Лекция 1.

МЕХАНИКА. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ.

1.1.Основные понятия.

В общем смысле механику принято разделять на три части: кинематику статику и динамику. Кинематика занимается геометрическим описанием движения, изучая его причины. Статика изучает условия равновесия тел под действием сил. Динамика изучает законы движения тел в связи с действующими на них силами.

Ни одна физическая задача не может быть решена абсолютно точно, всегда получают приближенные значения с определенной степенью точности. Решая задачу, пренебрегают некоторыми факторами, например, геометрическими размерами тела, принимая его за материальную точку., если по условиям задачи это абстрагирование не существенно. Таким образом, тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.

Вторая абстракция, с которой приходится иметь дело в механике – это абсолютно твердое тело. Всякое тело под действием приложенных к нему сил в большей или меньшей степени деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры. Однако во многих случаях деформациями тел, при рассмотрении их движений можно пренебречь. Таким образом, абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого можно пренебречь.

В классической механике движения материальной точки в пространстве определяется тремя координатами в какой-либо системе и в общем случае описывается скалярными уравнениями.

Механика - это наука об общих законах механического движения и взаимодействия материальных тел и включает в себя следующие разделы: кинематика; динамика материальной точки; законы сохранения; неинерциальные системы отсчета; механика твердого тела; всемирное тяготение; колебательное движение; релятивистская механика; гидродинамика.

Под механическим движением понимается изменение положения тела в пространстве со временем относительно некоторого тела или системы тел, условно принимаемых за неподвижные.

В классической механике движение простейшего тела - материальной точки в пространстве определяется тремя координатами в какой-либо системе и в общем случае скалярными уравнениями

x = x (t)

y= y (t) (1.1)

z = z (t)

Уравнения (1.1) и (1.2) называются кинематическими уравнениями, описывающими закон движения материальной точки.

Эти уравнения могут быть заменены векторным уравнением с использованием радиус-вектора r = r (t) (1.2)

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

Вращательным движением называют такое движение твердого тела, при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Движение характеризуется траекторией, длиной пути, вектором перемещения, скоростью и ускорением.

Линию, которую описывает при своем движении материальная точка, называют траекторией. По виду траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Расстояние, отсчитанное вдоль траектории, называют путем S. Путь является скалярной величиной, причем S ≥ 0.

Вектором перемещения называют приращение радиус-вектора за единицу времени.

1.2. Скорость и ускорение

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиус-вектора ∆ r к промежутку времени  t .

V_ср =

При неограниченном уменьшении  t средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью V

∆t→0

V = lim =

Мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. При уменьшении  t , S (S - скаляр) приближается к  ∆ r  (рис. 1.1) и модуль мгновенной скорости

∆t→0

∆t→0

V = | V |= lim = lim =

Отсюда модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

V = (1.3)

Вектор мгновенной скорости можно разложить на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:

V_x = ; V_y = ; V_z = .

При этом модуль мгновенной скорости.

V = | V | =

С

корость движения может меняться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения a . Мгновенное ускорение движения определяется как предел, к которому стремится среднее ускорение а_ср = при t, т.е.

a = lim = = (1.4)

Разложение ускорения точки на составляющие по осям прямоугольной системы координат имеет вид: , ,

а модуль ускорения .

Следовательно, ускорение есть вектор, равный первой производной по времени t от скорости V или второй производной радиус-вектора по времени.

Полное ускорение a имеет две составляющие, перпендикулярные между собой (рис. 1.2) а_ и a_n. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (a_), а нормальное (центростремительное) по направлению (a_n). При прямолинейном движении а_n = 0. Из рис. 1.2.

рис. 1.2

vVVV

(1.5)

a

a_n

Рассмотрим составляющие ускорения подробнее и получим их формулы. Пусть V скорость точки А, а через время t она изменится до V₂ (точка B).

Перенесем параллельно V₂ в точку A (рис.1.3) и, отложив на нем V_{1 ,}получим подобные треугольники ACD и ABC. При этом SAB, а R-радиус кривизны траектории. Из подобия треугольников:

; Следовательно , отсюда

А

Учитывая произвольность выбора точки А, индекс при V опускается, и формула нормальной составляющей ускорения принимает вид:

(1.6)

Из рис. 1.3. по правилам действий над векторами ,

Переходя к пределам получим

R D

, отсюда . (1.7)

В скалярной форме (1.7^/)

В зависимости от величин a_n и a_ движение приобретает различный характер: от прямолинейного равномерного до криволинейного с переменным ускорением.

1.3 Угловая скорость и угловое ускорение.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси линейные скорости и ускорения для разных его точек будут различны. Поэтому вращательное движение принято характеризовать угловыми величинами, одинаковыми в данный момент времени для всех точек вращающегося тела .

Если за время t тело поворачивается на угол , то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью (рад/с):

(1.8)

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением:

(1.9)

Угловая скорость и угловое ускорение представляют собой осевые векторы (псевдовекторы), направленные вдоль оси вращения. Их направление определяется правилом правого винта .

Они совпадают при ускоренном вращении и противоположны при замедленном.

Если за время dt , тело поворачивается на угол d , то путь, проходимый какой-либо точкой тела будет dS=rd (r-радиус окружности).

Дифференцируя равенство по времени, получим , если и его продифференцировать, то получается соотношение между тангенциальным и угловым ускорениями:

В векторной форме эти равенства записываются как векторные произведения: (1.10) (1.11)