2. Решение задачи

2.1. Решение частного случая задачи о назначении

Поскольку каждый из основателей фирмы претендует только на одну из управленческих должностей, поставленную задачу можно решить с использованием венгерского алгоритма. Необходимо, чтобы суммарная заработная плата всех работников достигла минимума.

Исходная матрица имеет следующий вид:

Таблица 2.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	100	60	130	70	50	160	90
X2	60	150	200	60	70	90	170
X3	130	40	100	180	80	120	60
X4	170	80	150	130	140	50	70
X5	90	100	70	50	60	150	140
X6	100	180	140	130	90	70	50
X7	110	50	80	70	100	140	150

Проведем редукцию матрицы по столбцам. Для этого выделяем наименьший элемент в каждом столбце матрицы.

Таблица 3.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	100	60	130	70	50	160	90
X2	60	150	200	60	70	90	170
X3	130	40	100	180	80	120	60
X4	170	80	150	130	140	50	70
X5	90	100	70	50	60	150	140
X6	100	180	140	130	90	70	50
X7	110	50	80	70	100	140	150

Далее из каждого элемента столбца 𝑌𝑗 вычитаем наименьший элемент этого столбца, в результате чего образуется следующая матрица:

Таблица 4.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	40	20	60	20	0	110	40
X2	0	110	130	10	20	40	120
X3	70	0	30	130	30	70	10
X4	110	40	80	80	90	0	20
X5	30	60	0	0	10	100	90
X6	40	140	70	80	40	20	0
X7	50	10	10	20	50	90	100

Аналогичную операцию проводим со строками матрицы. Выделяем наименьший элемент каждой строки.

Таблица 5.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	40	20	60	20	0	110	40
X2	0	110	130	10	20	40	120
X3	70	0	30	130	30	70	10
X4	110	40	80	80	90	0	20
X5	30	60	0	0	10	100	90
X6	40	140	70	80	40	20	0
X7	50	10	10	20	50	90	100

Далее из каждого элемента сроки 𝑋𝑖 вычитаем наименьший элемент этой сроки, в результате чего образуется полностью редуцированная матрица:

Таблица 6.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	40	20	60	20	0	110	40
X2	0	110	130	10	20	40	120
X3	70	0	30	130	30	70	10
X4	110	40	80	80	90	0	20
X5	30	60	0	0	10	100	90
X6	40	140	70	80	40	20	0
X7	40	0	0	10	40	80	90

Затем проводим поиск максимального паросочетания. Ищем значение с нулевым значением для полученной редуцированной матрицы.

1. Выбираем строку с одним расположенным в ней нулем (строка 𝑋1), выделяем нуль. Он расположен в столбце 𝑌5 – больше нулей в этом столбце нет.

2. Далее выделяем нуль, расположенный в строке 𝑋2, поскольку он также является единственным нулем, расположенным в данной строке. Нуль стоит в столбце 𝑌1, причем в этом столбце он является единственным.

3. В третьей строке единственный нуль расположен в столбце 𝑌2 – выделяем данный элемент, при этом учитываем, что в столбце 𝑌2 расположен еще один нуль, в строке 𝑋7.

4. В строке 𝑋4 выделяем единственный расположенный в ней нуль – в столбце 𝑌6 (для этого столбца нуль также является единственным).

5. Выбираем последнюю строчку, в которой расположен один нуль (строчку 𝑋6) и выделяем нулевое значение в столбце 𝑌7.

6. В седьмой строке находятся два нулевых элемента – в столбцах 𝑌2 и 𝑌3. При этом в столбце 𝑌2 уже есть выделенный нуль, расположенный в третьей строке.

По этой причине выделяем нуль, расположенный в седьмой строке, третьем столбце.

7. В пятой строке также находятся два нулевых значения – в столбцах 𝑌3 и 𝑌4.

Однако в третьем столбце, в седьмой строке уже имеется выделенный нуль, поэтому отмечаем элемент (𝑋5; 𝑌4).

8. Оставшиеся невыделенными нули зачеркиваем и получаем следующую матрицу.

Таблица 7.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	40	20	60	20	0	110	40
X2	0	110	130	10	20	40	120
X3	70	0	30	130	30	70	10
X4	110	40	80	80	90	0	20
X5	30	60	0	0	10	100	90
X6	40	140	70	80	40	20	0
X7	40	0	0	10	40	80	90

Возвращаемся к первоначальной таблице и соотносим наш результат с исходными данными.

Таблица 8.

Минимальный размер заработной платы, подходящей для работника (тыс. руб.)
	Финан совый директор (Y1)	Директор по маркет ингу (Y2)	HR-директор (Y3)	Креативный директор (Y4)	Контент- менеджер (Y5)	Пиар- менеджер (Y6)	Технический директор (Y7)
Вячеслав Мирилашвили (X1)	100	60	130	70	50	160	90
Лев Левиев (X2)	60	150	200	60	70	90	170
Павел Журов (X3)	130	40	100	180	80	120	60
Евгений Захаров (X4)	170	80	150	130	140	50	70
Олег Прокофьев (X5)	90	100	70	50	60	150	140
Александр Демин (X6)	100	180	140	130	90	70	50
Виктор Паз (X7)	110	50	80	70	100	140	150

Исходя из этого, управленческие должности будут распределяться следующим образом:

• Вячеслав Мирилашвили – Контент-менеджер

• Лев Левиев – Финансовый директор

• Павел Журов – Директор по маркетингу

• Евгений Захаров – Пиар-менеджер

• Олег Прокофьев – Креативный директор

• Александр Демин – Технический директор

• Виктор Паз – HR-директор

Суммарные затраты на оплату труда управленческого персонала в таком

случае минимальны и равны 390 тыс. руб. в месяц (𝐶𝑚𝑖𝑛 = 50 + 60 + 40 + 50 + 50 + 50 + 80 = 380 тыс. руб.).