физ / МКТ и термодинамика

21

где r - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F . Модуль момента силы

М=Fl,

где l –плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

7 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в общем случае

dt

где Мя- момент сил, приложенных к телу относительно оси z, L – момент импульса тела, Jz – момент инерции относительно оси z, ω – угловая скорость тела.

В случае постоянного момента инерции

d

Mz Jz dt Jz ,

где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил Мz.

где Jz – момент инерции тела относительно оси z; ω – его угловая скорость. 10 Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

Wk 1 m C2 1 J0 2 ,

2 2

где m – масса тела; υс – скорость центра масс тела; Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, ω – угловая скорость тела. 11 Работа при вращении тела

dA M zd ,

где dφ – угол поворота тела; Мя – момент силы относительно оси z.

22

Таблица 1 Моменты инерции некоторых симметричных твердых тел относительно оси,

проходящей через центр масс

1.128 Три маленьких шарика массой m = 10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника и скреплены между собой. Сторона треугольника а = 20 см. Определить момент инерции системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и

23

проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.

(4 10-4 кг м2, 2 10-4 кг м2)

1.129 Определить момент инерции тонкого стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через:

1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины. (3 10-3 кг м2; 0,75 10-3 кг м2; 10-3 кг м2)

1.130 Чему равен момент инерции J цилиндра с диаметром основания D и высотой h относительно оси О1О2, совпадающей с его образующей?

1.132 Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период Т этих

1.133 Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Во сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода малых колебаний математического маятника с таким же расстоянием от точки подвеса до центра масс? (в 1,05 раз)

1.134 Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец.

1.135 Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии 10 см от его верхнего конца. Длина стержня l =

1.136 На концах вертикального стержня укреплены два груза. Центр масс этих грузов находится ниже середины стержня на d = 5 см. Найти длину стержня l, если известно, что период малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину, Т = 2 с. Массой стержня

Основное уравнение динамики вращательного движения

1.137 Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени дается уравнением = А + В + Сt2, где С = 2 рад/с2. Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения Мтр = 1 Н м. Определить величину

24

1.138 Шар радиусом R = 20 см и массой m = 10 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угла поворота шара от времени дается уравнением = А + Вt + Сt2, где A = 5 рад, В = 4 рад/с2, С = -1 рад/с3. По какому закону меняется момент сил, действующий на шар? Какова

1.139 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой m = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Определите: 1) зависимость S(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Fн; 3) зависимость (t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость вала через t = 1 с после начала движения; 5)

1.140 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. (t = 2 с; Fн = 4,31 Н; Ек = 1,32 Дж)

1.141 Два груза массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг связаны невесомой нитью, перекинутой через неподвижный цилиндрический блок массой m0 = 0,8 кг. Найти ускорение грузов а и силы натяжения нитей Fн1 и Fн2. Трением пренебречь. (2,9 м/с2; 13,8 Н; 12,7 Н)

1.142 Блок массой m = 1 кг укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Гиря 2 находится на поверхности стола, а гиря 1 свешивается со стола. Коэффициент трения гири 2 о стол k = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Т1 и Т2 нитей. Блок считать однородным диском. Трением в

25

Момент импульса, энергия, работа при вращательном движении

1.146 Определить момент инерции земного шара J и его момент импульса L относительно оси вращения, проходящей через Солнце перпендикулярно

плоскости орбиты Земли. Землю считать материальной точкой. Масса Земли m = 5, 96 1024 кг, радиус орбиты Земли r = 1,5 1011 м.

(1,3 1047 кг м2; 2,6 1040 кг м2/с) 1.147 Кинетическая энергия диска, вращающегося с частотой = 2 об/мин вокруг оси, лежащей в плоскости диска и проходящей через его центр, Ек = 60 Дж. Найти момент импульса этого диска L. (573 кг м2/с) 1.148 Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью, соответствующей частоте 5 об./с, равна 60 Дж. Найти момент количества движения L того вала. (3,8 кг м2/с) 1.149 Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорением = 0,5 рад/с2 и через t1 = 15 с приобретает момент импульса L = 73,5 кг м2/с. Найти кинетическую энергию колеса Ек через t2 = 20 c после начала

27

Законы сохранения энергии и момента импульса

1.166 Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой 1 = 20 об./мин. В центре платформы стоит человек и держит в

1.168 Человек массой m1 = 60 кг стоит на краю неподвижной платформы массой

28

радиусом R = 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 75 кг, причем на массу колес

1.176 Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, начинает падать на стол. Какую угловую скорость и линейную скорость будут иметь в

конце падения середина и верхний конец карандаша?

( 1 = 2 = 14 рад/с2; 1 = 1,05 м/с; 2 = 2,10 м/с) 1.177 Однородный стержень длиной l = 1 м подвешен на горизонтальной оси,

проходящей через верхний конец стержня. На какой угол надо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохождении положения

1.178 Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол = 600 от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня в момент прохождения через положение

1.179 Однородный стержень длиной 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси? (7,1 м/c)

1.180 Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость цилиндра

1.181 Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, неупруго ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара о стенку 1 = 10 см/с, после удара 2 = 8 см/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся при

1.182 По шороховатой горизонтальной поверхности катится без проскальзывания со скоростью тонкое кольцо. Через какое время после упругого удара о гладкую вертикальную стенку кольцо остановится, если коэффициент трения кольца о поверхность равен k? (t = /(kg))

1.183 Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) – одинакового радиуса R = 6 см и одинаковой массы m = 0,5 кг. Поверхности цилиндров окрашены одинаково. 1) Как, наблюдая поступательные скорости, можно различить их? 2) Найти моменты инерции этих цилиндров. 3) За сколько времени каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, угол наклона

плоскости = 300, начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.

(9 10-4кг м2; 15,9 10-4кг м2; 0,78 с; 0,88 с)

29

2 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1 МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ. ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Основные формулы

1 Масса одной молекулы любого вещества (m0), число молекул (N) в данной массе вещества, число молекул в единице объема - концентрация (n):

где ? – молярная масса газа, NA – постоянная Авогадро, m – масса газа, ν – количество вещества.

2 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов:

P1 nm0 rd 2 ,

3

где кв - средняя квадратичная скорость молекул; Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; n – концентрация молекул; m0 – масса одной молекулы; N – число молекул в обьеме газа V .

3 Зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры

P nkT,

где k – постоянная Больцмана (k=R/NA, NA – постоянная Авогадро). 4 Скорость молекул

наиболее вероятная

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT/dx – градиент температуры; λ – теплопроводность:

1

3 Cv l ,

где Сv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа;

- средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; l -

средняя длина свободного пробега. 10 Закон диффузии Фика:

M D d St , dx

где М – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; dρ/dx – градиент плотности, D – диффузия:

D1 l .

3

11 Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости):

d

F dx S ,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dυ/dx

–градиент скорости; η – динамическая вязкость:

1 l .

3