2. 1.2 Построение вариационного ряда и интервальной таблицы

Для наглядного представления распределения случайной величины строят гистограмму и полигон распределения. Процесс обработки экспериментальных данных включает в себя следующие этапы:

1) Построение вариационного ряда.

Полученные исходные данные (выборка) упорядочиваются по возрастанию значений наработки от t_min до t_max.

2) Определение размаха варьирования.

Вычисляется разность между максимальным и минимальным значениями выборки согласно (4).

R = tmax ​− tmin​.

(4)

3) Определение числа интервалов.

Оптимальное число интервалов группирования k зависит от объема выборки N. Для расчёта используется формула Стерджеса или эмпирическая формула 5.

k ≥ 1 + 3,32·lg(N).

(5)

Полученное значение округляется до целого числа в большую сторону.

4) Расчет ширины интервала.

Ширина интервала h определяется делением размаха варьирования на число интервалов согласно формуле 6.

h = .

(6)

Значение ширины интервала также рекомендуется округлять для удобства построения таблиц.

5) Построение интервальной таблицы.

Определяются границы интервалов: начало первого интервала принимается равным t_min​, конец – t_min​ + h. Конец предыдущего интервала является началом следующего. Для каждого интервала подсчитывается частота m_i​ – число значений, попавших в данный интервал.

6) Расчёт опытной вероятности (частости).

Для каждого интервала рассчитывается относительная частота или опытная вероятность (7).

wi ​= .​​

(7)

7. Построение графиков.

Строится гистограмма распределения – ступенчатый график, где по оси абсцисс откладываются интервалы, а по оси ординат – частоты m_i​ (или частости w_i​). На гистограмме строится полигон распределения – ломаная линия, соединяющая точки середин интервалов и соответствующие частоты.

Среднее значение наработки и cреднее квадратическое отклонение

будем рассчитывать согласно 8 с учётом частот m_i.

; ,

(8)

где – середина i-го интервала,

m_i​ – частота попадания в i-й интервал,

k – число интервалов,

N – объем выборки.

Данные графические методы позволяют визуально оценить форму распределения и выдвинуть гипотезу о теоретическом законе распределения случайной величины (нормальный, экспоненциальный или Вейбулла). Например, при v ≤ 0,3 часто выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения.

2. Практическая часть

3. 2.1 Определение параметров выборки

Исходные данные: 86; 72; 59; 69; 55; 71; 53; 66; 44; 40; 49; 29; 39; 50; 64; 51; 70; 67; 47; 49; 45; 33; 57; 11; 26; 61; 37; 60; 22; 41; 79; 51.

Объектом исследования являются значения наработки шаровых пальцев до отказа (в тыс. км). Объём выборки составил N = 32 значений. Исходные данные содержали значения от 11 до 86 тыс. км.

Ранжирование данных. Исходный массив данных был упорядочен по возрастанию, образуя вариационный ряд от t_min​ = 11 тыс. км до t_max​ = 86 тыс. км.

Определение характеристик распределения.

Размах варьирования R = 86 − 11 = 75 тыс. км.

Число интервалов k (по формуле Стерджеса) k = 1 + 3,32·lg(32) ≈ 6 интервалов.

Ширина интервала h = 12,5 тыс. км.

Построение статистического ряда.

Границы интервалов и частота m_i попадания значений в каждый интервал представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Параметры статистического распределения

№ интервала	Граница интервала, тыс. км.	Середина интервала , тыс. км.	Частота mi	Относительная частота wi
1	11,0 – 23,5	17,25	2	0,06
2	23,5 – 36,0	29,75	3	0,09
3	36,0 – 48,5	42,25	7	0,22
4	48,5 – 61,0	54,75	10	0,31
5	61,0 – 73,5	67,25	8	0,25
6	73,5 – 86,0	79,75	2	0,06
Итого			32	0,99