4. 2.2 Построение гистограммы и полигона распределения

На основании данных таблицы 1 и формулы 8 произведём расчет точечных оценок параметров распределения.

Среднее значение наработки

тыс. км.

Среднее квадратическое отклонение (СКО)

тыс. км.

Коэффициент вариации .

Значение коэффициента вариации v ≈ 0,31 находится на границе, характерной для нормального закона распределения. Однако, анализируя гистограмму (рисунок 1), можно заметить, что распределение имеет слегка асимметричную форму с пиком в интервале 48,5 – 61,0 тыс. км.

Рисунок 1 – Гистограмма распределения

1. Для более точного заключения о законе распределения требуется проверка гипотез по критериям согласия (например, Пирсона), Предварительно можно считать распределение близким к нормальному.

Заключение

Проведена статистическая обработка информации о надежности транспортных машин на примере наработки шаровых пальцев до отказа. Для выборки объемом 32 значения построены вариационный ряд и гистограмма распределения, рассчитаны основные числовые характеристики: средняя наработка (52,0 тыс. км), среднее квадратическое отклонение (16,1 тыс. км) и коэффициент вариации (0,31).

Анализ формы гистограммы и полученного значения коэффициента вариации позволяет выдвинуть предварительную гипотезу о том, что распределение наработки до отказа исследуемых деталей подчиняется нормальному закону. Результаты работы могут быть использованы для прогнозирования ресурса деталей и планирования сроков их профилактической замены.

Контрольные вопросы

1. Приведите формулы для расчега числовых характеристик, оценивающих надежность машин.

Ответ:

Согласно вышеприведённым формулам 1, 2 и 3.

Среднее значение наработки – математическое ожидание случайной величины, характеризующее центр распределения (1).

,

где t_i – значения наработок,

N – объём выборки.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) σ – показатель разброса значений относительно среднего согласно формуле 2.

.

Коэффициент вариации v – относительный показатель рассеивания, позволяющий сравнивать вариацию различных величин по выражению 3.

.

Знание этих параметров необходимо для выбора теоретического закона распределения и прогнозирования поведения изделия.

2. Раскройте сущность законов распределения случайных величин.

Ответ:

Законы распределения устанавливают связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Они описываются интегральной функцией распределения F(t) (вероятность того, что случайная величина примет значение меньше аргумента) и дифференциальной функцией (плотностью распределения) f(t), представленной на рисунке 2. В теории надёжности наиболее часто используются нормальный закон (при коэффициенте вариации v ≤ 0,3), экспоненциальный и закон Вейбулла.

Рисунок 2 – Графическая интерпретация интегральной (а) и дифференциатьной (б) функции распредетения стучайной величины

З. Приведите порядок обработки экспериментальных данных.

Ответ:

Порядок обработки включает следующие этапы:

1) Построение вариационного ряда (упорядочивание данных по возрастанию);

2) Определение размаха варьирования R = t_max​ − t_min​;

3) Определение числа интервалов k (например, по формуле Стерджеса);

4) Расчёт ширины интервала h = ;

5) Построение интервальной таблицы и подсчет частот m_i​;

6) Расчёт опытных вероятностей (частостей) w_i​;

7) Построение графиков (гистограммы и полигона распределения).

4. Как определяют опытные частости, отражающие вероягносги попадания случайной величины в заданные интервалы наработок?

Ответ:

Опытная частость (относительная частота или статистическая вероятность) w_i для i-го интервала определяется как отношение числа наблюдений (частоты) m_i​, попавших в этот интервал, к общему объему выборки N: w_i​ = .