1. ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ЗАКОНУ ВЕЙБУЛЛА

1.1 Расчёт параметров статистического ряда распределения

Рассчитываем параметры статистического ряда распределения:

–размах выборки R = tmax − tmin = 154 − 4 = 150 тыс. км;

–число интервалов k = 1 + 3,32·lg(50) ≈ 6,64;

–для удобства расчётов принимаем величину интервала h = 25 тыс. км (при этом количество интервалов составит k = 7, а границы интервалов будут кратны 25);

–границы интервалов: 0; 25; 50; 75; 100; 125; 150; 175;

–середины интервалов (тыс. км): T1 = 12,5; T2 = 37,5; T3 = 62,5; T4 = 87; T5 = 112,5; T6 = 137,5; T7 = 162,5;

–частоту попаданий наработок в эти интервалы: m1 = 11; m2 = 14; m3 =

13; m4 = 5; m5 = 3; m6 = 3; m7 = 1.

Результаты группировки сведены в таблицу 1.

Таблица 1 – Статистический ряд распределения наработок до отказа

1.2 Определение числовых характеристик наработок и параметров закона Вейбулла

Определяем числовые характеристики статистического ряда распределения:

– средняя наработка до отказа tcp = ·(11·12,5 + 14·37,5 +

7

13·62,5 + 5·87,5 + 3·112,5 + 3·137,5 + 1·162,5) = 56,5 тыс. км;

–для исключения систематической погрешности группировки при асимметричных распределениях, среднеквадратическое отклонение рассчитываем по исходному (негруппированному) ряду данных σ(t) = 25,85 тыс. км;

–коэффициент вариации v = = 0,458.

Строим гистограмму распределения опытных частот mi (рисунок 1). По её виду (несимметричный колоколообразный профиль со сдвигом влево) и значению коэффициента вариации v = 0,458, характерному для закона Вейбулла (значительно меньше 1), предполагаем, что распределение наработок до отказа подчиняется закону Вейбулла.

Рисунок 1 – Гистограмма распределения наработок объекта до отказа по интервалам наработки

По таблице значений параметров распределения Вейбулла (см. табл. А приложения А) для коэффициента вариации v = 0,458 (методом линейной интерполяции между строками v = 0,41 и v = 0,5) находим:

– параметр формы распределения b = 2,38;

8

–коэффициенты kв = 0,888 и qв = 0,4;

–параметр масштаба распределения a = = 63,6 тыс. км.

1.3 Расчёт теоретических частот и критерия согласия χ2 Пирсона

По формуле определяем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы наработки Pi(ti < T < ti+1) = ;

Аналогично для последующих интервалов: P(t2) = 0,307; P(t3) = 0,324;

P(t4)= 0,17; P(t5) = 0,066; P(t6) = 0,017; P(t7)= 0,004.

Вычисляем теоретические частоты попадания отказов в интервалы наработок miтеор = P(ti)·N:

m1 = 0,112 · 50 = 5,6; m2 = 15,35; m3 = 16,2; m4 = 8,5; m5 = 3,3; m6 = 0,85; m7 = 0,2.

В соответствии с правилами применения критерия χ2 Пирсона, теоретические частоты в интервалах должны быть не менее 5. В связи с этим производим объединение смежных интервалов с малыми частотами:

объединяем 4-й, 5-й, 6-й и 7-й интервалы (mоп = 5 + 3 + 3 + 1 = 12; mтеор​= 8,5 + 3,3 + 0,85 + 0,2 = 12,85).

После объединения количество интервалов стало равно k = 4. Расчёт критерия согласия χ2 для объединенных интервалов сведён в таблицу 2. Таблица 2 – Результаты расчёта критерия согласия χ²

Определяем число степеней свободы S = k − r − 1 = 4 − 2 − 1 = 1 (где r =

9

2, так как для закона Вейбулла оценивалось два параметра – a и b).

При уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы S = 1 табличное значение χ²табл = 3,84.

Так как χ²опыт > χ²табл (6,01 > 3,84), расхождение между опытными и теоретическими частотами признаётся значимым. Гипотеза о принадлежности выборочных данных закону распределения Вейбулла на строгом уровне значимости 5% отвергается (что часто наблюдается на малых выборках при наличии локальных выбросов, таких как наработки 140–154 тыс. км).

1.4 Расчёт интегральных функций распределения P(t) и F(t)

Несмотря на то, что критерий Пирсона не подтвердил закон Вейбулла на данном уровне значимости, в рамках выполнения работы осуществляем расчёт интегральных функций по методике закона Вейбулла для найденных параметров a и b.

Определяем значения интегральных функций распределения отказов F(t) и вероятностей безотказной работы P(t) по интервалам наработки на основе теоретических вероятностей P(ti):

Вероятности отказов:

F(t1) = 0,112; F(t2) = 0,112 + 0,307 = 0,419; F(t3) = 0,419 + 0,324 = 0,743; F(t4) = 0,743 + 0,17 = 0,913; F(t5) = 0,913 + 0,066 = 0,979; F(t6) = 0,979 + 0,017 = 0,996; F(t7) = 0,996 + 0,004 = 1.

Вероятности безотказной работы:

P(t1) = 1 − F(t1) = 1 − 0,112 = 0,888; P(t2) = 1 − F(t2) = 1 − 0,419 = 0,581;

...

P(t7) = 1 − F(t7) = 1 − 1 = 0.

Результаты расчета сведены в таблицу 3. По данным таблицы 3 строим графики интегральных функций распределения (рисунок 2).

10