ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обработаны статистические данные эксплуатационных наблюдений за наработками объекта до отказа (объём выборки N = 50) и осуществлена проверка гипотезы о законе их распределения. На основе построенной гистограммы (несимметричный колоколообразный профиль со сдвигом влево) и расчёта коэффициента вариации (v = 0,458) была выдвинута предварительная гипотеза о принадлежности опытных данных к закону распределения Вейбулла, так как значение коэффициента вариации характерно для данного закона (v < 0,8) и соответствует модели «слабого звена» или износным отказам.

С использованием таблиц математической статистики определены параметры двухпараметрического распределения Вейбулла: параметр формы b = 2,38 (указывающий на возрастающую интенсивность отказов) и параметр масштаба a = 63,6 тыс. км. Для строгой количественной оценки применимости данного закона использован критерий согласия χ² Пирсона. После объединения интервалов с малыми теоретическими частотами опытное значение критерия составило χ²опыт = 6,01. При заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 (так как оценивалось два параметра закона) табличное значение равно χ²табл = 3,84. Поскольку χ²опыт > χ²табл, расхождение между опытными и теоретическими частотами признано существенным, и нулевая гипотеза о принадлежности выборочных данных закону распределения Вейбулла отвергается.

Анализ исходного статистического ряда показывает, что причиной отвержения гипотезы является наличие в выборке значительных выбросов в правой части распределения (наработки 140, 141, 149 и 154 тыс. км при среднем значении 56,5 тыс. км). По результатам расчётов построены графики интегральных функций вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t), а также дифференциальных функций плотности распределения f(t) и интенсивности отказов λ(t), наглядно демонстрирующие теоретический вид распределения Вейбулла для рассчитанных параметров a и b.

13

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как рассчитывают параметры статистического ряда распределения наработок изделия до предельного состояния?

Ответ: Параметры статистического ряда рассчитываются путем группировки исходного массива данных. Сначала определяют размах выборки R = tmax​− tmin.​ Затем по формуле Стерджесса рассчитывают рекомендуемое число интервалов k = 1 + 3,32·lg(N). Величина интервала

вычисляется как h = (с последующим округлением в большую сторону для

удобства расчётов). Далее определяются границы интервалов, их середины Ti​ и путём последовательного подсчета исходных данных находятся опытные частоты mi попадания наработок в каждый интервал.

2.Для описания каких отказов используют закон распределения Вейбулла?

Ответ: Закон распределения Вейбулла является гибким и используется для описания самых разнообразных отказов, но чаще всего его применяют для моделирования износовых (постепенных) отказов и отказов по модели «слабого звена». Модель «слабого звена» подразумевает, что система состоит из множества элементов, и ее отказ происходит при выходе из строя самого ненадежного из них (например, отказ двигателя из-за выхода из строя прокладки или вкладыша). В зависимости от параметра формы b закон описывает разные этапы: при b < 1 – период приработки (детали с дефектами), при b ≈ 1 – внезапные отказы, при b > 1 (вплоть до 3,5) – износ и старение [5].

3.Постройте графики интегральной функции распределения отказов F(t) и вероятности безотказной работы P(t) для закона распределения Вейбулла.

Ответ: Графики построены в рамках данной лабораторной работы (рисунок 2). Для закона Вейбулла при параметре формы b > 1 (в нашей работе b = 2,38, что соответствует износным отказам) им характерен следующий

14

вид:

–График вероятности отказов F(t) представляет собой монотонно возрастающую кривую. На начальном участке (при малых наработках) кривая пологая, затем в зоне характерных отказов происходит резкий подъём, и в конце она асимптотически приближается к единице;

–График вероятности безотказной работы P(t) является зеркальным отражением F(t). Он начинается на уровне единицы, на начальном этапе имеет плавный спад, затем в области средней наработки кривая круто падает вниз, и далее асимптотически стремится к нулю по мере роста наработки.

4. Что лежит в основе выбора гипотезы о законе распределения отказов?

Ответ: В основе предварительного выбора гипотезы лежат два основных критерия: визуальный анализ гистограммы опытных данных и расчет коэффициента вариации v. Форма гистограммы позволяет увидеть характер распределения (например, скошенность влево указывает на закон Вейбулла, резкий спад от нуля – на экспоненциальный). Коэффициент

вариации v = служит количественным ориентиром: для

экспоненциального закона характерно v ≈ 0,8 … 1,2, а для закона Вейбулла, как правило, v < 0,8. Окончательная проверка выдвинутой гипотезы осуществляется математически с помощью критериев согласия.

5. Как осуществляют проверку гипотезы о принадлежности опытных данных предполагаемому закону распределения?

Ответ: Проверка осуществляется с использованием критериев согласия, наиболее часто применяется критерий хи-квадрат (χ2) Пирсона. Процесс включает следующие этапы:

1)По выбранным параметрам закона рассчитываются теоретические частоты mтеор​для каждого интервала;

2)Если в каких-либо интервалах теоретическая частота меньше 5, производится объединение смежных интервалов;

15

3)Вычисляется опытное значение критерия χ2опыт как сумма отношений квадратов разностей между опытными и теоретическими частотами к теоретическим частотам;

4)Определяется число степеней свободы S = k − r − 1 (где k – число интервалов после объединения, r— число параметров закона);

5)По заданному уровню значимости α (обычно 0,05) и числу S находится табличное значение χ2табл​;

6)Если χ2опыт ≤ χ2табл​, гипотезу не отвергают. Если χ2опыт > χ2табл​, гипотезу отвергают как противоречащую опытным данным.

16