Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра радиотехнических систем (РТС)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С ЗАДАННОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ

Отчёт по лабораторной работе по дисциплине «Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных средств»

___________

Выполнили: Студенты гр. Проверил: Ст. преподаватель каф. РТС ___________ Вебер В.И. « 18 » декабря 2025 г.

Томск 2025

Введение

Цель работы: разработать алгоритм и создать программу на MatLab для имитации гауссовского случайного процесса с заданной корреляционной функцией.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

2.1 Метод факторизации

Факторизация – это метод нахождения комплексной частотной функции (КЧХ) формирующего фильтра H(s) по заданной спектральной плотности мощности (СПМ) S(ω) случайного процесса.

Для стационарного случайного процесса с корреляционной функцией K(τ) спектральная плотность мощности определяется через преобразование Фурье:

Для реализуемого (физически осуществимого) формирующего фильтра необходимо, чтобы его КЧХ H(s) была устойчивой и минимально-фазовой (все полюсы и нули в левой полуплоскости s). Тогда выходной процесс x(t) можно получить как отклик на белый шум n(t):

где h(t) – импульсная характеристика фильтра.

СПМ выходного процесса выражается через КЧХ:

Таким образом, задача сводится к нахождению такой функции H(s), чтобы:

2.2 Пример факторизации для заданной корреляционной функции

Для данной лабораторной работы выбрана корреляционная функция (КФ) вида (2.1), график которой представлен на рисунке 2.1.

(2.1)

Рисунок 2.1 – Заданная корреляционная функция

Прямое преобразование Фурье (СПМ) от КФ (1.1) имеет вид:

Далее, получим дифференциальный оператор путём подстановки s = jw:

Для выражения КЧХ формирующего фильтра выбираем множитель с полюсами в левой полуплоскости (s = -a, s = -a₁):

В данной работе используется встроенная функция factor(F) в MatLab, которая раскладывает символьное выражение СПМ на множители. Затем выбирается множитель, соответствующий устойчивой части системы.

Стоит отметить, что ключевое значение метода факторизации состоит в том, он гарантирует, что синтезированный фильтр будет физически реализуемым и устойчивым, а выходной процесс – стационарным с заданной корреляционной функцией.

3 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3.1 Моделирование гауссовского стационарного случайного процесса с заданной корреляционной функцией

Для заданных параметров, определяющих вид КФ, определим КЧХ порождающего фильтра. Чтобы реализовать алгоритм имитации случайного процесса в форме уравнений для переменных состояния (система дифференциальных уравнений первого порядка, записанных относительно переменных состояния) представим КФ (2.1) в аналитическом виде (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Заданная корреляционная функция в аналитическом виде

КЧХ формирующего фильтра получим через факторизацию СПМ, рассчитанную через прямое преобразование Фурье от КФ (рисунок 2.3-2.4). Также рассчитаем импульсную характеристику формирующего фильтра с помощью обратного преобразования Лапласа от КЧХ (рисунок 2.5).

Рисунок 2.3 – Расчёт передаточной функции и импульсной характеристики формирующего фильтра

В результате разложения получим вектор, представленный на рисунке 1.4.

Рисунок 2.4 – Вывод функции factor(F) с помощью функции pretty(F_mn)

Тогда, КЧХ будет иметь вид:

Рассчитаем импульсную характеристику формирующего фильтра с помощью обратного преобразования Лапласа от H(s), т.е. s → p =  . Результат факторизации для импульсной характеристики представлен на рисунке 1.5, а полный алгоритм вычислений представлен на рисунке 1.6.

Рисунок 2.5 – Вывод функции factor(F) для импульсной характеристики

Рисунок 1.6 – Расчёт комплексной частотной характеристики и импульсной характеристики формирующего фильтра

Сгенерируем случайный гауссовский процесс (белый шум) и произведём операцию свёртки с импульсной характеристикой (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Свёртка случайного гауссовского процесса с импульсной характеристикой

Таким образом, получим фильтр, реализующий процесс с КФ (2.1), но с учётом некоторого фактора случайности. Для оценки полученного результата построим автокорреляционную функцию фильтра. Сравнение теоретической КФ (2.1) и полученной с помощью формирующего фильтра представлено на рисунке 2.5 для четырёх реализаций.

Рисунок 2.5 – Сравнение теоретической КФ и четырёх реализаций АКФ формирующего фильтра

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы реализован алгоритм для имитации гауссовского случайного процесса с заданной корреляционной функцией. На основе метода формирующего фильтра получены передаточная функция и импульсная характеристика системы, что позволило синтезировать процесс путём свёртки белого шума с рассчитанной характеристикой. Результаты вычислений показали сходимость АКФ разработанного формирующего фильтра с теоретическим видом КФ.