152

12.Дана функция z = x2 + 2xy +3y2 и две точки A( 2; 1) и B(1,96; 1,04) . Требуется:

1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при

замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z = x2 + 2xy +3y2 в точке C(2; 1; z(2; 1)) .

Вариант 6

Контрольная работа № 1

1. Даны вершины A(−9; 2) , B(3; −3) , C(6; 1) треугольника. Требуется найти:

1)длину стороны BC ;

2)площадь треугольника ABC ;

3)уравнение стороны BC ;

4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

5)длину высоты, проведенной из вершины A ;

6)угол B в радианах с точностью до 0,01.

Сделать чертеж.

2. Даны две точки A(5; 0) и B(1; 4) . Найти отношение, в котором прямая x − 2 y +3 = 0 делит отрезок AB .

3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 5x +3y +10 = 0 , x + y −15 = 0 и через начало координат.

4.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точек A(−4; 3) и B(1; − 2) . Сделать чертеж.

5.Составить уравнения высот треугольника, образованного асимптотами

гиперболы 4x2 −9 y2 +36 = 0 и прямой, проходящей через точки пересечения гиперболы с параболой 4x2 − 27 y = 0 . Сделать чертеж.

6. Дано уравнение параболы y2 −5x + 6 y + 4 = 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение

153

параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.

7. Решить систему линейных алгебраических уравнений: 2x +3y + 4z +3 = 0,

3x + 2 y +5z +1 = 0, 3x + 4 y + z −1 = 0,

а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.

8. Даны векторы ar ={1; 7; 3}, b ={3; 4; 2} , c ={4; 8; 5}, d ={7; 32; 14} в неко-

тором базисе. Показатьr , что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

9. Даны вершины A1 (0; 7;1) , A2 (4;1;5) , A3 (4; 6;3) , A4 (3;9;8) пирамиды. Тре-

буется найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра A1 A2 ;

2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;

3)площадь грани A1 A2 A3 ;

4)объем пирамиды;

5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .

Контрольная работа № 2

1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

154

x = 3cos t,y = 4sin 2 t.

5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования: