УМК
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|
∞ |
|
n |
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
ln |
(n + 1) |
|
|
|
|
||||||||
20. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
21. |
∑ |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
n =1 n 3 + 1 |
|
|
|
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n =1 |
3 n + 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||
22. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
23. |
∑ |
2n sin |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
5 n 4 4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
n + 1 |
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 π |
|
|
|||||||
24. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
25. |
∑ tg |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n =1 n n |
n |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
4 n |
|
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|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
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|
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|
|
|
a |
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
26. |
∑ |
2n arctg |
, a > 0; |
27. |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 3n |
− n 2 |
|
|
3.2.6. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость следующие числовые ряды:
|
∞ |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3n |
|
|
|||
28. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
29. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n =1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
(2 n)! |
|
|
||||||
|
∞ |
n |
3 |
+ 2 n +1 |
|
|
|
|
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
|||||
30. |
∑ |
|
; |
|
|
31. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n =1 2n+5 |
(n 2 +1) |
|
n =1 n n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(n |
2 |
+1) 3 |
n |
|
|
2 |
|
|
π |
||||||||
|
|
|
∑ n |
|
|
|||||||||||||||
32. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
33. |
|
sin |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|||||||
|
|
n 2n 2 |
|
|
|
n =1 |
|
|
||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.7. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды с помощью признака Коши:
∞ |
|
2n 2 |
+ 1 |
n 2 |
|
||
34. ∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
2 |
|
|
||||
|
n |
+ 1 |
|
|
|||
n =1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(n +1)n2 |
||
36. ∑ |
|
|
; |
n n 2 |
|
||
n =1 |
3n |
∞
35. ∑
n =1
∞
37. ∑
n =1
1
ln n (n + 1)
|
2n 2 |
+ 2n +1 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
5n |
+ 2n +1 |
. |
||
|
|
|
3.2.8. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды с помощью интегрального признака Коши:
∞ |
1 |
|
|
38. ∑ |
|
|
; |
n ln 2 |
|
||
n =2 |
n |
∞e− n
40.∑ ;
n =1 n
|
∞ |
n |
|
|
||
39. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
+ 4 |
||||
|
n =1 n 2 |
|
|
|||
|
∞ |
ln n |
||||
41. |
∑ |
|
|
|
. |
|
|
(ln 2 |
|
||||
|
n =2 n |
n +1) |
Исследовать на сходимость следующие числовые ряды различными способами:
∞ |
1 |
+ n 2 |
∞ |
n n |
|||
42. ∑ |
|
|
|
; |
43. ∑ |
|
; |
|
|
|
|
||||
n=1 1 |
+ n 4 |
n =1 ln n (n +1) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44. |
∑ n 0,01; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 + n |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
46. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
(n !)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
48. |
n∑=1 |
|
(2 n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n 2 + 2n + ln n |
|||||||||||||||||
|
n =2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
52. |
∑ |
1 − сos |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
2 |
+ 2 |
− |
|
n |
2 |
− 2 |
|
|||||
54. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
ln n |
n |
|
|
|
||||||||
56. |
∑ |
1 − |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
2 + 3n |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
58. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n =1 |
|
|
2 + 3n 2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
45. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n =1 |
|
n 2 − ln n |
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
42n (n!)3 |
||||||||||||||||||||||
47. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(3 n)! |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
49. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
51. |
∑ arctg |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53. |
∑ |
( n + 2 − 2 n +1 + n ); |
|||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
55. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n =1 n 3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
57. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
(2n −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
n + 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
sin |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
59. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Исследовать на абсолютную сходимость следующие числовые ряды: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
60. |
|
1 |
− |
1 |
− |
1 |
+ |
1 |
|
− |
1 |
|
− |
1 |
+ K (плюс, два минуса, плюс, два минуса и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.д.). |
|
|
5 |
10 |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
61. 1 − |
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ K |
+ K |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
1 |
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
62. 1 − |
1 |
|
− |
1 |
|
+ |
1 |
− |
1 |
+ K + |
|
1 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
− |
1 |
+ K. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n − 2 |
|
|
|
|
|
|
3n −1 |
|
|
|
3n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
π n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
63. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
; |
|
|
|
|
|
|
|
64. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n + sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
∞ |
ln 2 n cos π n |
∞ |
|
(−1)n |
|
|
||
65. ∑ |
8 |
; |
66. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
n =1 |
n |
n =2 |
3 |
n |
+ (− |
1)n |
3.2.9. Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие числовые ряды:
∞ |
(−1)n−1 |
∞ |
(−1)n |
||
67. ∑ |
|
|
; |
68. ∑ |
; |
|
|||||
n =1 |
|
n |
n =1 |
ln n |
|
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
∞ |
(−1)n−1 (n − 3) |
|||||||||||||
69. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
70. |
∑ |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
||||
|
n 1 |
n ln n |
|
|
|
|
n =4 |
|
|
n |
−1 |
||||||||||
|
= |
(− 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∑∞ |
n−1 |
|
∞ |
(−1)n−1 tg |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
71. |
|
; |
72. |
∑ |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n =1 (2n + |
|
1)n |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
4n |
|||||||||
73. |
∞ |
(−1)n −1 |
74. |
∞ |
(−1)n−1 n |
||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
; |
|
∑ |
|
n |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
n =2 |
n ln n |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5 2 − n 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(− |
1)n |
|
|
|
(−1)n ( |
|
|
− |
|
); |
|||||||||
75. |
∑∞ |
ln n; |
76. |
∑∞ |
|
n 2 + 3n +1 |
n 2 − 3n +1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =1 |
3 n 4 + n |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
3.2.10. Установить сходимость следующих рядов; найти формулы для оценки их остатков; сколько членов ряда, следует взять, чтобы обеспечить указанную точность ε? Вычислить сумму ряда с этой точностью.
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
ε = 0,1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
77. |
|
|
|
|
, |
78. |
∑ |
|
|
|
|
, |
ε = 0,01; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n =1 n 2 |
|
n |
|
|
n =1 n 6 |
+1 |
|
|
|||||||
|
∞ |
(−1)n−1 |
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
79. |
∑ |
|
, |
ε = 0,001; |
80. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
, ε = 0,001 |
|||
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||
|
n =1 |
|
n! |
|
|
n =1 n(n |
|
+1) |
3.2.11. Вычислить суммы следующих рядов с указанной точностью ε :
81. |
∞ |
(−1)n−1 |
ε = 10−4 ; |
∞ |
(−1)n−1 |
∑ |
, |
82. ∑ |
, ε = 10−6 |
||
|
n =1 |
n 4 |
|
n =1 |
n 6 |
|
∞ |
n −1 |
|
|
|
|
(−1) |
, ε = 10−4 . |
|
|
|
83. |
∑ |
|
|
||
(2n −1)4 |
|
|
|||
|
n =1 |
|
|
|
3.2.12. Оценить остаток следующих рядов:
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
84. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|||
|
|
(n +1)ln |
3 |
(n +1) |
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
n =1 |
|
85. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
n 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
||||
|
∞ |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|||
86. |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
87. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n =1 en 2 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
2n +1 |
||||||||
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n−1 |
|||||||
88. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
89. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n =1 n(n |
|
+1) |
|
|
|
n =1 n − ln n |
3.2.13. Найти область сходимости следующих рядов.
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
cos n x |
|
|
|
|
||||||||||
|
∑ (−1) |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
90. |
|
|
; |
|
|
91. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n =1 n 2x−1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
x |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
92. |
∑ 2n tg |
|
|
|
; |
93. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 n ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
− 3x + 2 |
|
n |
||||||
|
∑ n sin |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||||||||||
94. |
3 |
n |
; |
95. |
∑ |
n |
|
1 |
|
x |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
x |
|
+ 3x + 2 |
|
∞ |
x n |
|
∞ |
1 + (5x) |
2n |
||
96. ∑ |
|
|
; |
97. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
− x n |
(− x)n |
|
||||
n =1 1 |
|
n =1 |
|
|
3.2.14. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках:
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
98. |
∑ x n , [0,5,0]; |
|
|||||
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
100. |
∑∞ |
(−1)n−1 x 2n , (−1,1); |
|||||
|
n =1 |
2n −1 |
[0,10]; |
||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
||
102. |
∑ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
n =1 2n−1 |
1 + n x |
|
∞
99. ∑
n =0
∞
101. ∑
n =1
∞
103. ∑
n =1
(−1)n x n , |
[0,1]; |
|||
|
n + 1 |
|
|
|
|
1 |
, (1 + δ, ∞), где δ > 0 ; |
||
|
|
|||
|
n x |
|
|
|
1 |
, |
(− ∞; ∞). |
||
|
|
|||
|
x 2 + n 2 |
3.2.15. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках:
|
∞ |
x |
n |
|
[−1,1]; |
|
∞ |
sin |
2 |
nx |
|
, (− ∞;+∞); |
|||||||
104. |
∑ |
|
, |
105. |
∑ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n =1 n 2 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n 3 +1 |
|
|
|
|||||||
|
∞ |
e |
cos nx |
(− ∞; ∞); |
|
∞ |
(x − |
2) |
n |
ln n |
|
[0,4]; |
|||||||
106. |
∑ |
|
|
|
|
, |
107. |
∑ |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2 2n |
||||||||||||
|
n =1 n ln 2 |
n |
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
, (− ∞;+∞); |
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
, (− 5; ∞); |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
108. |
∑ |
|
|
|
|
|
109. |
∑ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =1 |
x 2 + n 3 |
|
|
|
|
n =1 x + 5n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
(− ∞; ∞); |
|
∞ |
|
|
|
|
x |
2 |
|
[−100,100]. |
||||
110. |
∑ arctg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
111. |
∑ |
ln 2 1 |
+ |
|
|
, |
|||||||
x |
2 |
+ n |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ln n |
|
3.2.16. Найти область сходимости следующих степенных рядов:
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n−1 |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
112. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
113. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n =1 n(n + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
114. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n =1 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
(2n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
3n x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(x −1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
116. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n =0 |
|
|
|
|
(1 + 4n)5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 2n (n + 3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 5)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n! (x +10)n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
118. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
119. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n =1 3 |
n +1 |
|
n 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
(x −1)n |
|
|
n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(3 − 2x)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
120. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
121. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n =5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n − ln 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
(x + 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
122. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 − |
|
123. |
∑ |
x + |
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
124. |
∑ |
(n a −1)x n , a > 0; |
|
|
|
|
|
125. |
∑∞ |
(n x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 (n!)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2.17. Следующие функции разложить в ряд Тейлора по степеням x и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
указать области сходимости полученных рядов к своим суммам: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
126. сos 5x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127. e3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128. e−x 4 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
129. sh x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130. |
|
|
|
|
|
|
|
131. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
e |
x |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||
132. |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134. |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 + 3x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
135. arcsin x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137. x 5 ln(1 + x 2 ); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136. x cos |
|
x; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
138. ln(x + |
|
); |
139. sin 2 x; |
|
|
|
|
140. ch 2 x. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.2.18. Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности
указанной точки x 0 . Найти |
область сходимости |
|
найденных разложений к |
||||||||||||
своим суммам: |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
141. |
ln x, x 0 |
142. |
|
x 5 , |
x 0 = −2; |
||||||||||
143. |
1 |
, x |
0 = −2; |
144. |
1 |
|
, x 0 |
= −3; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
+ x |
||||||||||||
|
|
3 + x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
= 3; |
146. |
ex , |
x 0 |
= 1; |
|
|
|||
145. |
, |
x 0 |
|
||||||||||||
|
|
5 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
147. |
sin π x , |
x 0 |
= 2; |
148. |
|
|
|
1 |
|
|
, |
x = −2. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
− 4x + 3 |
|
3.2.19. Представить в виде рядов следующие интегралы:
|
1 |
|
|
|
e−x2 |
|
|
|
x |
arcsin x |
|
|
|||||||
149. |
∫ x 2 |
dx; |
150. |
∫ |
|
dx; |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
ln(1 + x) |
|
|||||||
151. |
∫ |
|
|
|
; |
|
152. |
∫ |
dx; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
1 |
+ x 3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
153. |
∫ cos x 3 dx; |
154. |
∫ |
dx |
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 − x15 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
2 |
|
|
|
|
||
|
∫ |
1 |
+ x |
3 |
|
−1 |
|
156. |
∫ |
dx. |
|||||||||
155. |
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.20. Найти сумму следующих рядов и указать область их сходимости к своим суммам:
|
∞ |
(n +1)x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x n +1 |
|
|
|
|
||||||||
157. |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
158. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n(n +1) |
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
159. |
∑ |
|
|
(n +1)(x 3 +1) |
; |
160. |
∑ |
+ |
|
x n ; |
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n |
|
|
+1 |
|||||
|
∞ |
|
|
|
x |
4n+3 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
161. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
162. |
∑ n x 2n −1 ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n =0 |
|
|
(4n −1)(4n + 3) |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
163. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
164. |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n =1 n(1 − 2x)n |
|
|
|
|
|
|
|
n =1 x n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
ln x |
n+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
165. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
166. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n =1 |
(1 + x 2 ) |
|
|
3.2.21. Вычислить суммы следующих числовых рядов:
167. |
∞ |
(−1)n−1 |
|
168. |
∞ |
(−1)n−1 |
|||||||||
∑ |
; |
|
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
n =1 |
|
|
n |
|
|
n =1 |
|
2n −1 |
||||||
|
∞ |
(−1)n−1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
||||
169. |
∑ |
; |
|
170. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
n |
||||||||||||
|
n =1 4n − 3 |
|
|
n =1 n 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
2n |
|
|
∞ |
(−1) |
n −1 |
|||||||
171. |
∑ |
|
|
|
; |
|
172. |
∑ |
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n =1 n 5n |
|
|
n =1 n 4n |
|||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
173. |
∑ |
|
|
|
|
; |
174. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n =2 n(n −1) 2n |
|
|
n =1 |
(n 2 − 5n + 4) 5n |
||||||||||
|
∞ |
n 2 |
|
|
∞ |
|
n(2n + 1) |
||||||||
175. |
∑ |
|
; |
|
|
176. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n =1 2n |
|
|
n =0 |
|
2n+2 |
3.3.22. Вычислить приближенно с указанной степенью точности α :
|
|
|
|
|
|
|
α = 0,0001; |
|
3 |
|
, |
|
α = 0,0001; |
||||||||||||
177. |
|
|
e, |
178. |
e |
||||||||||||||||||||
179. |
1 |
|
, |
|
α = 0,001; |
180. |
sin1, |
|
|
|
|
α = 0,00001; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
α = 0,001; |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
α = 0,001; |
|||||||||
181. |
80, |
182. |
250, |
||||||||||||||||||||||
183. |
arctg |
1 |
, |
α = 0,001; |
184. |
cos |
|
1 |
|
, α = 0,0001; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
185. |
arcsin |
1 |
, |
α = 0,001; |
186. |
1 |
|
|
|
, |
|
α = 0,001. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
7 136 |
|
|
|
|
|
3.2.23. Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001:
|
1 4 |
e−x 2 |
|
|
|
2 |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
187. |
∫ |
dx; |
188. |
∫ |
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
||||||
189. |
∫ |
sin x 2 dx; |
190. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
ln(1 + x |
2 |
)dx; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
191. |
∫ |
|
|
1 + x 3 dx; |
192. |
∫ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
|
sh x |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
193. |
∫ |
dx; |
194. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 1 + x 5 |
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
1 |
+ x |
4 |
−1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
195. |
∫ |
e x dx; |
196. |
∫ |
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.24. В задачах 197-201 найти шесть членов разложения y(x) решения
дифференциальных уравнений: |
|
||
197. |
y ′′− (1 + x 2 )y = 0, y(0) = −2, y′(0) = 2. |
||
198. |
y ′′= x 2 y − y′, |
y(0) = 1, |
y′(0) = 0. |
199. |
y ′′− y e x = 0, |
y(0) = 1, |
y′(0) = 1. |
200. |
y′ = x 2 + y2 , |
y(0) = 0. |
|
201. |
y′ = e y + xy = 0, y(0) = 0. |
3.2.25. В задачах 202-206 найти ограниченные решения при x → 0 дифференциальных уравнений:
202. |
x 2 |
y ′′+ x y′ + 4x 2 |
− |
1 |
|
y = 0. |
|||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||
203. |
x 2 |
y ′′+ x y′ + x 2 − |
1 |
y = 0. |
|||||||||||
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
204. |
y ′′+ |
1 |
|
y′ + |
1 |
y = 0. |
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
205. |
y ′′+ |
1 |
y′ + 4y = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x
206. x y ′′+ 1 y′ + 1 y = 0.
24
3.2.26.Проинтегрировать при помощи рядов следующие дифференциальные уравнения и найти область сходимости:
207. y′ − 2xy = 0, y(0) = 1.
208.4xy′′ + 2y′ + y = 0.
209.9x(1 − x)y′′ −12y′ + 4y = 0.
210.y′′ + xy′ + y = 0.
211.y′′ − xy′ + y −1 = 0, y(0) = y′(0) = 0.
3.2.27. Следующие функции разложить в ряд Фурье в интервале (− π, π):
212. |
f (x) = −1, |
если − π < x < 0, |
|
|||
|
1, |
если 0 < x < π. |
|
|||
|
|
|
− π < x < 0, |
π |
< x |
< π, |
213. |
0, |
|
2 |
|||
f (x) = |
|
|
π |
|
|
|
|
|
если 0 < x < |
|
|
||
|
b, |
. |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
214. |
f (x) = 0, |
− π < x < 0, |
||||
|
2, |
0 < x < π. |
||||
215. |
f (x) = x. |
|
||||
216. |
f (x) = |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
3.2.28. Следующие функции разложить в ряд Фурье в интервале (− l, l):
217. f (x) = x, |
218. f (x) = ex , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
219. f (x) = |
|
x |
|
, |
|
220. f (x) = x − |
|
x |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.2.29. Следующие функции разложить в интервале (0; π) в ряд Фурье по |
|||||||||||||||||||||||
синусам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
221. f (x) = 2x; |
222. |
f (x) = π − |
x |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
223. f (x) = ch x; |
224. |
f (x) = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.2.30. Следующие функции разложить в интервале (0; π) в ряд Фурье по |
|||||||||||||||||||||||
косинусам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = π − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
225. f (x) = |
1 |
(π − x); |
226. |
x |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
227. f (x) = x sin x; |
228. |
f (x) = sin x . |
|
||||||||||||||||||||
3.2.31. Следующие функции разложить в ряд Фурье в комплексной |
|||||||||||||||||||||||
форме: |
x [− π, π]; |
|
f (x) = sh x, |
x (− π, π); |
|||||||||||||||||||
229. f (x) = ch x, |
230. |
||||||||||||||||||||||
231. f (x) = x 2 , |
x (− π, π); |
232. |
0, |
|
|
|
− π < x < 0, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x < π. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x , |
||||||||||||
233. f (x) = ex , |
x (− l, l); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
234. |
f (x) = cos |
x |
, |
x [− π, π]. |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.32. Следующие функции представить интегралом Фурье:
− x − 2, |
если − 2 < x < −1, |
|
|
|
||||
|
если |
−1 < x < 1, |
|
|
|
|||
x, |
236. f (x) = e |
|
2 |
|||||
235. f (x) = |
|
1 < x < 2, |
−x |
; |
||||
− x + 2, |
если |
|
|
|
||||
0, |
если |
|
x |
|
> 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x, |
если |
|
|
x |
|
|
≤ π, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
237. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, |
если |
x |
≤ |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0, |
если |
x |
> π. |
|
|
|
238. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
если |
|
x |
|
> |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
239. f (x) = |
|
, a > |
0; |
|
|
|
240. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, a |
> 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
a 2 + x 2 |
a 2 + x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.2.33. Найти преобразование Фурье следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
241. f (x) = e−k 2 |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
242. f (x) = x e |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
243. f (x) = e− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
244. f (x) = e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
cos x; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
245. f (x) = e− |
|
x |
|
|
|
|
sin x; |
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
< 2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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246. f (x) = 1, 1 < |
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x |
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> 2. |
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0, |
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3.2.34. Найти косинуспреобразование Фурье следующих функций: |
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cos x, |
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0 ≤ x ≤ π, |
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247. f (x) = |
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x > π. |
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0, |
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248. f (x) = sin x, |
0 ≤ x ≤ π, |
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0, |
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x > π. |
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249. f (x) = 2−x , |
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0 ≤ x < ∞. |
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3.2.35. Найти синуспреобразование Фурье следующих функций: |
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250. f (x) = a x , |
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0 ≤ x < ∞, |
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a > 0; |
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−1, |
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0 ≤ x ≤ |
1 |
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4x |
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, |
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4 |
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251. f (x) = |
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1 |
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0, |
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x > |
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4 |
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252. f (x) = sin x, |
0 ≤ x ≤ π, |
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0, |
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x > π. |
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