КИМ6
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.47.А |
|
|
|
|
|
|||
Задача: Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
x2 + y2 |
=1, |
|||||||||||
y ≥ |
3 x , y ≤ |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: 1). |
π |
|
2). |
π |
3). |
π |
4). |
π |
5). |
π |
|
|
|
|
|||
|
9 |
6 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.48.А |
|
|
|
|
|
|||
Задача: Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
x2 + y2 |
=1, |
|||||||||||
x2 + y2 = 4 , y ≥ x , y ≤ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответы: 1). |
5π |
2). |
|
5π |
3). |
5π |
|
4). |
π |
5). |
π |
|
|
|
|||
|
9 |
8 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.49.С
Задача: Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним лепестком линии
ρ = a cos 4θ
Ответы: 1). |
πa2 |
2). |
πa2 |
3). |
πa2 |
4). |
πa2 |
5). |
πa2 |
|
24 |
16 |
12 |
8 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
Номер: 11.50.С
Задача: Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним лепестком линии
ρ = a sin 5θ
Ответы: 1). |
πa2 |
2). |
πa2 |
3). |
πa2 |
4). |
πa2 |
5). |
πa2 |
|
24 |
20 |
10 |
8 |
5 |
||||||
|
|
|
|
|
112
12. Вычисление длин дуг плоских кривых
Номер: 12.1.А
Задача: Найти длину полукубической параболы y2 = x3 от начала координат до точки (4; 8)
Ответы: 1). |
10 |
|
|
|
2). 10 10 −1 |
3). |
|
8 |
|
10 |
10 |
|
|
4). 10 |
|
10 +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
8 |
(10 |
|
10 −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.2.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача: Найти длину дуги параболы y = x 2 от x = 0 до x =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). 0 |
2). 1 |
3). |
1 |
5 + |
1 ln(2 + |
|
5) |
|
4). |
1 |
5 |
− |
1 ln(2 + |
5) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5). |
1 |
|
5 − |
1 ln(2 − |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.3.B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = ln x от x1 = |
3 до x2 |
= |
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
1 |
+ |
1 |
ln |
3 |
|
2). |
1 + |
|
1 |
ln |
|
3 |
|
|
3). 1 + |
|
1 |
ln |
3 |
|
|
4). |
|
1 |
+ |
|
1 |
ln |
5 |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5). |
1+ |
1 |
ln |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.4.A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = x |
|
x от x1 = 0 до x2 |
= 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
31 |
31 + |
|
|
8 |
2). |
8 |
|
31 − |
|
8 |
|
|
3). |
14 |
|
14 − |
14 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
17 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4). |
17 |
|
17 − |
17 |
5). |
31 |
|
31 − |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
27 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.5.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = ln cos x от x1 = 0 до x2 |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Ответы: 1). ln(2 + |
3) |
2). ln(2 − |
3) |
|
|
3). ln(3 + |
2) |
|
|
4). ln(3 − |
2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
5). 2ln(3 + |
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
113
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.6.А |
|
= π до |
|
|
= π |
|
|
|
|||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = ln sin x от x |
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: 1). ln(2 + |
3) |
2). 2 |
|
3). |
3 |
4). 2 ln 3 |
|
5). 2 ln(3 + |
3) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.7.А |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||
Задача: Найти длину дуги линии |
y =1 −ln cos x от x1 = 0 до x2 = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
ln 3 |
4). ln 2 |
|
5). ln 2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||
Ответы: 1). 2 ln 3 |
|
2). |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.8.B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача: Найти длину дуги линии y = |
x от x1 = 0 до x2 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответы: 1). |
1 |
5 + |
1 ln(5 +4 5) |
2). |
1 |
5 + |
1 ln(9 +4 5) |
3). |
1 |
5 + |
1 ln(1+2 |
5) |
|
|||||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
4). |
1 |
5 + |
1 ln(9 + 5 ) |
5). |
1 |
5 − |
1 ln(5 +4 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.9.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача: Найти длину дуги линии y = x |
x от x1 = 0 до x2 |
= 9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответы: 1). |
85 |
85 − |
85 |
2). |
65 |
65 − |
65 |
3). |
85 |
85 − |
85 |
4). 17 17 −17 |
|
|||||||||
|
27 |
|
|
27 |
|
18 |
|
|
18 |
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
9 |
|
5). |
15 |
15 − |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.10.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = 0,25 x 2 |
от x1 = 0 до x2 = 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответы: 1). 2 |
|
2). 2 |
2 −ln( 2 −1) |
3). 2 |
2 +ln( |
|
2 −1) |
4). 2 |
2 +ln( |
2 +1) |
|
|||||||||||
5). |
2 −ln( |
2 −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.11.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = ln 7 −ln x от x1 = |
3 до x2 = |
8 |
|
|
||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
1 + |
1 ln 3 |
2). 1+ |
1 ln |
3 |
|
3). 1 + 1 ln 3 |
|
4). 1 + 1 ln |
5 |
|
5). 1+ 1 ln |
5 |
|||||||||
|
2 |
4 |
2 |
|
4 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
4 |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.12.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = 2 x3 от x1 = 0 до x2 |
=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответы: 1). |
10 |
10 − |
1 |
2). |
10 |
10 − |
2 |
3). |
20 |
10 − |
2 |
4). |
20 |
10 − |
8 |
|
||||||
|
27 |
|
|
27 |
|
27 |
|
|
27 |
|
|
27 |
|
|
27 |
|
|
|
27 |
|
27 |
|
5). |
10 |
10 − |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.13.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти длину дуги линии y =1 −chx от x1 = 0 до x2 |
=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
e |
− |
2 |
|
|
2). |
|
|
e |
− |
|
2 |
|
|
|
3). |
|
e |
|
|
− |
1 |
4). |
e |
− |
1 |
|
|
5). |
e |
|
− |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
e2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 e |
|
|
|
|
4 e |
|
|
|
|
|
2 e |
|
|
|
|
2 2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.14.A(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = 5 −ln cos x от x1 = 0 до |
x2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||
Ответы: 1). 2ln3 |
2). |
|
|
|
3). |
|
|
|
|
4). |
|
5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.15.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача: Найти длину дуги линии y = ln(1 − x2 ) от x1 = 0 до x2 |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
Ответы: 1). |
+ |
ln |
|
|
2). |
|
3 − |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
3). ln 3 − |
|
|
4). |
+ln 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5). 1 + |
1 |
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.16.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти длину линии y = |
|
|
x − x2 + arcsin |
x |
|
|
(10 |
10 −1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). 1 |
2). 2 |
|
|
3). |
|
8 10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
4). 10 10 +1 |
5). |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.17.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти длину линии (y −arcsin x)2 |
=1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10 |
10 −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). 8 |
2). |
8 |
10 |
|
|
3). |
|
8 10 10 |
|
4). 10 |
10 +1 |
|
|
5). |
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.18.B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти длину астроиды x 3 + y3 |
= a 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). a |
|
|
|
|
2). 2a |
|
|
|
3). 3a |
|
|
|
|
4). 4a |
|
|
|
5). 6a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.19.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти длину дуги параболы y = 2 |
|
x от x = 0 до x =1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). 1 |
2 + 1 ln(1+ |
|
2 ) |
|
2). |
1 |
5 + |
1 ln(1+ 2 ) |
3). |
1 |
2 + |
1 ln(1+ |
2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4). 2 +ln(1+ 2 ) |
|
|
|
|
5). |
1 |
5 +ln(1+ 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115
|
|
|
|
Номер: 12.20.С |
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти длину дуги y = arcsin(e−x ) от x = 0 до x =1 |
−1) |
||||||||||||
Ответы: 1). ln(e − e2 +1) |
2). ln(e + |
e2 +1) |
|
3). |
1 ln(e − e2 |
||||||||
4). ln(e − e2 −1) |
5). ln(e + e2 −1) |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Номер: 12.21.А |
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
x = cos t + t sin t |
t |
[0;2π] |
|
|||||||||
|
= sin t − t cos t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
Ответы: 1). π2 |
2). 2π2 |
3). 3π2 |
|
4). 4π2 |
|
5). 5π2 |
|
||||||
|
|
|
|
Номер: 12.22.А |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
= |
2 sin t |
t |
|
|
0; |
π |
|
Задача: Найти длину дуги кривой |
= |
2 cos t |
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
||
Ответы: 1). π |
2). |
π |
3). π2 |
|
4). π π |
|
5). 2π |
|
|||||
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.23.А |
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
x |
= cos t + sin t |
t [0;2π] |
|
|||||||||
|
= cos t −sin t |
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
y |
|
|
|
|
||||
Ответы: 1). π |
2). |
π |
3). 4 |
2π |
|
4). π |
π |
|
|
5). 2 2π |
|
||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.24.А |
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = a(t −sin t) t [0;π] |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y = a(1 −cos t) |
|
|
|
|
||||
Ответы: 1). a |
2). 2a |
3). 3a |
4). 4a |
5). 5a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Номер: 12.25.А |
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти длину дуги кривой x =1 + 2 cos t |
t [0;π] |
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
y = 3 + 2 sin t |
|
|
|
|
|
|||
Ответы: 1). π |
2). |
π |
3). 4 |
2π |
|
4). 2π |
|
5). 2 2π |
|
||||
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.26.А |
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = 2 cos t − cos 2t |
t [0;π] |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y = 2 sin t − sin 2t |
|
|
|
|||||
Ответы: 1). 1 |
2). 2 |
3). 4 4). 6 |
|
5). 8 |
|
|
|
|
|
|
116
|
|
|
|
|
Номер: 12.27.А |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = a(2 cos t − cos 2t) |
t [0;2π] |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = a(2 sin t −sin 2t) |
|
|
|
|||||||||||
Ответы: 1). 2a |
2). 4a |
3). 8a |
|
4). 16a |
|
|
5). 24a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Номер: 12.28.А |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
x |
= 6 cos t |
+8sin t |
t |
[0; |
π/ 2] |
||||||||||||||
|
= 6 sin t −8 cos t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||
Ответы: 1). π |
|
2). 2π |
3). 3π |
4). 5π |
|
|
5). 10π |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Номер: 12.29.А |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = 4(t −sin t) |
t [π/ 2;2π/ 3] |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = 4(1 −cos t) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: 1). 2( |
3 − 2) |
2). 4( |
3 − |
2) |
3). 2 |
3 |
|
4). 3( 3 − |
2) 5). 2 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Номер: 12.30.А |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = a(t −sin t) |
t [0;2π] |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = a(1 −cos t) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: 1). a |
|
2). 6a |
3). 2a |
4). 3a |
|
|
|
5). 5a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Номер: 12.31.А |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: Найти длину дуги кривой |
x |
|
|
t [0;π/ 2] |
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= sin |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы: 1). 1 |
2). 1.5 |
3). 2.5 |
4). 6 |
|
|
|
5). 8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Номер: 12.32.A |
|
t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= cos t + ln tg |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
|
2 t [π/ 4;π/ 2] |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы: 1). |
|
1 |
2). ln 2 |
3). |
ln 2 |
|
4). |
|
2 |
|
|
5). 2ln 2 |
|
|||||||
|
2ln 2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Номер: 12.33.B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = 4 |
|
2 sin t t [0;π] |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y =sin 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: 1). π |
|
2). 2π |
3). 3π |
4). 4π |
|
|
5). 4 2π |
|
|
117
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.34.A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой x = a(cos t + t sin t) |
t [0;2π] |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = a(sin t − t cos t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответы: 1). π2 a |
|
2). 2π2a |
3). 3π2 a |
|
|
|
|
4). 4π2a |
5). 5π2a |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.35.A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
t |
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
x |
|
t [0;ln π] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: 1). |
|
2(π−1) |
2). |
2(8 −π) |
|
|
3). |
|
2(π− |
2) |
4). 2(π− |
2) |
||||||||||||
5). |
|
2(2ln π−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.36.C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
|
|
= cos |
5 |
t |
t [0;π/ 4] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin |
5 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: 1). |
3 |
+ |
3 ln(2 + |
3) |
2). |
5 |
+ |
5 ln(2 + |
|
5) |
3). |
5 |
+ 5 3 ln(2 + |
3) |
||||||||||
|
8 |
|
8 |
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
18 |
|
|
|
|
4). |
3 + |
3 ln(2 + |
3) |
5). |
5 |
+ |
5 3 ln(2 + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
48 |
48 |
|
|
8 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.37.C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
|
|
= cos |
4 |
t |
t [0;π/ 4] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin |
|
4 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: 1). |
1 |
+ |
3 ln(2 + |
2) |
2). |
1 |
+ |
2 ln( |
|
2 −1) |
3). |
1 |
+ |
2 ln(2 + |
2) |
|
||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
4). |
1 |
+ |
2 ln(1 + |
2) |
5). |
1 |
+ |
2 ln(2 + |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.38.C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
x |
= t |
|
|
|
|
t |
[0;1] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
= t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы: 1). |
13 3 − |
1 |
2). 13 13 − |
7 |
|
3). 13 13 − |
8 |
|
4). 13 3 |
− |
3 |
|
||||||||||||
|
|
27 |
|
27 |
|
27 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
27 |
|
|
18 |
|
18 |
|
|
5). |
13 3 − |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
18 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
Номер: 12.39.C
x = t
Задача: Найти длину дуги кривой t [1;9]
y = t2
Ответы: 1). |
|
5 +ln |
11+3 |
13 |
|
2). |
|
3 |
|
13 |
− |
5 |
+ln |
13 +3 |
13 |
|||||||||||
|
2 |
|
3 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 + |
5 |
|||||
3). |
3 |
13 |
− |
5 |
+ln |
11+3 |
13 |
4). |
|
3 |
|
13 |
+ |
5 |
−ln |
11+3 |
13 |
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 + |
5 |
||
5). |
3 |
13 |
+ |
5 |
+ln |
13 +3 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.40.A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t [0; 3] |
|
|||||
Задача: Найти длину петли кривой x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
− |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы: 1). 2 |
3 |
|
2). 3 |
|
3 |
3). |
3 |
|
|
4). 2 |
|
3 |
5). 3 +1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.41.A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
t [0;1] |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы: 1). |
|
3 |
|
2). |
2 |
|
3). |
3 |
4). |
1 |
|
|
|
|
|
|
5). |
4 |
|
|
||||||
|
6 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.42.A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 t |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
t [0;1] |
|
||||||||||||
Задача: Найти длину дуги кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t − t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: 1). |
|
3 |
|
2). |
2 |
|
3). |
3 |
4). |
1 |
|
|
|
|
|
|
5). |
4 |
|
|
||||||
|
6 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.43.A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: Найти длину дуги кривой x = |
|
|
− t |
|
|
t [0;3] |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: 1). 3 |
3 |
|
2). 6 |
|
3). 9 |
4). 12 |
|
|
|
|
5). 15 |
|
|
Номер: 12.44.B
Задача: Найти длину кардиоиды r = a(1 −cos ϕ)
119
Ответ: 1). 2a |
2). 3a |
3). 4a |
4). 6a |
5). 8a |
Номер: 12.45.C
Задача: Найти длину первого витка спирали Архимеда r = 2ϕ |
|
|
Ответы: 1). 2π 1 + 4π2 +ln(2π+ |
1 + 4π2 ) 2). 2π+ ln(2π+ 1 |
+ 4π2 ) |
3). 2π 1 + 4π2 |
4). 2π 1 + π2 +ln(2π+ 1 + π2 ) |
|
5). π 1 + π2 +ln(π+ 1 + π2 )
Номер: 12.46.B
Задача: Найти длину кардиоиды r = a(1 +cosϕ)
Ответы: 1). 2a |
2). 3a |
3). 4a |
4). 6a |
5). 8a |
Номер: 12.47.C
Задача: Найти длину дуги гиперболической спирали rϕ =1, от точки (2;0,5) до
точки (0,5;2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: 1). |
5 |
+ln |
5 |
2). |
5 |
+ln |
2 + 5 |
3). |
5 |
+ ln |
3 + 5 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
4). |
2 |
+ ln |
5 + 2 |
5). |
2 |
−ln |
2 + 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Номер: 12.48.C
Задача: Найти длину дуги логарифмической спирали r = aemϕ (m>0), находящейся внутри круга r = a
Ответы: 1). a 1 + m |
2). |
a 1 |
+ m |
3). |
a 1 |
+ m |
4). |
a 1 + m2 |
|
2 |
m |
2 |
|||||||
|
|
|
|
5). a 1 + m2 m
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 12.49.B |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
Задача: Найти |
длину |
дуги гиперболической |
спирали |
rϕ =1, (от ϕ = |
до |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ2 = |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
||||||
Ответы: 1). ln |
+ |
|
2). ln 2 + |
3). ln 3 + |
4). |
ln |
+ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
5 |
|
|
|
2 |
5 |
|
2 |
12 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5). ln |
5 |
+ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120
Номер: 12.50.B
Задача: Найти длину линии r = a sin3 ϕ3
Ответы: 1). |
3 |
πa 2). 2πa |
3). |
5 |
πa 4). 3πa 5). 4πa |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
121