Экспериментальные методы ядерной физики (ЭМЯФ) / ОнучинОП_Экспериментальные_методы_ядерной_физики_НГТУ_2014_
.pdfЧАСТЬ III
СТАТИСТИКА В ЯДЕРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ
Глава 13
ИНТЕРВАЛ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ ЗАКОН ПУАССОНА
§13.1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
Рассмотрим распределение интервалов времени между статистически независимыми событиями. Для определенности возьмем изотоп и прибор, который регистрирует частицы, излученные этим изотопом. Естественно определить среднее число событий в единицу времени как
0 = lim ,
→∞
где — число событий за время , и среднее время как
|
= |
lim |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|||||||
|
|
→∞ |
|
0 |
||||
Рассмотрим интервал времени , много меньше . Вероятность того, что в интервале будет одно событие:
(1, ) = 0 << 1 .
Вероятность того, что в этот интервал попадет два события:
(2, ) = [ (1, )]2 = ( 0 )2 = 20( )2 (1, ) ;
вероятность того, что в интервале будет ноль событий:
(0, ) = 1 − (1, ) = 1 − 0 .
Рис. 13.1. К определению вероятности обнаружения 0 событий
Теперь рассмотрим конечный интервал времени . Найдем для такого интервала вероятность того, что будет ноль событий. Разобьем интервал на маленькие интервалы (рис. 13.1):
(0, ) = [ (0, )] |
|
|
= [1 − 0 ] |
|
|
|
|
|
. (13.1) |
||
186 Часть III. Статистика в ядерных экспериментах
Теперь можем записать вероятность (0, ) в таком виде:
Рис. 13.2. К определению распределения вероятности интер-
валов времени между событиями
(0, ) = [(1 + (− 0 ))− |
1 |
]− 0 . |
|
|
||||||
0 |
|
|
||||||||
Устремим |
|
→ |
0 |
, тогда пределом |
выражения |
|||||
|
|
1 |
→ |
|
. По- |
|||||
в квадратных скобках будет 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim (1 + ) |
|
|
||||
лучим |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||
|
|
(0, ) = − 0 . |
|
|
(13.2) |
|||||
Запишем вероятность иметь интервал времени между событиями (рис. 13.2). В интервале времени должно быть ноль событий с вероятностью (0, ), а в маленьком интервале вероятность одного события (1, ):
( ) = (0, ) (1, ) = − 0 0 , |
( ) |
= − 0 0 . |
|
|
|||
|
|
Полученная зависимость представлена на рис. 13.3. Как видно, наиболее вероятный интервал времени между двумя событиями равен нулю. Найдем теперь средний интервал между событиями:
∞∞
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
= ∫ |
|
= |
∫ |
− 0 0 = |
. |
|||||
|
|
0 |
||||||||
00
Определим величину флуктуаций этого интервала времени:
( ) = 2 = ( − )2 = 2 − ( )2 .
Найдем 2:
∞∞
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
2 = ∫ |
2 |
= |
∫ |
2 − 0 0 = |
. |
|
|
|||||||
|
|
02 |
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем дисперсию: |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = 2 = |
|
− |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||
Рис. 13.3. Распределение вероятности интервалов времени меж-
ду событиями
1
20
.
Относительная дисперсия составит: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ) |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 1 . |
(13.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( )2 |
( )2 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
Глава 13. Интервал времени между событиями. Закон Пуассона |
187 |
Таким образом, наиболее вероятный интервал времени между двумя событиями равен нулю, а дисперсия составляет 100 %. Интересно, что события происходят во времени следующим образом: сначала произошло одно событие, затем рядом с ним произошло еще одно событие, а потом идет длинный интервал времени, когда нет событий.
§ 13.2. ЗАКОН ПУАССОНА
Получим распределение Пуассона. Найдем вероятность того, что за интервал времени будет зарегистрировано событий. Рассмотрим интервал времени , к которому добавим маленький интервал . Запишем ( , + ):
( , + ) = ( , ) (0, ) + ( − 1, ) (1, ) + ( − 2, ) (2, ) + · · · =
= ( , )(1 − 0 ) + ( − 1, ) 0 + ( − 2, ) 20( )2 + · · ·
(13.4)
Также ( , + ) можно представить как функцию и разложить эту функцию в ряд по параметру :
( , + ) = ( , ) + |
( , ) |
+ |
|
2 |
( )2 + · · · |
(13.5) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|||||||
Приравняем выражения (13.4) и (13.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , )(1 − 0 ) + ( − 1, ) 0 + · · · = ( , ) + |
( , ) |
+ · · · , |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
− ( , ) 0 + ( − 1, ) 0 = |
( , ) |
|
|
||||||||
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
отсюда можно получить дифференциальное уравнение для распределения Пуассона:
( , ) |
+ 0 ( , ) = 0 ( − 1, ) . |
(13.6) |
|
Решим это дифференциальное уравнение, для чего найдем сначала решение соответствующего однородного уравнения:
( , ) |
+ 0 ( , ) = 0 . |
(13.7) |
||
|
|
|||
|
|
|||
188 |
Часть III. Статистика в ядерных экспериментах |
Будем искать решение в виде экспоненты ( , ) = :
|
|
+ 0 |
|
|
= 0 , = − 0 . |
|
|
Решение однородного уравнения (13.7):
( , ) = ( ) − 0 .
Далее решим неоднородное уравнение, для этого считаем, что есть функция
= ( ):
|
( ) |
− 0 − 0 ( ) − 0 + 0 ( ) − 0 = 0 ( − 1, ) , |
(13.8) |
||||
|
|
||||||
|
|
( ) |
− 0 = 0 ( − 1, ) , |
(13.9) |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
откуда получим, что функция ( ) равна: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
( ) = |
0 0 ( − 1, ) . |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Теперь можно записать решение (13.6): |
|
|
|||||
|
|
( , ) = − 0 ∫ |
|
|
|||
|
|
0 ( − 1, ) . |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Получилась рекуррентная формула, которую можно «раскрутить», поскольку
мы знаем значение (0, ) (уравнение (13.2)): |
|
|
|
|||||
(0, ) = − 0 |
, |
|
|
|
|
|
(13.10) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
(1, ) = − 0 |
0 |
− 0 |
0 = − 0 ( 0 ) , |
(13.11) |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
( 0 )2 |
|
||
(2, ) = − 0 |
0 |
− 0 |
( 0 ) 0 = − 0 |
(13.12) |
||||
|
. |
|||||||
2 |
||||||||
0
Глава 13. Интервал времени между событиями. Закон Пуассона |
189 |
||||||||
Теперь можно записать закон Пуассона: |
|
|
|||||||
( , ) = − 0 |
( 0 |
) |
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
Найдем : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∞ ( , ) = |
∞ − 0 ( 0 ) |
= |
|
|
|||||
=0 |
|
|
=0 |
! |
|
|
|
||
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
||
∞ |
− 0 |
( 0 |
) −1 |
|
|
|
|
||
= |
( |
|
|
( 0 ) = |
|
|
|
||
=0 |
|
− |
1)! |
|
|
|
|
||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 0 ) − 0 0 = 0 |
|
|
|
||||||
Закон Пуассона можно записать через : |
Рис. 13.4. Распределение Пуассона с = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0.1 и = 4 |
|
( ) = − ( ) .
!
Для иллюстрации покажем, как выглядит закон Пуассона для = 0.1 и = 4 (рис. 13.4). Сформулируем условия применимости закона Пуассона.
1.Измеряемая величина принимает целочисленные положительные значения.
2.События, относящиеся к неперекрывающимся интервалам времени, статистически независимы.
3.(1, ) → 0, когда → 0. Это означает, что в распределении, которым мы занимаемся, нет -функций.
§13.3. ДИСПЕРСИЯ ДЛЯ ЗАКОНА ПУАССОНА
Найдем дисперсию для закона Пуассона:
( ) = ( − )2 = 2 − ( )2 .
Получим 2. Здесь есть искусственный прием, заключающийся в том, что вместо2 ищется следующее выражение:
|
|
∞ |
( + 2)( + 1) − 0 |
( 0 ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( + 2)( + 1) = |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
[( 0 )2 |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − 0 |
|
∞ |
2 |
( 0 ) +2 |
= − 0 |
2 |
∞ |
( 0 ) |
. (13.13) |
||||||
=0 ( 0 )2 |
|
! |
( 0 )2 |
=0 |
! |
||||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
190 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть III. Статистика в ядерных экспериментах |
||||||||||||||||||||||||||
|
Вспомним ряд Тейлора для экспоненты |
= |
∞ |
|
и запишем последнее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
выражение в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
[( 0 )2 0 |
] . |
|
|||||||||||||
|
|
|
( + 2)( + 1) = − 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( 0 )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Возьмем первую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[2( 0 ) 0 + ( 0 )2 0 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( + 2)( + 1) = − 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
( 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − 0 |
|
|
|
|
{ [2( 0 ) + ( 0 )2] 0 } . |
(13.14) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 ) |
|||||||||||||||||||||||
Теперь возьмем вторую производную: |
|
+ [2( 0 )2+ ( 0 ) |
]2 |
|
} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ 1) = − |
|
|
{[2 + 2( 0 )] |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
( + 2)( |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2 + 2( 0 ) + 2( 0 ) + ( 0 ) |
= ( 0 ) |
+ 4( 0 ) + 2 . |
(13.15) |
|||||||||||||||||||||||||||||
С другой стороны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ 3 |
|
|
+ 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + 2)( + 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
( ) = 2 − ( )2 |
= , |
|
|
|
|
|
|
|
= |
√1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если мы измерили один раз скорость счета какого-то процесса и знаем, что этот процесс подчиняется закону Пуассона, то по результатам измерений можно написать = ± √ .
§ 13.4. ЗАКОН ГАУССА
Для статистически независимых событий, которые не являются целочисленными, распределение описывается плотностью вероятности, которая часто дается законом Гаусса (рис. 13.5):
1 |
|
( − |
|
)2 |
|
|
|
|
|
||
− |
|
|
|
|
|
||||||
( ) = |
√ |
|
2 2 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
2 2 |
|
|
|
|
|||||||
Если мы измеряем некоторую величину и |
|
|
|
|
|||||||
получили значение ± , то можем записать, |
|
|
|
|
|||||||
что она равна = ± с вероятностью 68.27 %, |
|
|
|
|
|||||||
или = ± 2 с вероятностью 95.45 %, или |
|
|
|
|
|||||||
= ± 3 с вероятностью 99.73 %. |
Рис. 13.5. Распределение Гаусса |
||||||||||
Глава 13. Интервал времени между событиями. Закон Пуассона |
191 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Гольданский В. И. Закон Пуассона / В. И. Гольданский, А. В. Куценко, М. И. Подго-
рецкий // Статистика отсчетов при регистрации ядерных частиц. — М. : Физматгиз, 1959. — С. 14–64.
2.Козодаев М. С. Некоторые сведения о законах, которым подчиняются случайные величины / М. С. Козодаев // Детекторы элементарных частиц / В. И. Калашникова, М. С. Козодаев. — М. : Наука, 1966. — С. 242–295.
3.Худсон Д. Введение в теорию вероятностей / Д. Худсон // Статистика для физиков : пер. с англ. — М. : Мир, 1967. — С. 11–47.
4.Матусевич Е. С. Статистические флуктуации в ядерных явлениях и при их регистра-
ции / Е. С. Матусевич // Основы экспериментальных методов ядерной физики /
А. И. Абрамов, Ю. А. Казанский, Е. С. Матусевич. — М. : Атомиздат, 1977. — С. 5–29.
5.Тейлор Дж. Распределение Пуассона / Дж. Тейлор // Введение в теорию ошибок : пер. с англ. — М. : Мир, 1985. — С. 213–222.
6.Knoll G. F. Counting Statistics and Error Prediction / G. F. Knoll // Radiation Detection and Measurement. — New York : Wiley, 2000. — P. 65–102.
Глава 14
МЕРТВОЕ ВРЕМЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОВПАДЕНИЯ
§14.1. МЕРТВОЕ ВРЕМЯ ПРИБОРОВ ПРОСЧЕТЫ
Мертвое время прибора — это время, которое должно пройти с момента регистрации одной частицы до момента, когда он будет готов к регистрации следующей.
14.1.1. Два типа мертвого времени приборов
Существует два типа мертвого времени: продлевающегося и непродлевающегося типа. Рассмотрим рис. 14.1. Происходит событие, после которого у прибора наступает мертвое время . Если второе событие произошло до окончания первого мертвого времени, то у прибора с мертвым временем продлевающегося типа этот промежуток времени будет продлен на промежуток времени, равный мертвому времени прибора. У прибора с мертвым временем непродлевающегося типа следующее событие будет зарегистрировано только после окончания промежутка времени, равного мертвому времени прибора.
|
В качестве примера прибора с продлева- |
|
ющимся мертвым временем можно рассмот- |
|
реть механическую систему, используемую |
|
для счета импульсов. Импульс тока приходит |
|
на катушку, соединенную через пружину со |
|
специальным стержнем. Возникающее маг- |
|
нитное поле оттягивает стержень, который |
|
в свою очередь через систему зубьев пово- |
Рис. 14.1. Два типа мертвого времени |
рачивает колесико. По окончании импульса |
тока поле исчезает, пружина разжимается |
|
|
и стержень встает на свое место. Если во |
время прихода второго импульса тока первый импульс еще не закончился, то |
|
стержень останется в оттянутом положении и поворота колесика не произойдет, |
|
следовательно, второй импульс посчитан не будет. |
|
Примером прибора с мертвым временем непродлевающегося типа может слу- |
|
жить гейгеровский счетчик. Пока весь заряд от первой частицы не рассосется, |
|
следующие частицы никакого следа не оставят. |
|
Из трех событий, изображенных на рис. 14.1, прибор с продлевающимся мертвым |
|
временем зарегистрирует только одно событие, а прибор с непродлевающимся |
|
мертвым временем — два. |
|
Рассмотрим вопрос о просчетах для приборов с продлевающимся мертвым |
|
временем. В момент времени длительностью происходит некоторое событие, |
|