс полностью использован (например, -1).

• В ячейках, где значение было отлично от 0, установите значение, показывающее, что ресурс еще не полностью использован (например, 1).

7. Вернитесь к шагу 2 и повторяйте процесс, пока не будет найдено оптимальное решение.

Метод северо-западного угла

Метод северо-западного угла представляет собой алгоритмический подход к определению первоначального допустимого решения для транспортной задачи. Его основная идея заключается в последовательном заполнении ячеек таблицы распределения, начиная с крайней левой верхней ячейки.

Порядок действий при использовании этого метода следующий:

1. Начинайте с верхней левой ячейки таблицы и вносите единицы распределения в ячейки, продвигаясь вправо или вниз, пока не достигнете последнего поставщика или потребителя.

2. Учитывайте ограничения по предложению и спросу. Если они исчерпаны, переходите к следующему поставщику или потребителю.

3. Продолжайте заполнение ячеек, перемещаясь по строкам и столбцам, пока не будут удовлетворены все ограничения по предложению и спросу, таким образом формируя первоначальное допустимое решение.

4. Если после заполнения таблицы останутся неудовлетворенные предложения или спрос, добавьте дополнительные строки или столбцы с нулевыми значениями и продолжите заполнение.

5. Полученное начальное допустимое решение будет использовано как отправная точка для дальнейших методов оптимизации, таких как метод потенциалов или других способов решения транспортной задачи.

Таким образом, метод северо-западного угла предоставляет простой и систематический подход к получению первоначального допустимого решения транспортной задачи, которое затем может быть оптимизировано с помощью других методов.

Порядок выполнения лабораторной работы

Вариант 2, исходные данные изображены на рисунке 1:

Рисунок 1

Исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза c_ij , слева указаны мощности поставщиков a_i , а сверху - мощности потребителей b_j . Найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями  x_ij .

В данном случае суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.

Создадим форму для ввода условий задачи и введем исходные данные (рис.2).

Рисунок 2

Введем зависимости математической модели. Выражение для вычисления значения целевой функции в ячейке B15 получается с помощью функции СУММПРОИЗВ(B3:F5,B10:F12) (рис.3)

Рисунок 3

Выражение для вычисления правых частей ограничений получаются в ячейках A3:A6 и B7:E7 с помощью функции СУММ (рис.4)

Рисунок 4

Вызываем «поиск решения» в Excel (рис.5-6)

Рисунок 5

Рисунок 6

После вызова «Поиска решения» поместим курсор в поле «Установить целевую ячейку» и введем адрес: B15. Затем введем направление оптимизации целевой функции: «минимальному значению». Поместим курсор в поле «Изменяя ячейки» и введем адреса изменяемых ячеек – B3:F5. В эти ячейки будет записан план перевозок – x_ij (рис.7)

Рисунок 7

Далее добавляем ограничения, Все грузы должны быть перевезены (рис.8)

Рисунок 8

Все потребности должны быть удовлетворены (рис.9)

Рисунок 9

Подтверждаем ограничения, нажатием «Ок»

В итоге получаем такой «Поиск решения» (рис. 10)

Рисунок 10

С помощью окна Параметры вводятся параметры для решения оптимизационных задач.

Выберем метод решения – симплекс и настроим его, нажав «Параметры» (рис. 11-12)

Рисунок 11

Рисунок 12

После нажатия на «Ок», появится прошлое окно, нужно выбрать «Найти решение», чтобы получить результаты (рис.13)

Рисунок 13

Также в результате решения получен следующий оптимальный план перевозок (рис.14).

Рисунок 14

Объяснение результатов решения в Excel

Результаты, полученные после решения транспортной задачи в Excel, предоставляют информацию о том, какое количество груза должно быть перевезено между каждым из поставщиков и потребителей, а также о общей стоимости этих перевозок.

ед. груза следует привезти от 1-го поставщика 2-му потребителю;

ед. груза следует привезти от 1-го поставщика 3-му потребителю;

ед. груза следует привезти от 1-го поставщика 5-му потребителю;

ед. груза следует привезти от 2-го поставщика 1-му потребителю;

ед. груза следует привезти от 3-го поставщика 1-му потребителю;

ед. груза следует привезти от 3-го поставщика 4-му потребителю;

ед. груза следует привезти от 3-го поставщика 5-му потребителю;

В остальных случаях (например, , , и т. д.), предполагается, что перевозка груза не требуется.

Общая стоимость перевозок = 340.

Выводы по результатам

Вывод по этим результатам заключается в том, что решение задачи нашло оптимальный план перевозок, удовлетворяющий ограничениям предложений и спроса, и минимизирующий общую стоимость перевозок. Полученное решение позволяет оптимизировать распределение грузов между поставщиками и потребителями, и оно может быть использовано для планирования и принятия решений в сфере логистики и поставок.

Список использованной литературы

1. Википедия – статья «Метод потенциалов» – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_потенциалов

2. Википедия - статья «Транспортная задача» - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Транспортная_задача