Экспериментальные методы ядерной физики (ЭМЯФ) / ОнучинОП_Экспериментальные_методы_ядерной_физики_НГТУ_2014_
.pdf
Глава 14. Мертвое время. Случайные совпадения |
193 |
найдем вероятность того, что это событие будет зарегистрировано. Это означает, что в течение времени (рис. 14.2) не было событий, а в интервале — произошло одно событие:
Рис. 14.2. К вычислению скоро-
сти счета для прибора с продлевающимся мертвым временем
Рис. 14.3. Скорость счета собы-
тий для приборов с продлевающимся мертвым временем
= (0, ) (1, ) = − ,
где — среднее число событий в единицу времени. Вероятность в единицу времени
= = −
есть скорость счета событий (рис. 14.3). Нетрудно получить, что максимальная скорость счета
1
max = .
В приборах с непродлевающимся мертвым временем каждое срабатывание приводит к появлению мертвого времени . Возьмем интервал времени 1 с, за это время пришло событий и зарегистрировано событий. Суммарное мертвое время равно
= .
За это время число просчетов − :
− = · = ,
отсюда скорость счета составит
= |
|
(14.1) |
1 + . |
Рис. 14.4. Скорость счета собы-
тий для приборов с непродлевающимся мертвым временем
Полученная зависимость представлена на рис. 14.4, асимптотическое значение max:
1
max = .
При работе с большим числом просчетов необходимо знать принцип работы счетного прибора. Очень часто сложно определить тип мертвого времени прибора и точно измерить величину мертвого времени. Поэтому, как правило, экспериментаторы работают в условиях с малыми просчетами, т. е. когда 1. В этом случае для прибора с мертвым временем продлевающегося типа можно записать:
= − ≈ |
|
|
|
. |
|
1 + |
||
Теперь формула скорости счета для продлевающего и непродлевающего мертвого времени одинакова.
194 |
Часть III. Статистика в ядерных экспериментах |
§ 14.2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ
Существует много разных методов измерения мертвого времени, рассмотрим два наиболее популярных метода. Будем исходить из того, что мы работаем в условиях с малыми просчетами 1.
14.2.1. Два источника
Для определения мертвого времени измеряем скорость счета с одним источником, со вторым, затем с первым и вторым источниками одновременно. Получаем систему из трех уравнений:
1 = |
1 |
, |
2 = |
2 |
, |
3 = |
1 + 2 |
, |
1 + 1 |
1 + 2 |
1 + ( 1 + 2) |
с тремя неизвестными ( , 1 и 2). Решив систему, можно получить мертвое время.
14.2.2. Известное изменение загрузки
Измеряем скорость счета от изотопа, находящегося сначала на одном расстоянии
от счетчика, затем на другом. Известно, что телесный угол 1 , поэтому получим
систему из двух уравнений:
2
1 = |
|
, |
2 = |
|
, |
|
|
||||
1 + |
1 + |
где 1 . Решив систему уравнений, получим .
2
§14.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕСЧЕТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УМЕНЬШЕНИЯ ПРОСЧЕТОВ
Пусть у нас есть прибор с большой памятью, но с большим мертвым временем. Для уменьшения просчетов мы ставим перед этим прибором пересчетную схему, которая дает на выходе импульс, когда на ее вход 
пришло импульсов. Вероятность интервала вре-
мени между двумя событиями:
( ) = ( − 1, ) (1, ) = − |
( ) − 1 |
, |
||||||||
|
( |
− |
1)! |
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( ) − 1 |
|
|
|
|
|||||
|
( ) |
|
= − |
. |
|
|
|
|||
( ) |
|
|
|
|
||||||
|
( − 1)! |
|
|
|
||||||
На рис. 14.5 приведен график вероятности интервала времени между событиями для = 2 и
Рис. 14.5. График вероятности ин- = 1. Заметим что при = 2 наиболее вероят- тервала времени между события- ный интервал не равен нулю, в то время как при
ми для = 2 и = 1 = 1 наиболее вероятный интервал равен нулю. Поэтому пересчетные схемы резко снижают просчеты устройств, которые стоят после пересчетной схемы. Отметим, что при записи с детекторов в компьютеры используется аналогичный подход к уменьшению просчетов: перед компьютером делается устройство на два-три события с малым мертвым временем.
Глава 14. Мертвое время. Случайные совпадения |
195 |
§ 14.4. СЛУЧАЙНЫЕ СОВПАДЕНИЯ В СХЕМАХ СОВПАДЕНИЯ
Рассмотрим случай, когда мы регистрируем частицы, которые проходят через два счетчика. Импульсы со счетчиков длительностью поступают на схему совпадения (С. С.) (рис. 14.6), которая срабатывает, когда импульсы перекрываются. Помимо импульсов от регистрируемых частиц со счетчиков идут импульсы от шумов фотоумножителей, фоновых событий и других источников — такие импульсы также могут совпасть во времени и вызвать сигнал на выходе схемы совпадения. Эти события называются случайными совпадениями сл. Скорость счета на выходе схемы совпадения составит ист + сл. Найдем сл, для этого сделаем длительность импульса в первом канале 2 , а во втором канале сделаем длительность импульса равной нулю (рис. 14.7). Возьмем интервал времени 1 с, тогда полное время срабатываний первого канала 1 = 2 1. Число попавших событий со второго канала в этот интервал времени:
|
|
|
|
сл = 2 = 2 1 2 . |
(14.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.6. Принцип работы схе- |
Рис. 14.7. К определению числа |
мы совпадения |
случайных совпадений |
Для каналов число случайных совпадений
сл( ) = −1 1 2 · · · .
Введение дополнительных каналов уменьшает сл.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Гольданский В. И. Счетчики частиц, обладающие мертвым временем. Пересчетные схемы. Статистика отсчетов при регистрации совпадений / В. И. Гольданский, А. В. Ку-
ценко, М. И. Подгорецкий // Статистика отсчетов при регистрации ядерных частиц. — М. : Физматгиз, 1959. — С. 166–376.
2.Козодаев М. С. Основы теории просчетов / М. С. Козодаев // Детекторы элементарных частиц / В. И. Калашникова, М. С. Козодаев. — М. : Наука, 1966. — С. 355–402.
3.Худсон Д. Введение в теорию вероятностей / Д. Худсон // Статистика для физиков : пер. с англ. — М. : Мир, 1967. — С. 11–47.
4.Групен К. Основные характеристики детекторов частиц / К. Групен // Детекторы элементарных частиц : пер. с англ. — Новосибирск : Сиб. хронограф, 1999. — С. 42–49.
Глава 15
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
§15.1. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Вбольшинстве ядерных измерений вид закона распределения измеряемых величин известен и требуется определить его параметры. Метод максимального правдоподобия — это метод оценки значений параметров распределения.
Предположим, что мы измеряем некоторую непрерывную величину , распре-
деленную по Гауссу. Сделав одно измерение, получили ее значение 1 с ошибкой1: 1 ± 1. Запишем вероятность того, что величина примет значение 1 + 1:
−( 1− )2
( ) 1 = 1 2 21 1 .
√
2 21
Теперь предположим, что мы провели несколько таких измерений и получили1 ± 1, 2 ± 2, . . . , ± . Вероятность того, что величина примет значения
1 + 1, 2 + 2, . . . , + , будет
|
|
1 |
|
− |
( − )2 |
|
||
( ) 1 · · · = |
∏ |
|
2 2 |
1 · · · . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
√ |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
||||||
=1 |
|
|
2 |
|||||
Функция ( ) называется функцией правдоподобия. Более удобна логарифмическая функция правдоподобия:
( ) = ln ( ) = |
|
|
( − )2 |
+ |
|
ln |
1 |
|
. |
|
− |
∑ |
|
∑ |
|
|
|||||
|
2 2 |
|
√2 |
|||||||
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Найдем максимум ( ), для чего продифференцируем логарифмическую функцию правдоподобия по :
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
= |
∑ |
− |
. |
|
|
||||
|
∂ |
2 |
|||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняв ∂∂ к нулю, получим оценку среднего значения = :
∑
= =1 2 .
∑ 1
=1 2
Г. Крамер сформулировал следующую теорему:
Глава 15. Метод максимального правдоподобия |
197 |
Теорема 15.1 (Крамера). Не существует другого метода обработки результатов эксперимента, который дал бы лучшее приближение к истине, чем метод максимального правдоподобия.
§ 15.2. ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПЕРВАЯ МАГИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
Предположим, что мы провели серию измерений и получили серию значений. Естественно записать, что распределение по будет иметь гауссовский вид:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
( − )2 |
|
|
|
|||||
( ) = |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
√2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Запишем логарифмическую функцию правдоподобия: |
|
|
|
||||||||||||||
( ) = ( ) = |
( − )2 |
|
+ ln |
|
|
|
1 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Возьмем первую производную: |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
√2 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ |
= |
− |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если ∂∂ приравнять к нулю, то = . Теперь возьмем вторую производную:
∂2 1
=− ,
∂2 2
откуда получаем
= √ |
1 |
. |
(15.1) |
|
−∂2
∂ 2 =
Это выражение называется первой магической формулой.
§ 15.3. ЗАКОН ПУАССОНА
Пусть измеряемая величина флуктуирует по закону Пуассона. Мы провели одно измерение и получили количество событий . Что мы можем сказать о значении и его ошибке? Запишем функцию правдоподобия:
198 |
Часть III. Статистика в ядерных экспериментах |
( ) = − ( ) .
!
Обозначим = , которое нам и надо найти, тогда
( ) = − .
!
Запишем логарифмическую функцию правдоподобия:
( ) = ln ( ) = − + ln + ln 1! .
Продифференцируем это выражение:
∂∂ = −1 +
и приравняем его к нулю. Откуда оценка величины есть
= .
Найдем ее ошибку, для этого возьмем вторую производную:
|
∂2 |
= − |
|
= |
= − |
1 |
, |
||
|
∂ 2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= √ |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Видно, что методом максимального правдоподобия мы нашли ошибку оценки измеряемой величины, распределенной по закону Пуассона, быстрее, чем в разделе 13.3.
§ 15.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть есть некоторая функция, зависящая от независимых параметров и одного аргумента: ( 1, 2, . . . , , ). Выполним измерения при разных значениях
и получим некоторые значения функции: ( 1) = 1 ± 1, . . . , ( ) = ± . Запишем функцию правдоподобия:
|
1 |
|
− |
[ − ( 1, 2,..., , )]2 |
|
∏ |
|
2 2 |
|||
√2 |
|
|
|||
( 1, 2, . . . , ) = |
|
|
|
|
|
=1 |
|
2 |
|
||
и логарифмическую функцию правдоподобия:
( |
, , . . . , ) = |
|
|
[ − ( 1, 2, . . . , , )]2 |
+ |
|
ln |
|
|
1 |
|
. |
|
||
− |
∑ |
|
∑ |
|
|
|
(15.2) |
||||||||
1 |
2 |
|
2 2 |
|
|
√2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||
Глава 15. Метод максимального правдоподобия |
199 |
Для нахождения значений параметров 1, 2, . . . , необходимо продифференцировать (15.2) по каждому параметру и приравнять эти производные к нулю. Таким
образом мы получим |
, |
, . . . , |
. Другими словами, величина |
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
[ − ( 1, 2, . . . , , )]2 |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 2 |
=1 |
|
∑ |
|
должна быть минимальной. Это и есть метод наименьших квадратов. Оказывается, что метод наименьших квадратов является частным случаем метода максимального правдоподобия.
§15.5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ВТОРАЯ МАГИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
Предположим что нам нужно измерить некоторый параметр функции ( , ), где , например, энергия частиц. Естественно считать, что функция ( , ) есть функция правдоподобия ( , ) и у нее сделана нормировка:
к
∫
( , ) = 1 .
н
Предположим, мы зарегистрировали событий и получили значения 1, 2, . . . , . Вероятность этого:
|
|
∏ |
( , ) ; |
( , 1, 2, . . . , ) = |
|
=1 |
|
|
|
∑ |
|
( , , 1, 2, . . . , ) = ln = |
ln ( , ) . |
|
=1 |
Для нахождения значения параметра необходимо взять первую производную от логарифмической функции правдоподобия:
∂ |
|
∂ ln ( , ) |
|
1 |
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
|
= |
|
= |
|
∂ |
=1 |
∂ |
=1 |
( , ) |
|
|
|
|
|
||
∂( , )
и приравнять ее к нулю, т. е. получим = из уравнения ∂∂ . Чтобы найти ошибку этого значения , необходимо воспользоваться первой магической формулой (15.1):
200 |
Часть III. Статистика в ядерных экспериментах |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
∂2 |
|
1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∂ 2 = |
− |
( ( , ))2 |
|||
|
|
=1 |
|
|
|
Найдем среднее значение:
∂2
= − ;
∂ 2 =
( |
∂ ( , ) |
) |
2 |
|
1 |
∂ |
2 |
, ) |
|||
|
|
|
+ |
|
|
( |
. |
||||
∂ |
|
( , ) |
|
|
|
∂ 2 |
|||||
|
∂2 |
|
к |
|
∂2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= ∫ |
( |
|
) ( , ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂ 2 |
∂ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
[− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
1 |
( |
, ) |
) |
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∂ ( |
|
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
=1 |
( ( , ))2 |
∂ |
|
( , ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
н |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]
∂( , ) ( , ) .
Для большого числа измерений 1 пройдет все значения от н до к. То же самое относится и к 2, и 3, и т. д. Следовательно:
|
∂2 |
|
к |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( , ) |
|
2 |
|
|
|
1 ∂2 ( , ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= |
∫ |
[− |
|
|
|
( |
∂ |
|
) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
] ( , ) . |
||||||||||||
∂ 2 |
( ( , ))2 |
|
∂ |
( , ) |
|
∂ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
к |
|
|
( |
∂ ( , ) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
1 |
|
|
( |
|
|
( , ) |
) |
|
|||||||||
|
∫ |
1 |
|
|
2 |
( , ) = − |
∫ |
|
|
∂ |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
( ( , ))2 |
|
∂ |
|
|
( , ) |
|
|
∂ |
||||||||||||||||||||||||
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
к |
|
|
1 |
|
∂ |
2 ( , ) |
|
|
|
к |
|
∂2 ( , ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
( , ) = |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( , ) |
|
∂ 2 |
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку здесь дифференцирование ведется по , а интегрирование по , то последнее выражение можно представить в виде
|
|
к |
|
|
|
|
∂2 |
∫ |
( , ) = |
∂2 |
1 = 0 . |
∂ 2 |
∂ 2 |
||||
|
|
н |
|
|
|
Теперь уже можно записать:
Глава 15. Метод максимального правдоподобия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
||||||||||||||||||
|
∂2 |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
∂ ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
= − ∫ |
1 |
|
|
( |
) |
2 |
= − |
. |
|||||||||||||||||||
∂ 2 |
|
|
( , ) |
∂ |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Откуда ошибка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
к |
1 |
|
|
|
∂ ( , ) |
) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
√ н |
( , ) |
( |
∂ |
|
√ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть так называемая вторая магическая формула. Видно, что при планировании эксперимента по измерению некоторого параметра с точностью мы можем посчитать по второй магической формуле необходимое количество событий.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Козодаев М. С. Некоторые общие положения теории ошибок измерений / М. С. Козо-
даев // Детекторы элементарных частиц / В. И. Калашникова, М. С. Козодаев. — М. : Наука, 1966. — С. 296–354.
2.Худсон Д. Принцип максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов / Д. Худсон // Статистика для физиков : пер. с англ. — М. : Мир, 1967. — С. 101–173.
Глава 16
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Имеется широкий класс явлений, флуктуации которых описываются так называемым биномиальным законом. Это класс событий типа «да–нет». Пример такого явления — эффективность регистрации частиц какого-нибудь прибора. На рис. 16.1 изображена схема измерения эффективности черенковского счетчика (Чер. сч.) с помощью космических частиц, отбираемых при помощи двух сцинтилляционных счетчиков, размеры которых меньше размеров черенковского счетчика. В электрической схеме используются две схемы совпадения. Через сцинтилляционные счетчики прошло событий, на этих событиях черенковский счетчик сработал раз, тогда мы можем сказать, что эффективность
" = .
Найдем закон распределения по значениям . Естественно, можно записать для одного события (1 − ") + " = 1. Запишем для событий:
[(1 |
− |
") + "] |
= (1 |
− |
") + (1 |
− |
") −1 |
" + |
|
( − 1) |
(1 |
− |
") −2"2 + |
· · · |
+ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
(1 − ") − " + · · · + " |
= 1 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!( |
− |
)! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим биномиальный закон распределения: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(") = |
|
! |
|
|
" (1 − ") − . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!( |
− |
)! |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем для этого закона среднее значение эффек- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тивности и ошибку эффективности. Запишем лога- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рифмическую функцию правдоподобия: |
! |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рис. 16.1. К выводу биномиаль- |
(", ) = ln "+( − ) ln (1 − ")+ln |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
ного распределения |
|
|
|
|
|
|
|
!( |
− |
)! |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем первую производную и приравняем ее к нулю:
∂∂" = " − 1 −− " .
Откуда
" = .