Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра радиотехнических систем (РТС)

АЛГОРИТМ ИМИТАЦИИ МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА С ЗАДАННОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЕЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ КАРЛО

Отчёт по лабораторной работе по дисциплине «Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных средств»

___________

Выполнили: Студенты гр. Проверил: Ст. преподаватель каф. РТС ___________ Вебер В.И. « 4 » декабря 2025 г.

Томск 2025

Введение

Цель работы состоит в изучении методологии прямого вероятностного моделирования на примере вычисления многомерного интеграла методом Монте Карло.

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Теоретические основы метода Монте Карло

В качестве критерия эффективности РТС, как правило, используется некоторая величина, смысл которой состоит в вычислении среднего значения (математического ожидания) некоторой функции случайных величин. Например, в ряде случаев возникает необходимость вычисления вероятности некоторого события А, которое состоит в том, что совокупность случайных величин принадлежит некоторой области в n-мерном пространстве. В этом случае задача состоит в вычислении математического ожидания, которым является n-кратный интеграл от многомерной ПРВ.

Численный метод Монте Карло предполагает замену ПРВ на ее приближенное представление в виде совокупности N «точечных масс» (δ - функций), расположенных в выборочных точках {x_i} области определения ПРВ и имеющих весовые коэффициенты {w_i}. Это означает, что ПРВ приближенно представляется в следующей форме

2.2 Способ генерации выборочных значений случайного вектора с заданной ковариационной матрицей K_x

Данный способ основан на линейном преобразовании опорного вектора , который имеет единичную ковариационную матрицу, т. е. K_y = E. Линейное преобразование определено заданием матрицы преобразования S. Таким образом, полагаем, что  = S∙ .

Матрицу S называют квадратным корнем матрицы K_x, т.е. . В теории матриц доказано утверждение о том, что любая невырожденная симметрическая матрица имеет квадратный корень, причем матрица S может иметь нижнюю треугольную форму. Представление матрицы называют разложением Холецкого. В итоге данного разложения все элементы матрицы S будут выражены через известные элементы ковариационной матрицы K_x, в частности первые три элемента матрицы имеют вид:

(2.1)

2.3 Моделирование гауссовского случайного процесса с заданной ковариационной матрицей

Рассмотрим способ генерации выборочных значений случайного вектора с ковариационной матрицей K_x, которая имеет вид:

(2.2)

Первые три коэффициента матрицы S рассчитаем по соответствующим формулам (2.1). Исходя из положения, что матрица S может иметь нижнюю треугольную форму, коэффициент S₁₂ примем равным нулю. В результате матрица S примет вид:

Таким образом, смоделируем гауссовский случайный процесс как произведение полученной матрицы S на вектор нормально распределённых случайных значений . Программа генерации N выборочных реализаций гауссовского случайного n-мерного вектора с нулевым математическим ожиданием по заданной ковариационной матрице K_x представлена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Программная реализация гауссовского случайного процесса

с заданной ковариационной матрицей

Полученные в результате эксперимента реализации векторов и представлены на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Экспериментальные реализации векторов и

2.4 Расчет значений ковариационных моментов составляющих вектора

Сравним значения заданной ковариационной матрицы K_x (2.2) с ковариационной матрицей случайного вектора K_test, которую получим в результате эксперимента с помощью функции cov:

Значения теоретической и экспериментальной ковариационных матриц различаются лишь в сотых долях, что говорит о достаточной точности выбранного метода моделирования.

2.5 Расчёт площади интеграла методом Монте Карло

Рассчитаем интеграл для равномерного и нормального распределений функции случайной величин (в данном случае sin( )) с помощью кода, предаставленного на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Расчёт интегралов равномерного и нормального распределений

По результатам расчётов значения интегралов получились различными: для равномерного распределения – 1,9844, для нормального – 1,8606 (рисунок 2.4). При теоретическом рассмотрении площадь под графиком получилась равной 2.

Рисунок 2.4 – Результат расчёта интегралов равномерного и нормального распределений

Гистограммы нормального и равномерного распределений изображены на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Гистограммы равномерного и нормального распределений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате работы реализован метод Монте Карло, предполагающий замену ПРВ на ее приближенное представление. Результаты вычислений показали достаточную сходимость с теоретическими значениями. При рассмотрении площади интеграла от функции, метод Монте-Карло при условии равномерного распределения величины показал более точные результаты, чем при нормальном распределении.