Параметрическая
идентификация моделей методом наименьших квадратов
Идентификацией модели называется определение её параметров и структуры, обеспечивающих наименьшие отклонения выходных координат модели от выходных координат объекта при одинаковых входных воздействиях
Часто же структурой модели задаются заранее, а определяют только параметры модели
Такая процедура называется
параметрической идентификацией
Для параметрической идентификации моделей часто используется метод наименьших квадратов (МНК)
Постановка задачи. Объект имеет r входных х1, х2, ... хr и одну выходную координату у
Обозначим |
входных координат |
Проведено n |
экспериментов |
В каждом из которых, |
при известных х1i, х2i, ... |
хri значениях входных |
координат, определялись |
соответствующие им |
значения уi выходной |
координаты |
- вектор
y |
Требуется построить математическую модель объекта
Кривая регрессии должна |
проходить вблизи |
экспериментальных точек |
y |
Эти условия и используются для построения модели
Для этого формируется функция F, оценивающая |
||
невязку - степень отклонения |
от |
|
: y |
|
|
i |
В методе наименьших |
|
yi |
квадратов в качестве такой |
|
|
функции используется квадрат |
|
xi |
невязки |
|
x |
|
|
Видом, структурой зависимости |
|
|
задаются, поэтому построение искомой |
|
|
зависимости сводится к определению её |
||
параметров |
|
|
Они находятся таким образом, чтобы при |
||
этих значениях математическое ожидание |
||
функции невязки F было минимальным |
||
Поскольку имеющаяся выборка экспериментальных данных всегда ограничена, то операцию нахождения математического ожидания заменяют операцией вычисления его оценки - среднего арифметического:
Таким образом, при МНК параметры находятся из условия
т.е. являются решением задачи минимизации
суммы квадратов невязки
Для использования МНК модель должна быть линейна по параметрам
В качестве зависимости используется полином r - ой степени
Например, если объект имеет две входные координаты z1
и z2, то можно использовать квадратичный полином:
В любом случае для большей компактности выкладок и удобства вычислений целесообразно переобозначить переменные, входящие в правую часть уравнения, и записать его в виде линейного полинома с другими переменными:
Уравнение приводится к такому виду с помощью обозначений:
К виду можно всегда привести модель, если параметры входят в исходное уравнение линейно, входные координаты могут при этом входить в него нелинейно
Тогда функция f(a) примет вид:
Необходимым условием минимума функции f(a) является равенство нулю её частных производных по искомым параметрам:
или
Система нормальных уравнений
Запишем эту систему в виде, удобном для анализа
Полученная система линейных алгебраических уравнений, содержит столько уравнений, сколько в неё входит неизвестных параметров a
Эту систему принято называть системой
нормальных уравнений
Система нормальных уравнений может быть решена, например, по правилу Крамера
Решение может быть сравнительно точно найдено таким образом, если матрица системы нормальных уравнений не является плохообусловленной, т.е. определитель существенно отличается от нуля
В противном случае ∆i будет делиться на величину близкую к нулю
Малые отклонения в значениях входных координат (возможно, вызванных наличием помех измерения) будут приводить к существенному изменению находимых оценок параметров
Это может быть вызвано либо линейной зависимостью части входных координат, либо тем, что при проведении эксперимента значения входных координат изменялись слишком мало, либо неточностью вычисления в выражении
В этом случае необходимо, соответственно, либо менять структуру модели (исключать линейно зависимые координаты), либо менять выборку экспериментальных данных, либо проводить вычисления с большей точностью
Для решения системы нормальных уравнений с помощью ЭВМ лучше использовать метод Гаусса
Регрессионный анализ
После того, как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов
Этот анализ состоит в следующем:
1.проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии
2.устанавливается адекватность уравнения
Такое исследование носит название
регрессионного анализа