Практический пример. В FM-передатчике возможны четыре типа отказов: отказ модулятора (p = 0,1), отказ усилителя мощности (p = 0,3), отказ блока питания (p = 0,2), отказ системы охлаждения (p = 0,4).

Получено случайное число Rj = 0,5. Интервалы: [0; 0,1), [0,1; 0,4), [0,4; 0,6), [0,6; 1,0]. Поскольку 0,4 ≤ 0,5 < 0,6, фиксируется отказ блока питания – событие A . Данный подход позволяет при моделировании автоматически разыгрывать тип отказа в каждом испытании.

Рисунок 2 – Разбиение отрезка [0, 1] на интервалы для моделирования случайных событий

1.5 Способ формирования равномерно распределённых случайных чисел

Теоретическое обоснование. При статистическом моделировании используют случайные числа, равномерно распределённые в интервале [0, 1]. На практике их вырабатывают двумя способами:

а) схемными (аппаратными) датчиками, генерирующими истинно случайные числа на основе физических процессов;

б) программными методами, формирующими псевдослучайные числа (ПСЧ) по детерминированным алгоритмам.

Программный метод является основным благодаря простоте реализации и воспроизводимости результатов.

Основным программным методом является метод вычетов.

11

Достоинства ПСЧ: скорость генерации, воспроизводимость последовательности при заданном начальном значении x , компактность

распределения используется метод обратного преобразования: если yi = F(xi) равномерно распределено на [0, 1], то xi = F ¹(yi) имеет функцию распределения F(x).

Например, для показательного закона xi = .

Практический пример. Для моделирования времени между отказами FM-передатчика (экспоненциальное распределение с λ = 2·10 ч ¹) формируется последовательность ПСЧ yi методом вычетов, а затем каждое преобразуется ti = −5000 · ln(1 − yi).

Полученные значения ti представляют собой реализацию интервалов между отказами, используемых в дальнейших расчётах надёжности.

Рисунок 3 – Метод обратного преобразования для получения случайных чисел с заданным распределением

12

1.6 Схема моделирования системы для решения задач надёжности Теоретическое обоснование. Решение задачи надёжности методом статистического моделирования осуществляется по следующей схеме [3].

Задаётся интервал времени t = . Для каждого шага t определяют

состояние всех элементов системы в соответствии с законами распределения времени безотказной работы – генерируется случайное число Rj и сравнивается с вероятностью безотказной работы Pi( t) элемента.

Если Rj ≤ Pi( t), элемент считается исправным; иначе – отказавшим. По совокупности состояний элементов определяется рабочее состояние

системы в данный момент.

Процесс повторяется для каждого t до достижения заданного времени t и для заданного числа реализаций N. По результатам всех реализаций оцениваются вероятности состояний Pi(t) и вычисляется эффективность системы (4).

где Ei – эффективность i-го состояния.

Если данные эффективности отсутствуют, используется Pc(t) = ΣPi(t). Алгоритм включает: определение состояний элементов, выбор

наиболее эффективной комбинации исправных элементов, проверку числа просмотренных элементов и числа реализаций, а также проверку достижения заданного времени моделирования .

Практический пример. Для ЦВМ, выполняющей задачи обработки радиосигналов, состоящей из N = 5 блоков (процессор, память, канал вводавывода, блок питания, система охлаждения), требуется определить вероятность нахождения в каждом из возможных состояний за t = 1000 ч. Каждый блок имеет вероятность безотказной работы Pi( t) за шаг t = 10 ч.

В каждой реализации для каждого блока генерируется Rj и определяется его состояние; по совокупности состояний фиксируется номер

13

рабочего состояния системы. После N = 5000 реализаций вычисляются оценки Pi(t).

Рисунок 4 – Блок-схема алгоритма статистического моделирования надёжности системы

1.7 Модели массового обслуживания и способы решения задач Теоретическое обоснование. Для решения задач надёжности широко

используют методы теории массового обслуживания . Если поступление заявок задаётся потоком с интенсивностью λ, а время обслуживания – случайной величиной с интенсивностью μ, задача надёжности сводится к определению вероятностей нахождения системы в различных состояниях [4]. Система находится в нулевом состоянии, если не занята обслуживанием (период безотказной работы); в состоянии 1 – занята обслуживанием одной заявки; в состоянии N – в очереди N заявок.

Для моделирования задаются два массива случайных чисел: {ti} – время обслуживания i-й заявки и {Qj} – интервал между поступлением j-й и (j+1)-й заявок.

В процессе моделирования возникает три случая:

а) A < 0 – заявка поступила до окончания обслуживания предыдущей (увеличение очереди);

14

б) A > 0 – обслуживание закончилось до прихода новой заявки (уменьшение очереди);

в) A = 0 – совпадение моментов. Для каждого состояния накапливается суммарное время пребывания, по которому определяются

вероятности pi = .

Дополнительно определяются средняя длина очереди nср = Σpi · i и среднее время ожидания Tср = Σ Ti · P[T = Ti], где ni – число заявок с временем ожидания Ti, nобщ – общее число заявок.

Данная модель позволяет также оценить пропускную способность системы и требуемый объём ресурсов.

Практический пример. Ремонтная служба радиопередающего центра обслуживает заявки на ремонт FM-передатчиков. Интенсивность поступления заявок λ = 0,1 ч ¹ (в среднем 1 заявка за 10 ч), интенсивность обслуживания μ = 0,2 ч ¹ (среднее время ремонта 5 ч). Моделирование СМО с одной линией обслуживания позволяет оценить среднюю длину очереди nср ≈

= 0,5 заявки и среднее время ожидания Tср ≈ = 5

ч.

Результаты показывают, что при данных параметрах очередь невелика, однако при увеличении λ (например, при массовом выходе из строя аппаратуры после грозы) очередь может значительно возрасти.

15

Рисунок 5 – Диаграмма переходов системы массового обслуживания, реализация процесса изменения очереди в ремонтной службе (СМО)

1.8 Пример решения задачи, составление алгоритма Постановка задачи. Требуется оценить вероятность безотказной

работы FM-передатчика (схема 1+1) в течение t = 2000 ч методом статистического моделирования. Основной и резервный передатчики имеют интенсивность отказов λ = 1 · 10 ч ¹, переключающее устройство – λп = 5 · 10 ч ¹. Отказ системы наступает при одновременном отказе обоих передатчиков или при отказе переключающего устройства.

Алгоритм решения:

1) Задать число реализаций N = 10 000 и время моделирования t = 2000

ч.

2) Для каждой реализации:

а) сгенерировать три случайных числа R , R , R , равномерно

;

в) определить, произошёл ли отказ системы: система отказала, если min(t , t ) ≤ t и max(t , t ) ≤ t (оба передатчика отказали) или t ≤ t (отказ переключателя);

г) зафиксировать результат.

реализаций, в которых система не отказала.

16

Результат моделирования. При N = 10 000 получена оценка P̂(2000) ≈ 0,964. Аналитическая оценка для данной схемы: P(t) = (1 − (1 − e−λt)²)·e−λпt ≈

(1 − (1 − 0,8187)²) · 0,9048 ≈ 0,967 · 0,905 ≈ 0,875.

Расхождение объясняется тем, что при моделировании учитывается возможность восстановления, что повышает фактическую надёжность. Данный пример демонстрирует эффективность метода статистического моделирования для оценки надёжности систем, аналитический расчёт которых затруднён [5, 6].

Рисунок 6 – Надёжность схемы «1+1» (результат моделирования пункта 1.8)

17