139
Вариант 2
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(−7; 3) , B(5; − 2) , C(8; 2) треугольника. Требуется найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. |
На прямой 3x + 4 y −5 = 0 найти точку, равноудаленную |
от точек |
A(−3; − 2) и B(3; 0) . |
|
|
3. |
Найти прямую, проходящую через точку пересечения |
прямых |
3x − y −1 = 0 , x +3y +1 = 0 и параллельно оси абсцисс. |
|
|
4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек F1 (−1; 3) и F2 (7; 3) есть величина постоянная, которой принадлежит
точка P(6; 27
5) . Сделать чертеж.
5.Найти расстояние фокуса гиперболы x2 −3y2 = 6 , абсцисса которого положительна, от диагоналей прямоугольника с вершинами в точках пересечения гиперболы с эллипсом x2 +3y2 =12 . Сделать чертеж.
6.Дано уравнение параболы y2 − 6x + 2 y −11 = 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне-
ние параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
3x + 2 y − z + 2 = 0,2x − y + 3z = 0,
x + 3y − 4z = 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
140 8. Даны векторы ar ={4; 7; 8} , b ={9; 1; 3} , c ={2; − 4; 1}, dr ={1; −13; −13} в
некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (3;3;9) , A2 (6;9;1) , A3 (1; 7;3) , A4 (8;5;8) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
2x5 −3x2 |
+5 |
; |
|
б) |
lim |
2x2 |
−5x − |
3 |
; |
|
||
3x5 + 4x2 |
+1 |
|
x2 |
− x −6 |
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
x→3 |
|
|
|
||||||
в) |
lim |
7 − x − |
7 + x |
; |
г) |
lim sin 4x + sin 2x |
; |
|||||||
|
7x |
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
6x |
|
|
|
||
д) |
lim |
2x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 ln(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Функция y = f (x) |
задана различными аналитическими выражениями для |
|||||||||||||
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
2 |
− 4, |
x < −2; |
x |
|
||
y = 3x + 2, − 2 ≤ x ≤ 0; |
|||
12 − x2 , |
x > 2. |
||
|
|
|
|
3. Найти производные dydx :
|
|
|
x |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
а) |
y = |
|
|
|
; |
б) |
y = 5 |
sin |
x |
; |
|
|
− x2 |
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
y = ln tg3 π |
; |
г) |
y = 4arctg |
1+ 2x ; |
||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
(e y − x)2 = x2 + a2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
141
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
dx |
dx2 |
||||
|
|
|
x = t3 +8t,y = t5 +3t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
а) |
y = (x2 +1)cos |
x ; |
|
|
|
|
|
б) |
y = (x2 − 2) 7 4 + x2 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (12x +3)2 |
|||||||
6. |
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
ln(x − a) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
ln x |
||||||||||||||
|
|
x→a ln(ex − ea ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x |
|
|
|
|
|||||||||
7. |
На линии y = 2x3 − 4x + 7 |
найти точку, в которой касательная к этой ли- |
|||||||||||||||||||||||
нии перпендикулярна прямой |
x + 2 y −3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
||||||||||||||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
y = x3 −9x2 + 24x −15 ; |
|
|
|
|
|
б) |
y = |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 5 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
y = |
|
|
|
, x = 0,98 ; |
|
|
|
|
б) |
y = x |
|
, |
|
|
x = 2,002 . |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
Найти частные производные дz |
, |
|
дz |
функции z = z(x; y) : |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
дx |
|
|
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
z = x2 + xy + y2 ; |
|
|
|
|
|
б) |
z = arctg |
|
x |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||
11. а) Найти производную сложной функции |
z = f (ϕ(t);ψ (t)) : |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x; y) = arccos(x − y) , |
|
ϕ(t) = 3t , |
|
ψ (t) = 4t3 . |
|
||||||||||||||||
|
б) |
Найти частные производные |
|
дz |
, |
дz |
сложной функции |
||||||||||||||||||
|
|
|
дv |
||||||||||||||||||||||
|
|
z = f [ϕ(u; v);ψ (u; v)]: |
|
|
дu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f (x; y) = x ln y , |
|
ϕ(u; v) = u cos v , |
ψ (u; v) = u sin v . |
|
|
|
|||||||||||||||||