Сборник методичек по физике - УГНТУ / Кондрашев10
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДА И РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ к лабораторной работе № 8-3
Уфа 2009
Учебно-методическое пособие, предназначенное для студентов всех форм обучения, содержат краткуютеориюиописаниелабораторнойработы поисследованию релаксационныхпроцессоввэлектрическихцепях.
Составитель: КондрашевО.Ф., профессор, докт. техн. наук
Рецензент: КудашеваИ. А. , доцент, канд. хим. наук
СУфимскийгосударственныйнефтянойтехническийуниверситет, 2009
1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8-3
"ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДА И РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА″
Цель работы: экспериментальное исследование релаксационных процессов в электрической цепи.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Рассмотрим закономерности разряда и заряда конденсатора
на примере простейшей электрической цепи (рис. I). Ток, текущий 
в данном контуре, можно считать квазистационарным, поскольку во всех точках цепи его мгновенное значение является практически одинаковым в силу несоизмеримости размеров контура и расстоя-
ния, на которое распространяется электромагнитное поле за время 
изменения тока. Условие квазистационарности дает возможность применять известные законы постоянного тока для анализа процес-
сов в рассматриваемом контуре.
Исходя из этого, для мгновенных значений заряда q, силы тока i и напряжения U можно записать:
i = |
U |
|
q = CU , i = |
dq |
(1) |
|
|
, |
|
. |
|
||
R |
dt |
|
||||
Исключая ток и напряжение, получим:
dq |
= − |
q |
|
|
dt |
|
. |
(2) |
|
RC |
||||
Решением данного дифференциального уравнения является экспоненциальная функция:
q = q0 e |
− t |
|
RC , |
(3) |
где q0-начальный заряд конденсатора.
Подобным же образом описываются изменения напряжения и тока в данном контуре:
|
|
|
q0 |
|
t |
|
|
t |
|
q0 |
|
t |
|
t |
|
||||
U = |
q |
= |
e− |
|
=U |
|
e− |
|
,i =− |
dq |
= |
e− |
|
=i e− |
|
, |
|
||
RC |
0 |
RC |
RC |
RC |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
C |
|
C |
|
|
|
dt |
|
RC |
|
|
0 |
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U0, iо - соответственно напряжение и ток в начальный момент времени.
Для заряда конденсатора от источника тока с постоянной электродвижущей силой (ε) при соблюдении условия квазистационарности можно записать, что
i = |
dq |
, R i =ε −U , q = CU , |
(5) |
|
dt |
||||
|
|
|
где dq - увеличение заряда конденсатора за время dt; R - полное сопротивление контура, включающее внутреннее сопротивление источника.
Исключая ток и напряжения из данных выражений, получим дифференциаль-
ное уравнение: |
dq |
= − |
q |
+ |
ε |
, |
|
|
(6) |
||||||
|
dt |
RC |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
которое можно привести к виду (2), введя новую переменную «q - εС»: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
d (q −εC) |
= − |
q −εC |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
RC |
|
|
|
|||||
Решением последнего уравнения является экспоненциальная функция |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
q −εC = A e− |
t |
|
|
|
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
RC |
. |
|
|
|
||||||||||
Значение постоянной А = - εС можно найти из условия: q = 0 при t = 0, так как |
||||||||||||||||||
в начальный момент времени конденсатор не имеет заряда. |
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
− |
t |
|
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
− e |
|
RC |
|
|
|
|
|
RC |
|||||||
|
q = ε C 1 |
|
|
= q0 |
1 − e |
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где q0 = ε·C. Отсюда следует, что при t |
→ ∞ показатель экспоненты последне- |
|||||||||||||||||
го выражения e− |
t |
→ 0, а заряд конденсатора стремится к своему максимальному |
||||||||||||||||
RC |
||||||||||||||||||
значению q0 = εС (рис. 2, кривая I). Аналогичным образом увеличивается и на-
пряжение на конденсаторе, достигающее максимального значения U0 = ε:
|
q |
|
|
− |
t |
|
(10) |
U = |
=ε 1 |
−e |
|
RC . |
|||
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напротив, зависимость силы тока при заряде конденсатора, как и в случае разряда последнего, является убывающей функцией времени:
i = dqdt = εR e−RCt .
t1/2 t
Рис.2.
(11)
График данной функции качественно подобен кривой разряда конденсатора (рис. 2, кривая 2) - зависимости q(t) из выражения (3).
Величина τ = RС, стоящая в показателе экспоненты формул, описывающих процесс заряда-разряда конденсатора, имеет размерность времени и называется временем релаксации. Релаксация — это самопроизвольный процесс перехода системы в равновесное состояние.
В случае разряда конденсатора это процесс, при котором за время τ его заряд убывает в е раз (е = 2,718 - основание натурального логарифма).
Время релаксации электрической цепи можно найти опытным путем, измерив "половинное" время (t1/2), за которое заряд конденсатора уменьшается
вдвое (кривая 2): |
1 q0 = q0 e |
− τ |
2 . |
|
(12) |
|
|
t 1 |
|
|
|
|
2 |
и логарифмируя его, получим: |
|||
Разделив данное уравнение на q0 |
|||||
t1 |
|
|
|
t12 |
(13 |
2 τ |
=Ln2 =0,693, |
|
=τ Ln2. |
||
Последнее выражение связывает время релаксации τ и "половинное" время "t1/2", которое можно найти экспериментально по кривой разряда конденсатора.
3
ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ.
Источник питания, звуковой генератор (ЗГ), электронный осциллограф (ЭО), преобразователь импульсов (ПИ), два магазина сопротивлений (МC) и ма-
газин емкостей (МЕ).
Принципиальная электрическая схема и блок-схема лабораторной установки изображены на рис. 3 и 4.
|
|
ПИ |
МС |
МС |
|
R2 |
|
|
|
R1 |
ЭО |
ЗГ |
ЭО |
МЕ |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
ПИ |
|
|
|
|
Рис. 3
Рис. 4
Синусоидальное напряжение звукового генератора (ЗГ) в преобразователе импульсов (ПИ) превращается в прямоугольные импульсы, которые далее пода-
ются на сопротивление R1 (рис.3). |
В момент времени t1 (рис. 5) кон- |
|
|||||||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
денсатор начинает заряжаться через |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивление R2: |
напряжение на |
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нем возрастает от нуля до U0 по экс- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поненциальному закону (участок аb). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
В момент времени t2 |
прямоугольный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
импульс заканчивается, и конденса- |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор в течение промежутка времени t2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– t3 разряжается уже через сопротив- |
||
|
|
|
|
t1 |
|
t2 |
|
t3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ление R = R1 - R2, снижая свое на- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5. |
|
|
|
|
|
|
пряжение по экспоненциальному за- |
|
||
кону (участок bс). В момент времени t3 от преобразователя импульсов поступает новый импульс и процесс повторяется.
Кривые разряда-заряда конденсатора в данной работе можно наблюдать на экране осциллографа. Время релаксации процесса заряда равно τ3 = R2С, разряда
- τр =(R1+R2)С.
При соответствующем подборе частоты следования импульсов наблюдается почти полная релаксация (кривая I). Однако при больших значениях емкости или сопротивления данной цепи конденсатор успевает полностью заряжаться или разряжаться за промежутки времени t2-t1 или t3-t2 (кривая 2). Более полную релаксацию в этом случае можно обеспечить, изменяя частоту следования импульсов (частота звукового генератора) или их скважность (П).
Скважность прямоугольного импульса есть величина, определяемая отношением периода импульса (Т) к его длительности (τ):
|
(14) |
|
П = |
Т |
. |
|
||
|
τ |
|
4
В обозначениях последнего рисунка этот параметр рассчитывается как:
П = |
t3 −t |
. |
(15) |
|
|||
|
t2 −t1 |
|
|
ПОДГОТОВКА ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ К ИЗМЕРЕНИЯМ
Изучить панели управления приборов, привести их в исходное положение,
установив соответствующие кнопки и переключатели в следующие позиции*. Звуковой генератор:
•- тумблер СЕТЬ - нижнее положение;
•- переключатель формы сигнала - нижнее положение;
•- ручка регулировки выходного напряжения - крайнее левое по-
ложение.
Электронный осциллограф (рис.6):
1 |
|
|
|
|
|
17 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
15 |
5 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
Рис.6.
1, 2, 3, 4 – ручки регулировки яркости, фокусировки луча и освещения шкалы; 5 – выключатель; 6, 11 – вход каналов А и В; 7, 10 – ручки смещения луча по вертикали для каналов А и В; 9- переключатель каналов; 8, 10 – регуляторы усиления сигнала каналов; 13, 14– переключатели режима и источника синхронизации; 15– регулятор уровня напряжения синхронизации; 16 – ручка смещения луча по горизонтали; 17 – регулятор частоты синхронизации.
• кнопка СЕТЬ (5) |
в отжатое положение; |
•ручки управления лучом (1- 4) 
среднее положение;
•переключатель ОДНОКР/ЖДУЩ/АВТ (13) 
АВТ;
•переключатель СИНХР/РЕЖИМ (9) 
А;.
•переключатель ВНУТР/ВНЕШН/СЕТЬ (14) 
ВНУТР.
Магазины сопротивлений:
•установить нажатием соответствующих кнопок следующие значения сопротивлений: R1=100 Ом, R2=1 кОм.
*Примечание: для упрощения процесса подготовки приборов к работе необходимые позиции ручек управлении и рекомендуемые диапазоны частот отмечены красными метками
5
Магазин емкостей:
•установить с помощью соответствующих кнопок емкость, равную
С= 1·10-3 мкФ.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение 1. Измерение кривых заряда и разряда конденсатора
1. Включить тумблеры СЕТЬ на лабораторном стенде и приборах. Прогреть приборы в течение 5 мин. Привести приборы в рабочее положение.
1.1.Электронный осциллограф:
•ручками (1, 2, 3 ) установить оптимальную яркость и фокусировку луча.
1.2.Звуковой генератор:
•установить произвольное значение частоты в диапазоне, отмеченном на шкале красными метками;
•ручку регулировки выходного напряжения перевести в среднее положение
2.Получите на экране осциллографа удобное для измерений (устойчивое и
смаксимально возможной амплитудой) изображение 1 - 2 периодов заряда-
разряда конденсатора с помощью переключателей V/ДЕЛ (8), ВРЕМЯ/ДЕЛ (17) и регулятора уровня напряжения синхронизации (15) осциллографа*.
Совместите начало кривой заряда с началом сетки экрана осциллографа при помощи ручек перемещения сигнала по горизонтали (7) и вертикали (16).
3.Занесите в табл.1 координаты 5-6 точек кривой заряда (в делениях сет-
ки экрана) и значения цены деления сетки экрана по оси амплитуд kU (снять со шкалы переключателя V/ДЕЛ (8)) и времени kt (снять со шкалы переключателя
ВРЕМЯ/ДЕЛ (17)).
|
|
Экспериментальные данные |
Таблица I |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Примечание |
||
U, дел |
U,. В |
|
t, дел |
t, с |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заряд конденсатора |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
kU = . . . В/дел, |
kt = ... С/дел . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Разряд конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
kU = . . . В/дел, |
kt = ... С/дел . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
*4. Проведите аналогичные измерения по п. 3 для кривой разряда конденсатора.
5.Переведите полученные данные в вольты и секунды, используя значения коэффициентов kU и kt. Результаты занести в табл.1.
6.Постройте на одном графике кривые заряда - разряда конденсатора в ко-
* В случае неустойчивости осциллограммы неподвижность изображения можно обеспечить плавным изменением частоты генератора.
6
ординатах «U – t».
7. Определите по кривым заряда-разряда "половинное" время и рассчитайте
показатели А1 |
и А2 соответственно для заряда и разряда конденсатора: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
t1 |
2 |
, |
|
|
|
A |
= |
|
|
t1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
RC |
|
|
|
|
P |
|
|
(R1 + R2 )C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. Сопоставьте полученный результат с теоретическим значением АТЕОР = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,693. Оцените погрешность измерений по формуле: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ε = |
|
|
− АТЕОР |
|
|
|
|
|
|
|
А3 + АР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
А |
, где |
|
|
= |
|
(17) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
А |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Упражнение 2. Измерение «половинного» времени заряда и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разряда конденсатора. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. Установите кривую заряда конден- |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
сатора на экране осциллографа таким об- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
разом, чтобы средняя горизонтальная ли- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ния сетки (рис.7, прямая 1-1) |
делила им- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
пульс напряжения пополам. Совместите |
|
U0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
начало кривой заряда с любой вертикаль- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ной линией (прямая 2-2) сетки экрана. |
|
|
|
|
|
|
U0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Измерьте в делениях сетки экрана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
"половинное" время заряда конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(τ1/2 ) и занесите его в табл.2. Снимите со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
шкалы переключателя частоты развертки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(рис.6, позиция 17 ) значение коэффици- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.7. |
К определению |
||||||||||||||||||||||||
ента kt и запишите его в таблицу 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«половинного» времени заряда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Опытные и расчетные данные |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Параметры |
|
|
|
|
|
|
|
Заряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разряд |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2, кОм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С, мкф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1/2, дел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1/2, с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kt= ..., Время/дел
3.Аналогичным образом по пп. 1-2 проведите измерения "половинного" времени разряда конденсатора. Данные занесите в табл. 2.
4.Проведите аналогичные измерения "половинного" времени
заряда-разряда при других значениях R2 и С:
а) R2 = I кОм, С = 0,02 ... 0,05 мкФ; б) R2 = 2 ... 5 кОм, С = 0,02 мкФ.
7
5. Рассчитайте по формулам (16) значения показателей А для заряда и разряда и занесите их в табл.2.
6. Сравните полученные значения экспериментально найденных постоянных заряда-разряда А с теоретическим (Атеор= 0,693) и рассчитайте погрешность измерений по формуле (17).
ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ
Соблюдайте общие меры предосторожности при работе с электроприбора-
ми.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что понимается под условием квазистационарности? Как оно применяется в данном случае?
2.Что такое время релаксации? Как оно рассчитывается в данной работе?
3.По какому закону изменяются во времени заряд и напряжение на обкладках конденсатора?
4.Как измеряются амплитуда и период сигналов в лабораторной работе?
5.Что характеризуют показатели А1 и А2?