УМК
.PDFИз доказанного вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье
можно заменить |
|
|
|
|
промежуток интегрирования (− π; π) |
промежутком |
||||
интегрирования (λ; λ + 2π), то есть можем положить: |
|
|||||||||
|
|
= |
1 |
|
λ+2π |
(x)dx |
|
|||
a |
0 |
|
|
|
|
|
∫f |
|
||
p |
|
|
||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
||||
|
k |
|
1 |
|
λ+2π |
|
||||
|
= |
|
|
|
|
× |
∫ |
f (x)cos kx dx, |
|
|
a |
|
|
p |
|
(1.109) |
|||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|||
|
k |
|
|
|
1 |
λ+2π |
|
|||
|
= |
|
∫ |
f (x)sin kx dx. |
|
|||||
b |
|
p |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
Покажем на примере, как доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.
ПРИМЕР 1.28. Разложить в ряд Фурье f (x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 ≤ x ≤ 2π f (x)= x .
График функции изображен на рис.1.3. Как видно из рис.1.3, функция на отрезке [− π; π] задана двумя формулами
y
2π
π
− 2π π |
0 π 2π 3π 4π |
x |
Рис. 1.3
f (x)= x + 2π, − π ≤ x ≤ 0, |
|
x, |
0 < x ≤ π |
и вычисление коэффициентов ряда Фурье по формулам (1.94), (1.104), (1.106) неудобно, так как в каждом из интервалов интегрирования приходится разбивать на два: от − π до 0 и от 0 до π. В то же время на отрезке [0; 2π] f (x)= x . Поэтому для
вычисления дифференциалов ряда Фурье удобнее формула (1.109) при λ = 0 .
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2π |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a 0 |
|
= |
|
∫ f (x)dx |
= |
∫ x dx |
= |
|
|
|
= 2p, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
p |
|
|
2p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a k |
|
= |
|
× ∫ f (x)cos kx dx = |
|
∫ x |
× cos kx dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 x |
|
2π |
|
|
cos kx |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
× sin kx |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p k |
|
0 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
∫ x ×sin kx dx = |
× |
|
- |
× cos kx |
|
|
|
= - |
|
||||||||||||||||||
bk |
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
0 |
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид
|
1 |
|
|
1 |
|
|
f (x) = p - 2 sin x + |
|
× sin 2x |
+ K + |
|
× sin nx + K . |
|
2 |
n |
|||||
|
|
|
|
Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (то есть кроме точек x = 0, 2π, 4π,K). В этих точках сумма ряда равна
полусумме предельных значений функции справа и слева, в данном случае числу π .
1.3.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть функция f (x) (периодическая, с периодом 2π) условиям теоремы Дирихле.
Если функция |
f (x) четная, то произведение f (x)sin nx нечетная |
|||||
функция: |
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
||
bn |
= |
|
|
× |
∫ f (x)sin nx dx = 0, |
|
p |
|
|||||
|
|
|
−π |
(1.110) |
||
|
|
2 |
|
|
π∫ f (x)cos nx dx. |
|
an |
= |
× |
|
|||
|
|
|||||
|
|
p |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит лишь косинусы:
f (x) = a 0 2
Если f (x)
an
bn
∞ |
|
+ ∑ a n |
× cos nx . |
n =1 |
|
нечетная, то произведение f (x)× cos nx функция нечетная:
π
= 1 × ∫ f (x)cos nx dx = 0,
p −π
(1.111)
π
= 2 × ∫ f (x)sin nx dx. p 0
Отсюда следует, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь
синусы: |
f (x)= ∑∞ |
bn × sin nx . |
|
|
||
|
|
n =1 |
1.29. |
|
|
|
ПРИМЕР |
|
|
|
|
||
Разложить |
в |
ряд |
Фурье |
y |
||
функцию |
|
f (x)= x 2 |
||||
|
|
|
||||
периода |
|
|
T = 2π |
π |
2 |
|
(− π ≤ x ≤ π). График этой |
|
|||||
|
|
функции изображен на рис.1.4. Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье содержит только косинусы
(bk |
= 0). |
|
|
|
Вычислим |
|
|
|
− 4π − 2π − π |
π 2π |
4π |
x |
|||||||||||||||||||
коэффициенты a k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
a 0 |
= |
1 π |
2 |
|
= |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x |
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
p 0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin kx |
|
|
π |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a k |
= |
|
|
|
|
∫x 2 |
× cos kx dx = |
|
|
|
× x 2 × |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
||||||||||
p |
|
p |
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
cos kx |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
- |
|
|
|
|
∫ x × sin kx dx = |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
k × p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p × k |
|
k |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
π |
4 |
|
|
- |
∫cos kx dx = (-1)k × |
, (k = 1,2,K). |
|||
pk 2 |
k 2 |
||||
|
0 |
|
Таким образом, x 2 = p |
2 |
|
∞ |
|
cos kx |
|
|
|
+ 4 × ∑ (-1)k × |
, |
|||||
|
|
||||||
3 |
|
k 1 |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ПРИМЕР 1.30. Периодическая с периодом 2π |
|||||||
следующим образом: f (x)= −1 |
при |
− π ≤ x < 0 |
|||||
|
1 |
при |
0 £ x £ p. |
(- p £ x £ p).
функция f (x) определена
Эта функция нечетная. Тогда ее ряд Фурье содержит только синусы (a k = 0). Вычислим коэффициенты bk :
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
π |
|
|
||||||
bk |
= |
|
|
|
× |
∫ f (x)sin kx dx = |
|
|
|
|
∫ |
(-1)sin kx dx + ∫sin kx dx |
= |
||||||||||
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
p −π |
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
cos kx |
|
|
0 |
|
cos kx |
|
|
|
π |
|
|
2 |
× (1 - cos pk). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
p k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
k |
четном |
|
0 |
||||
b k |
|
4 |
|
|
|
= |
|
k |
нечетном. |
||
|
|
|
при |
||
|
πk |
||||
|
|
|
|
|
Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид
f (x) = |
4 |
sin x |
|
sin 3x |
|
sin 5x |
|
sin (2n + 1) |
|
||
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ K + |
|
|
+ K . |
|
|
1 |
3 |
5 |
2n + 1 |
|||||||
|
π |
|
|
|
|
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. На рис.1.5 показаны график функции f (x) и частичной суммы
|
(x) = |
4 |
|
sin 3x |
|
sin 5x |
|
S3 |
|
sin x + |
|
+ |
|
. |
|
|
3 |
5 |
|||||
|
|
π |
|
|
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2π |
− π |
π |
|
2π |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1.3.5 . Ряды Фурье для функции с периодом 2l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пусть f (x) |
есть периодическая функция с периодом 2l . Разложим ее в |
||||||||||||||||||||||
ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле x = |
l |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
t . Тогда функция |
|||||||||||||||||||||||
π |
|||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от t с периодом 2π. |
|
|
||||||
f |
|
t будет |
периодической функцией |
Ее можно |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
разложить в ряд Фурье на отрезке − π ≤ x ≤ π: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
a0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
f |
|
|
t = |
|
|
|
|
+ |
∑ (ak cos kt + bk sin kt), |
|
|
|
(1.112) |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
−π∫ |
f |
|
|
|
t cos kt dt, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
−π∫ |
f |
|
|
|
t sin kt dt. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходим к |
старой |
|
|
переменной |
x : |
|
x = |
l |
|
× t, t = π × x, dt = π × dx , |
||||||||||||||||
p |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|||
тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ak |
= |
1 |
|
|
∫l |
f (x)cos |
k × p x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.113) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
bk |
= |
1 |
|
∫l |
f (x)sin |
k × p x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.114) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Равенство (1.112) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f (x)= |
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
k p |
|
|
|
k p |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ ∑ |
ak × cos |
|
x + bk |
× sin |
|
|
x , |
|
(1.115) |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||
где коэффициенты a k , bk |
вычисляются |
по |
формулам |
(1.113), |
(1.114). Все |
утверждения, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2l .
ПРИМЕР 1.31. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с
периодом 2l , которая на отрезке [− l; l] задается равенством |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
f (x)= 0 |
при |
− l ≤ x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
при |
|
|
|
0 £ x £ l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим коэффициенты Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 l |
|
|
|
1 |
l |
|
l |
|
|
1 |
|
x 2 |
|
l |
|
1 |
|
l2 |
|
l |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a 0 |
= |
|
|
|
∫ f (x)dx = |
|
|
|
∫0 × dx + |
∫x dx |
= |
|
|
× |
|
|
|
|
= |
|
× |
|
= |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
l −l |
|
0 |
|
|
l 2 |
|
0 |
|
l 2 2 |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
k π |
|
1 |
l |
|
|
k π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a k |
= |
|
∫ f (x)cos |
x dx = |
∫ |
x ×cos |
x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
l |
|
l |
0 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
u = x, du = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos |
k p |
x dx = dv, |
v = |
l |
|
sin |
k p |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
kp |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
l × x |
|
k p |
|
l |
|
l |
|
k p |
|
|
|
l |
|
|
kp |
l |
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× sin |
|
|
x |
|
- |
∫sin |
|
|
|
x dx = |
|
|
cos |
|
x |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k p) |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
l |
|
k p |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
((-1)k -1)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
1 |
|
|
- |
|
|
|
при k |
нечетном, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 2 p2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
k 2 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при k |
четном; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
l |
f (x)sin |
k p |
x dx = |
1 |
|
l |
x ×sin |
k p |
x dx = |
|
bk |
|
∫ |
|
∫ |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
l |
−l |
|
l |
|
l |
0 |
|
l |
|
1 |
|
|
l × x |
|
k p |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
l |
|
k p |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
- |
|
|
|
|
× cos |
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
|
∫ cos |
|
|
|
x dx |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
k p |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k p 0 |
|
|
l |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
k p |
|
|
l |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
- |
|
|
|
cos k p + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
l |
|
|
k p |
|
|
|
|
|
k |
p |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
при k нечетном, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
k p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= - |
|
|
|
cos k p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
k p |
|
|
при k |
|
|
четном. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд Фурье для этой функции будет иметь вид
|
|
|
|
|
|
px |
|
3px |
|
|
|
5px |
|
|
|
|||
f (x) = |
l |
|
2 l |
cos |
cos |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
× |
l |
+ |
|
|
l |
|
+ |
|
|
l |
|
+K + |
+ |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
p |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px |
|
2px |
|
|
3px |
|
4px |
|
|
||||||
|
l |
sin |
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
+ |
× |
l |
- |
|
l |
+ |
|
|
l |
- |
|
|
l |
+K . |
||||
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции
Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех значений x и притом имеет период
тем чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией заданной на отрезке [a; b]. Пусть она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Покажем, что данную функцию f (x)в точках непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную
периодическую |
функцию f (x) с периодом |
2 m ³ |
|
b - a |
|
, совпадающую с |
|
|
|||||
функцией f (x) |
на отрезке [a; b]. Разложим |
функцию f1 (x) в ряд Фурье. |
Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a; b] совпадает с заданной функцией f (x), то есть функция f (x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a; b].
Предположим далее, что функция f (x) задана лишь на отрезке [0; l]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, дополним определение функции для значений x произвольным образом на отрезке
Затем по формулам (1.94), (1.104), (1.106) определим коэффициенты ряда Фурье для этой функции. Такое доопределение функции f (x) на отрезке [− l; 0] дает возможность получить различные тригонометрические ряды.
Если дополним определение функции f (x) так, чтобы при − l ≤ x ≤ 0
было f (x)= f (− x), в результате получится четная функция (см. рис.1.6). В
этом случае говорят, что |
функция «продолжена четным образом». Эту |
||
|
|
|
|
|
y |
y |
y = f (x)
− l
− l |
0 |
l |
x |
0 |
l |
x |
Рис. 1.6 Рис. 1.7
функцию разлагают в ряд Фурье, который содержит только косинусы, коэффициенты его определяются по формулам (1.113).
Аналогично, если дополнить определение функции |
f (x) условием |
f (− x)= −f (x), x [− l; 0] так, чтобы она казалась нечетной |
(см. рис.1.7), то |
в ее разложении содержатся только члены с синусами, коэффициенты bn определяются по формулам (1.114).
Таким образом, заданную на отрезке [0; l] функцию f (x), удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье, как по косинусам, так и по синусам.
ПРИМЕР 1.32. Требуется разложить функцию f (x)= x 2 на отрезке [0; π] в ряд по синусам. Продолжая эту функцию нечетным образом, получим
f (x)= |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
0 £ x £ p, |
|||||||
x |
|
|
|
если |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
если |
- p £ x £ 0. |
||||||||
|
|
|
- x |
|
||||||||||||||
По формулам (1.111) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
bk = |
∫ f (x)× sin kx dx = |
∫ x 2 sin kx dx = |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
|||
|
2 |
|
|
|
|
cos kx |
|
π |
|
4 π |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= - |
|
× x 2 |
× |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
∫x × cos kx dx = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
0 |
|
k p 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p × (-1)k |
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
π |
|
1 π |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= - |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
× sin kx |
|
- |
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ sin kx dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k p k |
|
|
|
|
|
0 |
|
k 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
2p |
× (-1)k+1 + |
4 |
|
× ((-1)k -1), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
pk 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
∞ |
|
2p |
|
|
k +1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
так что x |
|
= ∑ |
|
|
|
(- 1) |
|
|
|
+ |
|
|
× ((- |
1) |
- 1) |
× sin kx, x Î [0;p]. |
|||||||||
|
k |
|
|
|
pk |
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.7. Ряд Фурье в комплексной форме
Функция f (x) периода T = 2π удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, тогда
f (x) = |
a0 |
+ ∑∞ |
(an cos nx + bn sin nx). |
(1.116) |
|
||||
2 |
n 1 |
|
||
|
|
= |
|
|
Найдем выражение для sin nx и cos nx через показательные функции.
Для этого напишем формулу Эйлера ei ϕ = cos j + i sin j, где i 2 = -1, заменяя в формуле Эйлера ϕ на nx , получим
ei n x = cos n x + i sin n x , |
|
|
(1.117) |
|||
также заменяя ϕ на − n x , имеем |
|
|
|
|||
e−i n x |
= cos n x - i sin n x . |
|
|
(1.118) |
||
Из равенств (1.117), (1.118) находим |
|
|||||
sin nx = |
1 |
(ei n x - e−i n x ), cos nx = |
1 |
(ei n x + e−i n x ). |
||
|
|
|||||
|
2i |
|
2 |
|
||
Подставляя |
выражение для |
sin nx, cos nx в формулу (1.116), |
производим соответствующие преобразования:
f (x) = |
a |
0 |
∞ |
|
|
1 |
(einx + e |
−inx )- |
|
|
+ ∑ |
an |
× |
|
|||||
2 |
2 |
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
a |
0 |
∞ |
|
1 |
× (an |
- i bn )e |
i nx |
|
= |
|
|
+ ∑ |
|
|
|
+ |
||
2 |
2 |
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i bn |
× |
|
(einx - e |
−inx ) |
= |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
× (an |
+ i bn )e |
|
|
|
−i nx . |
|||
2 |
||||
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
||||||
|
a0 |
= C |
0 |
, |
an − i bn |
= Cn , |
an + i bn |
= C−n . |
2 |
|
2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
При этих обозначениях равенство (1.119) примет вид
(1.119)
(1.120)
f (x) = C0 + ∑∞ (Cn einx + C−n e−inx ). |
(1.121) |
n=1 |
|
Выразим коэффициенты Cn и C−n через интегралы. Пользуясь формулами для определения коэффициентов ряда Фурье, формулу для Cn можно выразить так:
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Сn = |
|
|
|
∫f (x)cos nx dx - i |
∫ f (x)sin nx dx = |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2p −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
1 |
|
π∫f (x)× (cos nx - i sin nx)dx = |
1 |
|
|
π∫f (x)× e−inx dx. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2p −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p −π |
|
||||||||||||
Итак, |
Cn |
= |
1 |
|
|
π∫f (x)e−inx dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2p −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично C−n |
= |
1 |
|
π∫f (x)einx dx, C0 |
= |
1 |
π∫f (x)dx. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p −π |
|
|
|
|
2p −π |
|
|||||||||
Выражения для Сn , C−n , C0 можно объединить в одну формулу |
||||||||||||||||||||||||||||
Сn |
= |
1 |
|
π∫f (x)e−inx dx, |
(n = 0,±1,±2,K). |
(1.122) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Cn , C−n называются |
комплексными коэффициентами Фурье для |
функции |
||||||||||||||||||||||||||
f (x). В этих обозначениях ряд Фурье (1.121) для функции f (x) примет вид |
||||||||||||||||||||||||||||
f (x)= C0 + |
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||
∑ Cn einx + ∑ C−n e−inx = |
|
|
∑Cn e+inx . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n =−∞ |
|
|
|
|
||||||||
Итак, f (x)= |
∑∞ Cn einx , которая называется комплексной формой ряда |
|||||||||||||||||||||||||||
Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) периодическая с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
функция |
периодом 2l , то комплексная |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑∞ Cn ×e |
inπ |
|
|
|
|
||||||
форма ряда Фурье имеет вид f (x) |
|
x |
, коэффициенты Cn этого |
|||||||||||||||||||||||||
e |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда выражаются формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
× ∫l f (x)× e− |
inπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Cn = |
|
l |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
inπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|||
Выражение |
e l |
называется гармониками, числа an = |
называются |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
волновыми числами. Совокупность волновых чисел называется спектром.
1.3.8. Интеграл Фурье
Функция f (x) определена на бесконечном интервале (− ∞; ∞)
∞∫ f (x) dx < ¥ ,
−∞
на любом конечном интервале (− l; l) разлагается ряд Фурье, тогда
f (x) = |
a0 |
∞ |
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
kp |
|||||||||
|
|
+ ∑ |
a |
k |
cos |
|
x + b |
k |
sin |
|
x , |
||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
= |
1 |
× ∫l |
f (t)cos |
kpt |
dt, bk |
= |
1 |
× ∫l |
f (t)sin |
kpt |
dt . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
l −l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
l |
и
(1.123)
(1.124)
(1.125)
Подставляя в ряд (1.124) выражения для коэффициентов a k , bk , получим
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
kpt |
|
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
|||||||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
× ∫ f (t)dt + |
|
|
|
∫ f (t)× cos |
|
|
|
|
dt |
× cos |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2l −l |
|
|
|
l −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
l |
f (t)× sin |
kpt |
|
|
|
|
|
kpx |
|
1 |
|
|
|
l |
|
(t)dt + |
|
|
||||||||||||||||||
+ |
|
∫ |
|
|
|
dt × sin |
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
∫ |
f |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
−l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
∞ |
l |
|
|
|
|
kpt |
|
|
|
kpx |
|
|
|
|
|
kpt |
|
|
kpx |
|
||||||||||||||||
+ |
|
|
|
∑ |
∫ f (t) cos |
|
|
|
× cos |
|
|
|
|
|
+ sin |
|
|
|
|
|
× sin |
|
|
|
dt , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
l k =1 |
−l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|||||||||||
применяя формулу косинуса разности двух аргументов, можно написать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
kp(t - x) |
|
|
|
|||||||||
f (x) = |
× ∫ f (t)dt + |
× ∑ |
|
∫ f (t)cos |
dt . |
(1.126) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2l −l |
|
|
|
|
|
|
l k =1 |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
||||||||||
a1 = π , a |
2 = |
2π |
,K, ak = |
k π |
,K, Dak |
= π . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
l |
|
|
|
l |
|
|
l |
|
l |
|
|
|||
Равенство |
(1.126) при этих обозначениях примет вид |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
l |
1 |
∞ |
l |
|
|
|
|
||||
f (x) = |
|
× |
∫ f (t)dt + |
|
× ∑ |
∫ f (t)cos× ak |
(t - x)dt |
× Dak |
. (1.127) |
|||||
2l |
p |
|||||||||||||
|
|
−l |
k =1 |
−l |
|
|
|
|
Дискретные значения α1 , α 2 ,K, α k ,K можно рассматривать как
значения переменной α , непрерывно меняющийся от 0 до |
+ ∞ ; при этом |
|||
приращение Dak |
= ak +1 - ak |
= π |
стремится к нулю при |
l → +∞ . Тогда |
|
|
l |
|
|
правая часть формулы (1.127) напоминает интегральную сумму для функции
1 |
× ∞∫ f (t)× cos a (t - x)dt от переменной α в промежутке [0; ∞). Переходя к |
|
p |
||
−∞ |
пределу в (1.127) при l → +∞ , αk → 0 , вместо ряда получим интеграл, при этом первый член в правой части равенства (1.127) стремится к нулю, тогда