ВВЕДЕНИЕ

При исследовании надёжности сложных радиотехнических систем аналитические методы не всегда позволяют получить решение: система уравнений, описывающая процесс функционирования, может быть слишком громоздкой или вообще не поддаваться формализации. В таких случаях единственным эффективным инструментом исследования становится статистическое моделирование – подход, при котором процесс функционирования системы воспроизводится на ЦВМ с учётом случайных факторов, а результат получается статистической обработкой многократных реализаций.

Актуальность темы обусловлена тем, что для большинства реальных радиотехнических объектов аналитическое определение показателей надёжности затруднено: отказы элементов носят случайный характер, процессы восстановления зависят от множества факторов, а структура системы может быть слишком сложной для точного аналитического описания. Методы статистического моделирования и модели массового обслуживания позволяют обойти эти ограничения и получить оценки показателей надёжности с любой заданной точностью.

Объектом исследования являются статистические методы моделирования и модели массового обслуживания, применяемые для решения задач надёжности радиотехнических систем. Предметом исследования – алгоритмы формирования случайных чисел, моделирования случайных событий и процессов массового обслуживания в контексте оценки надёжности FM-передающих комплексов.

Целью выполнения отчёта является закрепление теоретического материала: изучение методов статистического моделирования (метод МонтеКарло, метод вычетов), способов моделирования случайных событий, формирования псевдослучайных чисел, а также моделей массового обслуживания для решения практических задач надёжности в радиотехнической отрасли.

6

1.ТЕОРЕТИКО-ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1Методы статистического моделирования

Теоретическое обоснование. Известные методы моделирования – математический, физический и геометрический – не всегда применимы к исследованию надёжности сложных систем. Математический подход требует аналитического описания процесса, что не всегда осуществимо; физическое моделирование сопряжено с большими материальными затратами на натурное воспроизведение. В таких случаях единственным способом исследования является моделирование процесса функционирования на ЦВМ . При этом функционирование сложной системы раскладывается на ряд элементарных процессов, каждый из которых описывается аналитически или логическими условиями, а затем в заданной последовательности воспроизводится на ЦВМ.

Статистическое моделирование основано на многократном воспроизведении процесса функционирования системы с учётом случайных факторов и последующей статистической обработке результатов. Влияние случайных факторов учитывается введением случайности путём «бросания жребия» – выбора значений случайных величин из заданных распределений [1]. При этом возникают две основные задачи:

а) моделирование случайных событий с заданными вероятностями; б) получение случайных величин с заданным законом распределения.

Практический пример. При оценке надёжности FM-передающего центра, состоящего из нескольких передатчиков и систем коммутации, аналитическое описание всех возможных состояний системы затруднено изза большого числа элементов и случайного характера отказов. Статистическое моделирование позволяет воспроизвести на ЦВМ тысячи реализаций процесса эксплуатации, в каждой из которых разыгрываются моменты отказов и восстановлений элементов, и по результатам определить оценки показателей надёжности.

7

1.2 Метод вычетов

Теоретическое обоснование. Метод вычетов (конгруэнтный метод) является основным программным методом формирования псевдослучайных чисел (ПСЧ) с равномерным законом распределения на отрезке [0, 1]. Каждое последующее число xn+1 получается из предыдущего xn по рекуррентной формуле 1.

где k – множитель, m – модуль.

Операция mod(m) означает взятие остатка от деления на m. Поскольку разрядная сетка ЦВМ конечна, получаемая последовательность является периодической с периодом, не превышающим 2n, где n – число двоичных разрядов.

Если принять x0 = 1, k = 5 ПСЧ составит 2n–2.

Модификация метода – линейный конгруэнтный генератор (2).

xn+1 = (k·xn + k')·(mod(m)), (2)

где 4k' + 1 = k, что увеличивает период последовательности в четыре

раза.

Для получения чисел в интервале [0, 1] значение xn+1 нормализуется делением на m.

Практический пример. Для моделирования надёжности FMпередатчика требуется последовательность из 10 000 ПСЧ. При 32-разрядной сетке (n = 32) максимальный период мультипликативного генератора составляет 230 ≈ 1,07 · 109, что более чем достаточно. Проверку ПСЧ на равномерность и случайность осуществляют критериями χ² и КолмогороваСмирнова.

1.3 Метод Монте-Карло Теоретическое обоснование. Сущность метода Монте-Карло состоит в

построении вероятностного аналога исследуемой задачи, реализации её

8

случайным образом и рассмотрении полученных результатов в качестве приближённого решения [2]. Метод является численным; его применение особенно эффективно, когда аналитическое решение невозможно или трудоёмко.

Решение задачи моделирования методом Монте-Карло делится на два

этапа:

1)формализация описания процесса и построение модельного алгоритма;

2)программная реализация и статистическая обработка результатов. На первом этапе на основе изучения процесса составляют перечень

операций, определяют числовые значения параметров и разрабатывают алгоритм моделирования.

На втором этапе по алгоритму составляют программу для ЦВМ, проводят заданное число реализаций и статистически обрабатывают результаты. Точность оценки растёт пропорционально , где N – число реализаций, поэтому для получения высокой точности требуется большое число испытаний.

Практический пример. Требуется оценить вероятность безотказной работы FM-передатчика в течение t = 1000 ч, если интенсивность отказов λ = 2·10 ч ¹.

Аналитическое решение: P(t) = e−λt = e−0,2 ≈ 0,8187.

Методом Монте-Карло: генерируется N = 10 000 реализаций, в каждой разыгрывается время до отказа по экспоненциальному закону ti =

. Доля реализаций, в которых ti > 1000, даёт оценку P(t). При N

= 10 000 получаем P̂≈ 0,819, что хорошо согласуется с аналитическим значением.

9

Рисунок 1 – Схема метода Монте-Карло для оценки надёжности, сходимость метода при P(t = 1000 ч.)

1.4 Способы моделирования случайных событий Теоретическое обоснование. При статистическом моделировании

случайные события появляются в соответствии с заданными вероятностями p , p , ..., p . Для моделирования полной группы несовместных событий отрезок [0, 1] разбивается на n интервалов, длина каждого из которых равна вероятности соответствующего события. Попадание случайного числа Rj в i-й интервал интерпретируется как свершение события Ai. Формально это сводится к проверке условия 3.

Для частного случая двух исходов (событие A с вероятностью p и событие Ā с вероятностью 1 − p) процесс сводится к однократной проверке:

–если Rj < p(A), фиксируется свершение события A,

–иначе – Ā.

Аналогичные принципы применяются и при моделировании зависимых случайных событий, когда вероятности обусловлены предысторией.

10