- •ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •перечень сокращений и обозначений
- •Введение
- •1. ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ЗАКОНУ ВЕЙБУЛЛА
- •1.1 Расчёт параметров статистического ряда распределения
- •1.2 Определение числовых характеристик наработок и параметров закона Вейбулла
- •1.3 Расчёт теоретических частот и критерия согласия χ2 Пирсона
- •1.4 Расчёт интегральных функций распределения P(t) и F(t)
- •1.5 Расчёт дифференциальных функций распределения f(t) и λ(t)
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Контрольные вопросы
- •СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
- •Приложение А
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)
УДК 519.233.5:629.113 Рег. № НИОКТР 000000000008
Рег. № ИКРБС
ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 8
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ЗАКОНУ ВЕЙБУЛЛА
(заключительный)
по дисциплине Диагностика и надёжность автоматизированных систем
Вариант №11
Выполнил:
студент 4-го курса группы БАП2201 Мягков А.К.
Проверил: к.т.н., доцент Васильева Т.Ю.
Москва 2026
РЕФЕРАТ
Отчет 18 с., 1 кн., 3 рис., 3 табл., 5 источн., 1 прил.
НАДЕЖНОСТЬ, НАРАБОТКА ДО ОТКАЗА, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА, ПАРАМЕТР МАСШТАБА, ПАРАМЕТР ФОРМЫ, ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ, КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ, КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА, ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ГИСТОГРАММА.
Объектом исследования является статистическое распределение наработок до отказа узлов (агрегатов) автомобиля.
Цель работы – изучение методики обработки результатов испытаний, распределенных по закону Вейбулла, и осуществление проверки принадлежности опытных данных закону распределения Вейбулла с помощью критерия согласия χ² Пирсона.
Обработаны экспериментальные данные наработок до отказа (объем выборки N = 50), определены основные параметры статистического ряда, построена гистограмма распределения. По виду гистограммы и значению коэффициента вариации выдвинута предварительная гипотеза о принадлежности данных закону Вейбулла. Определены параметр формы (b) и параметр масштаба (a) распределения. Рассчитаны теоретические частоты и вероятности попадания в интервалы наработки. Произведена проверка гипотезы путем вычисления опытного значения критерия χ² и его сравнения с табличным значением при заданном уровне значимости. Построены графики интегральных функций распределения вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов F(t), а также дифференциальных функций плотности распределения f(t) и интенсивности отказов λ(t).
Результаты работы могут быть использованы для обоснования выбора закона распределения Вейбулла при расчетах показателей надежности элементов автомобильного транспорта, характеризующихся износными отказами и моделью «слабого звена», а также для прогнозирования ресурса работы узлов и агрегатов [1, 2].
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ............................................................................ |
4 |
|
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ............................................... |
5 |
|
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. |
6 |
|
1. ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ЗАКОНУ |
||
ВЕЙБУЛЛА............................................................................................................. |
7 |
|
1.1 |
РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА |
|
|
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ..................................................................................... |
7 |
1.2 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАРАБОТОК И |
|
|
ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА ВЕЙБУЛЛА .................................................... |
7 |
1.3 |
РАСЧЁТ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ И КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ Χ2 |
|
|
ПИРСОНА................................................................................................... |
9 |
1.4 |
РАСЧЁТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ P(T) И |
|
|
F(T)............................................................................................................. |
10 |
1.5 |
РАСЧЁТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |
|
|
F(T) И Λ(T)................................................................................................. |
11 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................... |
13 |
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.............................................................................. |
14 |
|
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ............................................ |
17 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ А................................................................................................ |
18 |
|
3
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В настоящем отчете о лабораторной работе применяют следующие термины с соответствующими определениями:
Закон распределения |
– двухпараметрический закон распределения |
Вейбулла |
непрерывной случайной величины, широко |
|
применяемый для описания износовых отказов |
|
и модели «слабого звена», кривая плотности |
|
вероятности которого определяется параметром |
|
формы и параметром масштаба |
Параметр масштаба (a) |
– параметр закона распределения Вейбулла, |
|
характеризующий растянутость кривых |
|
наработки вдоль оси абсцисс и |
|
пропорциональный средней наработке до отказа |
Параметр формы (b) |
– параметр закона распределения Вейбулла, |
|
определяющий форму кривой распределения и |
|
характер зависимости интенсивности отказов от |
|
наработки |
Плотность вероятности |
– первая производная от интегральной функции |
распределения (f(t)) |
распределения отказов, характеризующая |
|
относительную плотность вероятности |
|
появления отказа в окрестности заданной |
|
наработки |
Интенсивность отказов (λ(t)) |
– условная плотность вероятности |
|
возникновения отказа объекта в |
|
рассматриваемый момент времени при условии, |
|
что до этого момента отказ не возник |
Коэффициент вариации (v) |
– отношение среднеквадратического отклонения |
|
случайной величины к ее математическому |
|
ожиданию, являющееся мерой относительного |
|
рассеивания и используемое для выбора |
|
параметра формы b |
Критерий согласия |
– статистический критерий, служащий для |
|
проверки гипотезы о предполагаемом законе |
|
распределения случайной величины |
Критерий хи-квадрат (χ²) |
– критерий согласия, позволяющий оценить |
Пирсона |
меру расхождения между опытными |
|
(эмпирическими) и теоретическими частотами |
|
распределения случайной величины |
Гистограмма распределения |
– графическое представление статистического |
|
ряда, состоящее из смежных прямоугольников, |
|
площади которых пропорциональны частотам |
|
попадания случайной величины в |
|
соответствующие интервалы наработки |
4
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
В настоящем отчёте о лабораторной работе применяют следующие сокращения и обозначения:
χ²опыт |
– опытное (вычисленное) значение критерия согласия Пирсона |
χ²табл |
– табличное (критическое) значение критерия согласия Пирсона |
miоп |
– опытное (фактическое) число попаданий случайной величины в i-й |
|
интервал |
miтеор |
– теоретическое число попаданий случайной величины в i-й интервал |
Pi |
– вероятность попадания случайной величины в i-й интервал |
|
наработки |
k |
– количество интервалов статистического ряда |
α– уровень значимости
S |
– число степеней свободы |
r |
– число параметров теоретического закона распределения |
R |
– размах выборки |
h |
– величина интервала |
t |
– случайная величина наработки до отказа |
tcp |
– средняя наработка до отказа |
a– параметр масштаба распределения Вейбулла
b– параметр формы распределения Вейбулла
kв |
– коэффициент для определения средней наработки по закону |
|
Вейбулла |
qв |
– коэффициент для определения среднеквадратического отклонения |
|
по закону Вейбулла |
Γ(x) |
– гамма-функция |
σ(t) |
– среднеквадратическое отклонение наработки |
v |
– коэффициент вариации |
N |
– объём выборки (общее число наблюдений) |
P(t) |
– вероятность безотказной работы (интегральная функция |
|
надёжности) |
F(t) |
– вероятность отказа (интегральная функция распределения отказов) |
f(t) |
– плотность вероятности распределения отказов (дифференциальная |
|
функция) |
λ(t) |
– интенсивность отказов |
5
ВВЕДЕНИЕ
Эффективность использования и техническая эксплуатация автомобилей связаны с оценкой надёжности их элементов. Наработка до отказа узлов и агрегатов не является величиной постоянной и представляет собой случайную величину, зависящую от множества факторов (качество изготовления, условия эксплуатации, нагрузочные режимы). Для описания закономерностей возникновения отказов и математического обоснования расчетов показателей надёжности применяются теоретические законы распределения случайных величин. Распределение Вейбулла является более гибким двухпараметрическим законом. Оно широко используется для описания постепенных отказов, связанных с износом и усталостью материалов, а также для реализации модели «слабого звена», когда отказ системы определяется выходом из строя её наиболее уязвимого элемента.
Правильный выбор теоретического закона распределения является ключевым этапом, однако предварительный подбор закона осуществляют лишь визуально по виду гистограммы и значению коэффициента вариации (для закона Вейбулла характерны значения v < 0,8, в отличие от экспоненциального закона), что не даёт количественной оценки достоверности такого выбора. Для строгой математической проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы о принадлежности опытных данных выбранному закону используются критерии согласия. Наиболее распространенным и универсальным при обработке результатов эксплуатационных наблюдений является критерий хи-квадрат (χ2) Пирсона, который позволяет оценить меру расхождения между эмпирическими (опытными) и теоретическими частотами распределения [3, 4].
Целью лабораторной работы является изучение методики обработки результатов испытаний, распределенных по закону Вейбулла, и освоение практических навыков проверки принадлежности статистического распределения опытных данных закону Вейбулла с использованием критерия согласия χ2 Пирсона.
6