Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

	1	∞	∞
f (x) =		∫	∫ f (t)× cos a (t	- x)dt da .	(1.128)

	p 0		−∞
Правая часть		формулы (1.128)		называется интегралом	Фурье для

функции f (x). Это равенство выполняется во всех точках, где функция f (x) непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство

	1 ∞ ∞						1
		∫	∫ f (t)× cos a (t - x)dt da =					× (f (x + 0) + f (x - 0)).
		∫	∫ f (t)× cos a (t - x)dt da =				2	× (f (x + 0) + f (x - 0)).
	p 0		−∞				2
Формулу (1.128) можно представить, раскрывая выражение косинуса
разности, в виде
			f (x) = ∞∫ (a(a)× cos a x + b(a)× sin ax )da ,								(1.129)
				0	∞∫ f (t)× cos a t dt,					∞∫ f (t)× sin a t dt .
где			a(a) =	1		b(a) =			1
где			a(a) =			b(a) =
				p −∞					p −∞

Здесь ясно обнаруживается аналогия с тригонометрическим разложением: лишь параметр k , пробегающий ряд натуральных значений, заменен непрерывно изменяющемся параметром α , а бесконечный ряд – интегралом. Коэффициенты a(α), b(α) также по своим выражениям напоминают коэффициенты ряда Фурье.

1.3.9. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f (x)- функция, удовлетворяющая условиям ∞∫ f (x) dx < ¥ . Тогда

−∞

эту функцию можно представить интегралом Фурье:

f (x) = ∞∫ (a(a)× cos ax + b (a)× sin ax)da,											(1.130)
			0
где					∞∫ f (t)× cos a t dt,					∞∫ f (t)× sin a t dt .
a(a) =				1				b(a) =	1		(1.131)
a(a) =								b(a) =			(1.131)
				p −∞					p −∞
1. Пусть f (x) − четная функция, тогда
a(a) =	1	∞∫ f (t)× cos a t dt =				2	∞∫ f (t)× cos at dt,
a(a) =		∞∫ f (t)× cos a t dt =					∞∫ f (t)× cos at dt,
	p −∞					p 0

(a) = 1 ∞ ( )× a = b p −∫∞f t sin t dt 0,

следовательно, интеграл Фурье (1.130) принимает вид

f (x) = ∞∫ a(a)× cos ada ,			(1.132)
0
где
a(a) =	2	∞∫ f (t)× cos at dt ,	(1.133)

	p 0

правая часть равенства (1.132) называется интегралом Фурье для четной функции.

2. Пусть f (x) − нечетная, тогда

a(a) =	1		∞∫ f (t)× cos a t dt = 0,
a(a) =			∞∫ f (t)× cos a t dt = 0,
	p −∞
b(a) =		1	∞∫ f (t)× sin a t dt =		2	∞∫ f (t)× sin at dt,
b(a) =			∞∫ f (t)× sin a t dt =			∞∫ f (t)× sin at dt,
		p −∞			p 0
следовательно, интеграл Фурье (1.130) принимает вид
f (x) = ∞∫ b(a)× sin ax da,							(1.134)
				0
где
b(a) = p ∞∫ f (t)× sin at dt ,							(1.135)
				2 0

правая часть равенства (1.134) называется интегралом Фурье для нечетной функции f (x).

Заменяя a(α) в формуле (1.132) его выражением, получим

Положим

тогда

∞

f (x) =

× ∫

∫

f (t)× cos at dt

× cos ax da .

∞ f (t)× cos at dt ,

(a) =

∫

× ∞∫ F(a)× cos at dt .

f (x) =

(1.136)

(1.137)

(1.138)

выражение в правой части равенства (1.137) называется косинус - преобразованием Фурье функции f (x), а выражение в правой части равенства

(1.138) называется обратным косинус – преобразованием Фурье.

Положим

S		2	∫
F	(a) =		× ∞ f (t)× sin at dt ,	(1.139)
		p
			0

тогда

∞

f (x) = 2 ∫ F (α) sin αt dt . (1.140)

π 0 S

Интеграл в правой части равенства (1.139) называется синус – преобразованием Фурье функции f (x), а интеграл в правой части равенства

(1.140) называется обратным синус – преобразованием Фурье.

ПРИМЕР 1.33. Представить интегралом Фурье функцию

при

< 1,

f (x) =

при

= 1,

> 1.

при

Решение. Функция f (x)- четная, следовательно, на основании (1.136) имеем

f (x) = ∞∫ a(α) cos αx dα,

a(α) =

∞∫

f (t) cos αt dt =

1∫ f (t) cos αt dt +

+ k ∫ f (t) cos αt dt = 2 ∫ cos αt dt = 2 sin αt

∞

π 1

∞

sin α

π 0

π α

поэтому f (x) =

∫

cos αx dα.

1.3.10. Интеграл Фурье в комплексной форме

Пусть f (x) − функция, удовлетворяющая условию

ее можно представить интегралом Фурье:

	1	∞ ∞
f (x) =		∫	∫	f (t) cos α (t − x)dt dα .
	π
		0	−∞

=2 sin α

πα ,

∞∫ f (t) dt < ∞ , тогда

−∞

Пользуясь свойством четности функции косинуса, интеграл в правой части этого равенства можно переписать так:

f (x) =	1	∞	∞
		∫	∫
	2π
		−∞ −∞

	(1.141)
f (t) cos α (t − x)dt dα .	(1.141)

M	∞		который
Далее рассмотрим интеграл ∫	∫	f (t) sin α (t − x)dt dx ,	который
−M −∞

тождественно равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных

пределах, тогда

lim

∞

∫

∫ f (t) sin α (t − x)dt dα = 0 или

M→∞ −M

−∞

0 =

∞

(1.142)

∫

∫ f (t) sin

α (t − x)dt dα.

−∞

Умножим обе части равенства (1.142) на −

, где i 2

= −1 и сложим с

2π

равенством (1.141), тогда получим

∞

f (x)=

∫

f (t) (cos α (t − x)− i sin α (t − x))dt dα ,

2π

−∞

пользуясь формулой e−i ϕ = cos ϕ − i sin ϕ, имеем

∞

f (x)

∫

∫f (t) e

−iα (t−x ) dt dα .

(1.143)

2π

−∞

Интеграл в правой части формулы (1.143) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f (x).

1.3.11. Преобразование Фурье и его свойства
Пусть f (x)− функция, удовлетворяющая условию	∞∫	f (t)	dx < ∞, тогда
Пусть f (x)− функция, удовлетворяющая условию	∞∫	f (t)	dx < ∞, тогда
	−∞

эту функцию можно представить интегралом Фурье в комплексной форме:

∞

f (x)=

∫

∫f (t)

e−iα (t−x ) dt dα или

2π

−∞

∞

f (x)=

∫

∫f (t) e

−iα t dt

eiαx dα.

(1.144)

2π

−∞

2π

−∞

Положим

F(α)=

∞∫ f (t) e−iαt dt ,

(1.145)

2π

−∞

тогда

f (x)=

∞∫ F(α) eiαx dα .

(1.146)

2π

−∞

Интеграл в правой части равенства (1.145) называется преобразованием Фурье функции f (x), а выражение в правой части равенства (1.146) –

обратным преобразованием Фурье.

Рассмотрим свойства преобразования Фурье.

∞

1. Если F(α) − преобразование Фурье функции f (x) и

∫

f ′(t)

< ∞,

то i α F(α) является преобразованием Фурье функции f ′(x).

−∞

Доказательство. По определению найдем преобразования Фурье f ′(x),

имеем

∞

−iαx

= u, du = −iαe

−iαx

∫ f ′(x) e−iαx dx

2π

−∞

dv = f ′(x)dx, v = f (x)

∞

lim

− i α f (x) e−iαx

∫ iα f

(x) e−iαx dx

2π

A→∞

−A −∞

∞

− i α lim (f (A) e−iαA

− f (− A)

e−iαA )+ i α

∫ f (x)

e−iαx dx

2π

A→∞

−∞

∞∫ f (x) e−iαx dx , так

как

lim f (A) e−iαA

= lim f (− A) eiαA

= 0 ,

2π

−∞

A→∞

тогда

∞∫ f ′(x) e−iαx

dx =

∞∫ f (x) e−iαx dx = i α F(α)

отсюда

2π

−∞

2π

−∞

следует, что преобразованием Фурье функции f ′(x) является функция F(α)i α .

Если

F(α) − преобразование

Фурье

функции

f (x)

∞

∫

x f (t)

dx < ∞ ,

то

F′(α) является

преобразованием

функции

Фурье

−∞

функции − i x f (x).

Доказательство. По определению,

имеем

F(α) =

∞∫ f (x) e−iαx dx ,

2π

−∞

обе части последнего равенства продифференцируем

по переменной

получим

F′(α) =

∞∫ f (x) (− ix) e−iαx dx =

∞∫ (− i xf (x)) e−iαx dx ;

2π

−∞

2π

−∞

отсюда следует, что функция − i x f (x)

имеет своим преобразованием Фурье

функцию F′(α).

ПРИМЕР 1.34. Найти преобразование Фурье функции f (x) = e−

x 2 .

Решение. По определению преобразования Фурье имеем

F(α) =			1		∞∫ f (x) e−iαx

			2π
			2π			−∞
	1	∞ −			1	(x 2 +2 iαx )
		∞ −				(x 2 +2 iαx )
=			∫ e	2		dx =
				2
	2π
	2π	−∞

∞

x 2 −iαx

dx =

∫ e 2

dx =

2π

−∞

∞

−

((x +i α)2 +α2 )

∫ e 2

dx =

2π

−∞

∞

α2

∫ e

−

(x +iα) −

2 dx =

+ i α = t, dx

= dt

то t → ±∞

2π

−∞

если x → ±∞,

∞

α2

∞

∫ e

−

e−

2 dt =

e−

∫ e−

dt =

2π

−∞

e−

α2

= e−

α2

∞

−

t 2

, тогда F(α) = e−

α2

2π

2 , так как

∫ e

dt =

2π

2 .

2π

−∞

x 2 .

ПРИМЕР 1.35. Найти преобразование Фурье функции f (x) = x e−

Решение.

Согласно

второму

свойству

преобразования

Фурье имеем:

функция − i x e−

x 2

имеет своим преобразованием Фурье функцию (F (α))′,

где F (α) = e−

α2

, тогда функция x e−

имеет своим преобразованием Фурье

−

α2

функцию − α e

2 .

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 10 «ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ»

2. Методические указания для студентов

2.1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

2.1.1.Числовой ряд и его сумма

Задана последовательность чисел a1 , a 2 ,K, a n ,K

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Выражение a1 + a 2 +K + a n + K называется

числовым рядом, а числа a1 , a 2 ,K, a n ,K − членами ряда, a n называется его

общим членом. Ряд часто записывают в виде

∞
∑ an .	(2.1)
n=1
Сумму первых n членов числового ряда обозначают через Sn и
называют n − й частичной суммой ряда:

Sn = a1 + a 2 + a 3 + K + a n .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.	Если существует конечный предел S = lim Sn ,
ряд называется сходящимся, а число S - суммой ряда.		n→∞
ряд называется сходящимся, а число S - суммой ряда.
∞
В этом случае пишут ∑ a n = S.
n =1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Ряд называется расходящимся,		если lim Sn	не
существует (в частности lim Sn = ∞ ).		n→∞
существует (в частности lim Sn = ∞ ).
n→∞	∞
	∞
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.	Ряд a n +1 + a n +2 +K = ∑ a k ,	полученный	из
	k =n +1

ряда (2.1) отбрасыванием первых n членов, называется n − м остатком ряда

(2.1).

Если сумму остатка сходящегося ряда обозначить через R n , то

Sn + R n = S .

Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

1.Отбрасывание от ряда или присоединением к ряду конечного числа начальных членов не меняет его сходимости или расходимости.

2.Если ряд (2.1) сходится, то предел его n − го остатка при n → ∞ равен

нулю, т.е.	lim R n = 0 .
	n→∞
3. Если члены сходящегося ряда (2.1), имеющего сумму S, умножить на
число l,	то полученный ряд ∑∞ (l × a n ) будет также сходящимся, а число
	n =1

l ×S - его суммой.

∞	∞
4. Если сходятся ряды ∑ a n , ∑ bn , имеющие соответственно суммы A
n =1	n =1
и B , то сходится и ряд ∑∞ (a n	+ bn ), причем сумма последнего ряда равна
n =1

A+ B.

5.Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (2.1) сходится, то

предел его общего члена равен нулю:	lim a n	= 0 . Отсюда вытекает, что если
	n→∞
lim a n ¹ 0 , то ряд расходится. Если же lim a n		= 0 , то о сходимости ряда еще
n→∞	n→∞

ничего нельзя сказать, но есть смысл исследовать ряд дальше.

ПРИМЕР 2.1. Примером расходящегося ряда, удовлетворяющего необходимому признаку сходимости, является гармонический ряд

∞

1 +

+ K +

+ K = ∑

2 3

n=1

Здесь lim

= 0, но ряд расходится. Это вытекает из того, что Sn

→ ∞

n→∞ n

при n → ∞ . Докажем это.

что возрастающая последовательность {a n }, a n

Известно,

= 1

		1 n				1 n
сходится и ее предел равен e , lim 1	+		= e	при этом e > 1	+		.

n→∞		n				n

= n(ln(1 + n) − ln n)

Логарифмируя это неравенство, имеем ln e > n ln 1

или, деля обе части на n ,

> ln(n + 1) − ln n .

При

n = 1

1 > ln 2

n = 2

> ln 3 − ln 2

n = 3

> ln 4 − ln 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n = n

> ln(n + 1) − ln n

Частичная сумма гармонического ряда, каждый член которой больше соответствующего члена больше суммы ряда.

ln 2 + (ln 3 − ln 2) + (ln 4 − ln 3) + K + (ln(n + 1) − ln n) = ln(n + 1)

удовлетворяет неравенству Sn = 1 +

+ K +

> ln(n + 1), но

lim ln(n + 1) = ∞ откуда следует, что lim Sn = ∞ .

n→∞

ПРИМЕР

2.2. Дан общий член ряда

a n

. Написать первые

+ 1

четыре члена ряда и записать ряд.

Решение. Если n = 1,

то a1 =

; n =

2, a

2 =

; n = 3, a 3

;

4 4

n = 4, a 4 =

. Ряд можно записать в виде

+ 1

+ K +

+ K.

n +

ПРИМЕР 2.3. Найти общий член ряда

100

1000

10000

+ K.

Решение.

Запишем

данный

ряд

следующем

виде:

101

102

+103 + 104 + K.

11 13

Показатель степени числителя совпадает с номером члена ряда, поэтому

показатель степени n − го члена равен n . Числитель n − го члена будет 10n . Знаменатель образуют арифметическую прогрессию с первым членом 7 и разностью 2. Следовательно, знаменатель n − го члена равен 2n + 5 .

Итак, общим членом ряда является a n =

10n

ПРИМЕР 2.4. Найти сумму ряда

2n + 5

его сходимость,

∞

доказать

если

∑

(2n − 1)(2n + 1)

n =1

Решение. Общий член данного ряда a n

. Представим его

(2n − 1)(2n + 1)

виде суммы

простейших

дробей

(2n − 1)(2n + 1)

2n − 1

2n + 1

Определим A и

B , для чего

справа

приведем к

общему знаменателю

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015684 Кб15УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195 Кб5УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015662 Кб78УМК.doc
#
17.03.20151 Мб51УМК.PDF
#
17.03.20153 Мб112УМК.PDF
#
17.03.20153 Мб71УМК.PDF
#
17.03.20154 Мб98УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб67УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб26УМК11.pdf
#
17.03.20152 Мб155УМК6.pdf
#
01.04.2025310 Кб2УМКД Медицина катастроф.doc