ЭКЗАМЕН ПО ФИЗИКЕ / Физика / 6

6. Закон сохранения импульса. Принцип реактивного движения. Уравнения Мещерского и Циолковского.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m_1, m₂ .....,m_n и v₁,v₂, .....v_т. Пусть F^ - равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, а F - равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:d/dt (m₁v₁) = F₁ + F_1, d/dt (m₂v₂) = F₂ + F₂ ,d/dt (m_nv_n) = F_n + F_n Cкладывая эти уравнения получим d/dt(m₁v₁ + m₂v₂ + ......+m_nv_n)= F₁ + F₂ + F₂+ F₁ +......... F_n+ F_n Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то d/dt (m₁v₁+m₂v₂ +......+m_nv_n) = F₁ + F₂ +.......+F_n или dp/dt = F₁ + F₂ +.......+F_n Таким образом, производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.Рассматривая замкнутую систему, можем записать

F₁ + F₂ +.......+F_n = 0 .Таким образом, dp/dt = d/dt(m₁v₁ + m₂v₂ + ......+m_nv_n)=0, или dp/dt =  d/dt (m_iv_i)=0, т.е. p =  m_iv_i =const.Это выражение является законом сохранения количества движения: количество движения замкнутой системы сохраняется, т.е.не изменяется с течением времени. Этот закон является фундаментальным законом природы.

Получим уравнение движения тела переменной массы Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда или (2.12)где член называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид: (2.13)Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:откудаили

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m₀, то .

Следовательно,----- формулой К.Э. Циолковского. Из выражения следуют следующие практические выводы:а)чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с.