Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра радиотехнических систем (РТС)

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ЗАДАННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Отчёт по лабораторной работе по дисциплине «Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных средств»

Выполнили: Студенты гр. ___________ « 20 » ноября 2025 г. Проверил: Ст. преподаватель каф. РТС ___________ Вебер В.И. « 20 » ноября 2025 г.

Томск 2025

Введение

Цель работы:

1. Изучение метода функционального преобразования (МФП) для получения алгоритма моделирования на ЭВМ случайной величины (СВ) с заданной плотностью распределения вероятностей (ПРВ),

2. Изучение методологии применения статистических критериев значимости и согласия в задачах статистической обработки результатов эксперимента.

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Теоретические основы метода функционального преобразования

Для получения алгоритма генерации (имитации) на ЭВМ СВ Y с заданной ПРВ W_y(y) широко используется метод функционального преобразования (МФП). МФП основан на том, что при нелинейном взаимно однозначном преобразовании вида y = f(x), где X – базовая (опорная) СВ с известной ПРВ W_x(x), СВ Y имеет ПРВ:

(2.1)

где φ(y) – функция обратная к f(x).

В качестве базовой СВ X удобно выбрать величину с равномерной в интервале [0;1] ПРВ, т.е. W_x(x) = 1. Из соотношения (2.1) следует, что обратная функция:

(2.2)

Используя соотношение (2.2) можно определить вид нелинейного преобразования y = f(x).

2.2 Моделирование СВ с ПРВ Коши

Распределение Коши в теории вероятностей (также называемое в физике распределением Лоренца и распределением Брейта – Вигнера) – класс абсолютно непрерывных распределений. СВ, имеющая распределение Коши, является классическим примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии. Данное распределение задаётся следующей ПРВ:

(2.3)

где x₀ ∈ R – параметр сдвига, γ > 0 – параметр масштаба.

Функция распределения (ФР) Коши имеет вид:

(2.4)

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

(2.5)

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования (или МФП).

Чтобы построить зависимости (2.3) и (2.4), представленные на рисунке 2.1, необходимо сформировать вектор возможных значений ПРВ и. В данной работе вектор возможных значений x задаётся с помощью функции linspace(-10, 10, N), где N – объём выборки, равный 1000.

Рисунок 2.1 – Графики ПРВ и функции распределения Коши

2.3 Моделирование СВ с ПРВ Гаусса

Обратную функцию распределения Коши (2.5) зададим от СВ z, имеющую равномерную ПРВ, с помощью функции rand(N,1) * 0,96 + 0,02. Коэффициенты 0,96 и 0,02 необходимы, чтобы ограничить ось возможных значений до интервала от 0,02 до 0,98 для корректного отображения гистограммы в п.2.4.

2.4 Критерий согласия ² (критерий Пирсона)

При обработке результатов эксперимента (натурного или имитационного на ЭВМ) возникает необходимость применения статистических методов теории проверки гипотез. Поскольку количество наблюдений в реальном эксперименте ограниченно, то любые результаты обработки конечной совокупности выборочных данных содержат элемент случайности. Физически ясно, что выборка, являясь конечной по количеству элементов, содержит информацию о свойствах генеральной совокупности, из которой она извлечена.

Одним из способов оценки результатов является проверка гипотезы о виде самого распределения вероятностей. В данном случае, основная гипотеза - Н₀: генеральная плотность вероятностей W(x), соответствует предполагаемой (теоретической) W₀(x), являющейся ПРВ по Коши (рисунок 2.1). Альтернативная гипотеза Н₁: W(x)  W₀(x). Генеральную ПРВ W₀(x) получим с помощью МФП, построив гистограмму обратной ФР Коши (рисунок 2.2).

Для программной реализации генеральной ПРВ использовалась функция hist(φ(y), k), где k =44 – количество интервалов, на которое разбивается область значений элементов выборки при расчете гистограммы. Данная функция в результате своего выполнения возвращает две величины: m_i – количество элементов выборки в i-ом интервале, x_out – вектор значений, указывающий расположение центра каждого интервала на оси x.

Рисунок 2.2 – Сравнение генеральной и теоретической ПРВ Коши

Для проверки гипотезы о соответствии генерального (теоретического) распределения вероятностей некоторому заданному закону также используют статистические критерии согласия. Проверку гипотезы о равенстве параметров генерального распределения вероятностей некоторой случайной величины предполагаемому (теоретическому) значению проводят с помощью критериев значимости.

В бинарном случае в соответствии с некоторым выбранным (адекватным) критерием процедура проверки простой гипотезы Н₀ предполагает применение конкретного решающего правила, которое сводится к вычислению по выборочным данным  = (X₁, X₂, ..., X_n) некоторой величины T(X₁, ..., X_n) = T( ), называемой статистикой критерия, и сравнению ее величины с пороговым значением t_(1) (квантиль уровня (1), где  - уровень значимости). Таким образом, процедура проверки простой статистической гипотезы H₀ против простой альтернативы предполагает принятия решения согласно правилу:

В качестве статистики критерия в данном пункте рассмотрим величину хи-квадрат:

где n – объем выборки; p_i – теоретическая вероятность попадания СВ в i-й интервал, рассчитываемая по алгоритму, показанному на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Алгоритм расчёта вероятности попадания СВ в i-й интервал

Чтобы получить значение хи-квадрат для теоретической ПРВ ( ) воспользуемся функцией chi2inv(0.99, a), где а = 0,01 – критерий значимости, рассчитываемый как a = k-r-1 (r = 2 -количество оцениваемых параметров). Полученные в результате программного вычисления статистические параметры представлены на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Результаты расчёта критериев хи-квадрат в Matlab

Так как , выполняется гипотеза Н₀, что говорит о соответствии генеральной и теоретической ПРВ.

2.5 Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданным величинам

Рассмотрим критерий значимости для проверки гипотезы H₀ о равенстве генеральной дисперсии _x² предполагаемому значению ₀². Альтернативная гипотеза Н₁: _x²  ₀². В качестве статистики критерия используется величина хи-квадрат с (n-1) степенями свободы:

Данный критерий является двухсторонним, пороговые значения статистики критерия находят по таблицам хи-квадрат распределения вероятностей (распределение Пирсона).

Для данного пункта лабораторной работы сгенерируем вектор Y, являющийся совокупностью СВ с ПРВ Гаусса, с помощью функции normrnd(m₀, ₀², 1, N), где m₀ = 7, ₀² = 3,5. Параметр найдём с помощью функции chi2inv(0.95, N-1), а – как дисперсию Y. Программная реализация расчётов и их результат представлены на рисунках 2.5 и 2.6, соответственно.

Рисунок 2.5 – Алгоритм расчёта параметров хи-квадрат для проверки гипотезы о равенстве дисперсий генерального и теоретического распределений

Рисунок 2.6 – Результат расчёта критериев хи-квадрат

Так как , выполняется гипотеза Н₀, что говорит о соответствии дисперсий генеральной и теоретической ПРВ.

2.6 Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданным величинам

Рассмотрим критерий значимости для проверки гипотезы Н₀ о равенстве генерального среднего значения m_x заданной величине m₀ при неизвестной дисперсии. Альтернативная гипотеза Н_1: m_x  m₀. В качестве статистики критерия в данном случае используют Т – статистику (статистика Стьюдента):

где n – объём выборки,  – выборочное среднее, равное:

s – выборочная дисперсия, рассчитываемая по формуле:

Критерий Стьюдента используют, предполагая, что выборочные данные независимы и имеют гауссово распределение вероятностей. При достаточно больших объемах выборки он может быть использован и при произвольных распределениях вероятностей.

Для данной задачи возьмём сгенерированную ранее выборку Y, тогда выборочное среднее значение равно рассчитанному в п.2.5 среднему значению Y_ср (рисунок 2.5). Расчёт критерия Стьюдента представлен на рисунках 2.7 и 2.8.

Рисунок 2.7 – Расчёт критериев Стьюдента для генеральной и теоретической СВ с ПРВ Гаусса

Рисунок 2.8 – Полученные значения критериев Стьюдента для генеральной и теоретической СВ с ПРВ Гаусса

Так как , выполняется гипотеза Н₀, что говорит о соответствии математического ожидания генеральной и теоретической ПРВ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате работы реализован МФП для получения алгоритма моделирования на ЭВМ СВ с ПРВ Коши и Гаусса. Также, изучена методология применения статистических критериев значимости и согласия в задачах статистической обработки результатов эксперимента: рассмотрен параметр хи-квадрат и критерий Стьюдента. Для всех опытов, проверки гипотез о виде распределения вероятностей, равенстве дисперсий и математических ожиданий генеральной и теоретической ПРВ подтвердились (рисунок 3.1). Однако, встречались случаи неравенства рассматриваемых характеристик из-за некорректности генерации выборок случайных процессов z и Y.

Рисунок 3.1 – Результат проверок рассматриваемых критериев (гипотез)