УМК
.PDF
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
= 1 + |
+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
В разложении |
функции |
|
|
полагаем |
|
, e 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+K, если взять пять членов этого ряда, |
то ошибка вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
3 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
4 |
44 |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
числения не будет превышать 0,00001: R n < |
|
x 4 + 1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4!(4 + |
1 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 0,0001. |
Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
5 4! 5 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ряда, получим 4 |
|
|
|
|
≈ 1,28403. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.36. Вычислить 3 |
|
|
|
|
|
с точностью до 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
3 |
|
|
|
68 = 3 64 + 4 = 4 3 1 + |
|
|
|
|
= 4 1 + |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Раскладываем |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ряд функцию (1 + x) |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(1 + x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 + 1 x + 3 |
|
|
x 2 |
+ 3 |
|
|
|
|
x 3 + K+ = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 1 + |
1 |
x − |
1 2 |
|
x 2 + |
1 2 5 |
x 3 − |
|
2 5 8 |
x 4 + K Полагая в полученном раз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
32 2! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 3! |
|
|
|
|
34 4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ложении |
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
умножая |
|
|
|
|
ряд |
|
на |
|
|
|
|
4, |
|
|
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 68 = 4 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 4 1 + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
≈ 4,082. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 16 |
|
2! 162 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
|
|
взятые |
|
три |
|
члена |
ряда |
обеспечивают |
нужную |
|
|
точность, |
так |
как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R 3 |
|
< 4 |
|
1 2 5 |
|
|
< 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
33 3! 162 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.7. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов
Для приближенного вычисления интеграла b∫ f (x)dx его предварительно
a
представляют в виде числового ряда, для суммирования которого берут необходимое число членов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.37. Вычислить ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
с точностью до 0,0001. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Заменив в подынтегральном выражении cos x его разложени- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ем в степенной ряд, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x 4 |
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 − cos x |
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 + |
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
−K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
= |
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
|
− |
|
|
|
3 |
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2! |
4! |
6! |
|
|
dx |
|
|
|
|
4!3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! 2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
6!5! |
|
|
0 |
|
|
4!3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−K ≈ 0,25 − 0,0017 = 0,2483 |
|
|
|
|
|
так, |
как |
|
R 2 |
|
< a 3 |
= |
|
|
1 |
|
< |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6!5 25 |
|
|
|
|
|
|
|
6!5 |
|
25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
< 0,0001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin t |
|
|
|
|
с точностью ε при любом значении |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.38. Вычислить ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Раскладывая подынтегральную функцию в степенной ряд и ин- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тегрируя ряд, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
x 2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
sin x = ∫ |
|
|
|
|
|
dt = x − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ K + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ K. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3! 5 5! 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем программу для вычисления этой суммы на ФОРТРАНЕ
PROGRAM SI
С ВВОД ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА X И ТОЧНОСТИ E
READ (*, 100) X, E
1ØØ FORMAT (F 5.2, E 1Ø.3)
C ПОИСК ЧИСЛА ЧЛЕНОВ В N − ЧАСТИЧНОЙ СУММЕ
AX=ABC (X) N=Ø
A=AX 2ØØ N=N+1
A=A*(AX/2*N+1))**2*(2*N-1)/(2*N)
IF(A-E) 3ØØ, 2ØØ, 2ØØ
C ВЫЧИСЛЕНИЕ N- ЧАСТИЧНОЙ СУММЫ
3ØØ S=1.Ø
DO 4ØØ J=N,1,-1
4ØØ S=1. Ø-S*(AX/2*J+1))**2*(2*J-1)/(2*J)
S=S*X
C ПЕЧАТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ
WRITE (*, 5ØØ) X, S
5ØØ FORMAT (5 X, `S I (`, F 5.2, `) = `, F 7,5) END
2.2.8. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений
Пусть требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка
y′′ = F(x, y, y′). |
(2.11) |
Если его решение не выражается через элементарные функции в конечном виде, то его решение удается отыскать в виде некоторого степенного ряда. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Способ последовательных дифференцирований применяется, когда требуется найти частное решение y = f (x)уравнения (2.11), удовлетворяющее начальным условиям f (x 0 ) = y0 , f ′(x 0 ) = y′0 . Если в окрестности своих начальных условий (в окрестности точки (x 0 , y0 , y′0 )) уравнение (2.11) удовле-
творяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, то частное решение ищут в виде ряда Тейлора
y = f (x0 )+ |
1 |
f ′′(x0 )(x − x0 ) + |
1 |
f ′′(x |
0 )(x − x0 )2 + |
|||
|
|
|||||||
1! |
2! |
(2.12) |
||||||
|
1 |
f (n ) (x |
0 )(x − x0 )n + K, |
|||||
+ K + |
|
|||||||
|
|
|||||||
|
n! |
|
|
|
|
|||
первые два члена которого известны, так как f (x 0 ) = y0 , f ′(x 0 ) = y′0 . |
||||||||
Из уравнения (2.11) |
f ′′(x 0 ) = F (x 0 , y0 , y1 ). Если затем продифферен- |
цировать уравнение (2.11) по x , то можно найти сколько угодно производных искомой функции f (x) в точке x 0 :
f ′′′(x 0 ) = |
dF(x 0 , y0 , y1 ) |
, |
f (n ) (x 0 ) = |
d n −2 F(x 0 , y0 , y1 ) |
|
,K |
|||||
|
dx n−2 |
||||||||||
|
dx |
|
|
|
d n −2 |
|
|
|
|||
Здесь под символами |
d F |
,K, |
F |
,K понимаются полные производ- |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
dx |
dx n −2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ные по x от функции F(x, y, y′) в предположении, что y и y′ зависят от x , т.е.
dF |
= |
∂F + |
∂F |
dy |
+ |
∂F |
|
d 2 y |
= |
∂F + |
∂F y′ + |
∂F |
F(x, y, y′) и т.д. |
|
|
|
|
∂y′ |
|||||||||
dx |
∂x |
∂y dx |
∂y′ dx 2 |
∂x |
∂y |
|
Подставляя значения найденных производных функции f (x) в разложение (2.12) получаем искомое решение
y = y |
|
+ y′ |
(x − x |
|
) + |
1 |
y ′′(x |
|
)(x − x |
|
)2 |
+K + |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
||||||||
|
0 |
|
2! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 y(n ) (x 0 )(x − x 0 )n +K. n!
Рассмотренный метод можно применить для решения дифференциальных уравнений любого порядка.
Этот метод применим и для построения общего решения дифференциального уравнения, если y0 , y′0 рассматривать как произвольные постоянные.
ПРИМЕР 2.39. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения
уравнения y′′ = x sin y′, удовлетворяющего условиям y(1) = 0, y′(1) = π .
2
Решение. Решение будем искать в виде ряда
y = f (1) + 1 f ′(1)(x −1) + 1 f ′′(1)(x −1)2 + 1 f ′′′(1)(x −1)3 + 1! 2! 3!
+1 f (4) (x −1)4 + K. 4!
Здесь f (1) = 0, f ′(1) = π . Находим производные 2,3,4,5 порядков:
2
f ′′(1) = 1 sin π = 1, f ′′′(x) = sin y′ + x y ′′cos y′, f ′′′(1) = 1, аналогично 2
f (4) (1) = −1, f (v ) (1) = −6 . Подставляя найденные значения производных в ис-
комый ряд, получаем решение данного уравнения
y = π (x −1) + 1 (x −1)2 + 1 (x −1)3 − 1 (x −1)4 − 1 (x −1)5 + K. 2 2 6 24 20
Способ неопределенных коэффициентов применяется, когда требуется найти либо частное решение y = f (x) уравнения (2.11), удовлетворяющее начальным условиям f (x 0 ) = y0 , f ′(x 0 ) = y′0 , либо общее решение в виде степенного ряда по степеням
Если дифференциальное уравнение (2.11) в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования и единственно-
сти решения задачи Коши, то его частное решение можно искать в виде ряда
∞ |
(x − x0 )n , |
|
y = ∑ Cn |
(2.13) |
|
n=0 |
|
|
коэффициенты Cn которого подлежат определению.
Если точка (x 0 , y0 , y′0 ) является особой для уравнения (2.11), то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда
|
∞ |
(x − x0 )n+ρ , |
|
y = |
∑ Cn |
(2.14) |
|
|
n=0 |
|
|
где ρ − не обязательное целое число и подлежит определению вместе с коэффициентами ряда.
Чтобы определить коэффициенты Сn , n = 0,1,2,K, искомого ряда (2.13) или (4) поступают следующим образом:
1)дважды дифференцируют ряд (2.13) или (2.14) с неизвестными коэффициентами и находят y′ и y′′;
2)подставляют разложения y, y′, y′′ в степенные ряды в исходное дифференциальное уравнение (2.11);
3)представляют функцию F(x, y, y′) в виде степенного ряда по степеням
x− x 0 , после чего равенство принимает вид равенства двух степенных рядов;
4)путем приравнивания коэффициентов полученных рядов при одинаковых степенях разностей x − x 0 , получают уравнения для определения неиз-
вестных коэффициентов Cn ; если решение ищется в виде ряда (2.14), то, приравнивая коэффициенты степени разности x − x 0 , получают уравнения для определения ρ ;
5) из полученных уравнений находят коэффициенты Сn и подставляют
их в искомый ряд (2.13).
Полученное в виде ряда решение может быть исследовано на сходимость известными признаками. Если полученный ряд сходится в некоторой области, то обязательно к решению дифференциального уравнения, так как его коэффициенты определялись из условия, чтобы сумма ряда была решением.
ПРИМЕР 2.40. Решить дифференциальное уравнение
x y′ = sin x |
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = |
0 |
|
|
|
|
|
(2.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
Решение. Решение будем искать в виде степенного ряда y = |
∑ a n x n = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
= a 0 + a1 x + a 2 x 2 +K. |
Подставляя в |
(2.15) |
и используя разложение для |
|||||
|
∑ n a n |
x n = ∑ |
(−1) |
|
x |
2n +1 |
|
|
|
∞ |
∞ |
|
n |
|
|
|
|
sin x , получим n =1 |
n =0 |
(2n +1)! |
Приравнивая теперь коэффици- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
енты при одинаковых степенях аргумента, получаем
2n a 2n = 0, |
|
|
|
n = 1,2,3,K |
|
|||
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
(2n +1)a |
2n+1 |
= |
|
, n = 0,1,2,3,K. Поэтому окончательно получаем |
||||
|
|
|||||||
|
|
(2n +1)! |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
(−1)n x 2n +1 |
|
|
|
|
||
y(x) = ∑ |
|
|
|
|
|
|
= Si (x), что совпадает с результатом разложения |
|
|
(2n +1)(2n + |
|
|
|||||
n =0 |
|
1)! |
|
|||||
Si (x) в степенной ряд. |
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 2.41. Решить дифференциальное уравнение |
|
|||||||
|
x2 y′′′′+ x y′′+ (x2 − k 2 )y = 0. |
(2.16) |
||||||
Решение. Одно из решений этого уравнения неограниченно возрастает |
||||||||
при x → 0 другое может быть найдено в виде степенного ряда |
|
|||||||
|
|
|
∞ |
|
= a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + K. |
|
||
|
y = |
∑ an xn |
(2.17) |
|||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
Найдем это второе решение. Дифференцируя (2.17) и подставляя в (2.16), получаем
|
y′ = a1 + |
|
|
∞ |
|
|
2 a 2 x + 3a 3 x 2 + |
4 a 4 x 3 +K = ∑ n a n x n −1 ; |
|
||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
y ′′= 2 a 2 + 3 2 a 3 x + 4 3 a 4 x 2 +K = ∑ n(n −1)a n x n −2 ; |
||||
|
|
|
|
n =2 |
|
|
∞ |
∞ |
|
∞ |
|
x 2 |
∑ n(n −1)a n x n −2 + x ∑ n a n x n −2 + (x 2 − k 2 )∑ a n x n |
= 0 или: |
|||
|
n =2 |
n =1 |
|
n =0 |
|
∞ |
|
∞ |
∞ |
∞ |
|
∑ n(n −1)a n x n + ∑ n a n x n + |
∑ a n x n +2 |
− k 2 ∑ a n x n = 0 . Учитывая то, |
|||
n =2 |
|
n =1 |
n=0 |
n =0 |
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
что |
∑ a n x n +2 |
= ∑ a n −2 x n , и собирая коэффициенты при одинаковых сте- |
|||
|
n =0 |
n =2 |
|
|
|
пенях аргумента x , получаем
∞ (( − ) + ) + ( − ) − =
∑ n 2 k 2 a n a n −2 x n a1 1 k 2 x k 2 a 0 0 .
n =2
Функция, разложимая в степенной ряд, тождественно равна нулю только в том случае, если все ее коэффициенты при степенях аргумента x равны нулю. Поэтому получаем следующую бесконечную систему уравнений для коэффициентов разложения (2.17):
x0 |
: k 2 a0 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(1 − k 2 )a1 = 0 |
|
|
|
||||||
x : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
(4 − k 2 )a2 + a0 |
= 0 . |
|
|||||||
x2 : |
(2.18) |
||||||||||
..................................... |
|
|
|||||||||
|
|
(n 2 − k 2 )a |
|
|
|
|
|
||||
xn |
: |
|
+ a |
n−2 |
= 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
При целом k из первых |
|
k |
|
уравнений получается a 0 |
= a1 = K = a k −1 = 0 . Из |
||||||
|
|
k + 1 − го уравнения следует, что a k − произвольное число, играющее роль
произвольной постоянной. Остальные коэффициенты, определяются из предыдущих посредством рекуррентной формулы, получающейся из (2.18):
|
an = − |
an−2 |
|
, |
n = k + 1, k + 2,K. |
|
|
|
(2.19) |
|||||
|
n2 − k |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку a k −1 = 0, то из (2.19) получаем a k +1 = a k+3 |
= K = 0. Следователь- |
|||||||||||||
но, ненулевыми коэффициенты будут |
только |
коэффициенты с |
индексом |
|||||||||||
n = k + 2l, l = 0,1,2,3,K. Используя |
то, что |
n 2 − k 2 = (k + 2l)2 − k 2 = |
||||||||||||
= 4l(k + l), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a k +2l = − |
a k +2l−2 |
|
= + |
|
a k +2l−4 |
|
|
|
= K |
|
||||
4l(k + l) |
42 l(l −1)(k + l)(k + l −1) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
(−1)l a k |
|
= |
(−1)l k!a k |
|
|
|
|
||||
|
4l l!(k + l)! . |
Подставляя |
получен- |
|||||||||||
4l l!(k + l)(k + l −1)K(k +1) |
ное выражение в (2.17), получаем
∞ |
|
∞ |
k! a |
k |
(−1)l |
|
x k+2 |
l |
||||||
y = ∑ a n x n = |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l!(k + l)! |
|
|
||||||||||||
n =0 |
|
l=0 |
|
|
|
|
||||||||
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
l |
|
||||
|
x k |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
J k (x) = |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l!(l + k )! |
|
|||||||||||
|
|
2 |
l=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
|
||||
|
x |
|
|
4 |
|
|||||
= 2k k!a |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k 2 |
|
|
l!(k + l)! |
(2.20)
называется функцией Бесселя k −го порядка, 2k k!a k = C − произвольная постоянная, поэтому общее решение уравнения (2.16), ограниченное при x = 0 ,
имеет при целом k следующий вид: y(x) = C J k (x).
ПРИМЕР 2.42. Решить задачу Коши
x 2 y ′′+ xy′ + (x 2 −1)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(0)< ∞ |
|
|
|
|
и вычислить |
y(2) с точностью ε = 10−6 . |
|||||||||||
y′(0)= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Согласно приведенным выше выкладкам |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
x |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
x ∞ |
|
4 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y(x)= C J1 |
(x)= C |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
K |
. Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n!(n +1)! |
= C |
2 |
16 |
|
||||||||||||
|
2 n=0 |
|
|
|
|
|
y′(0)= |
C |
= 2 C = 4; решение задачи Коши y = 4 J1 (x). |
||
|
||||
|
2 |
|
|
|
При x = 2 получаем следующий знакочередующийся ряд: |
||||
y(2)= 4 ∑∞ |
(−1)n |
. |
||
|
||||
|
|
n =0 |
n!(n +1)! |
|
Программа на БЕЙСИКЕ может иметь следующий вид: |
||||
10 |
DIM A (1ØØ): A (1)=4 |
|||
20 |
FOR I=1 TO 1ØØ: A (I+1)=-A(I)/(I+1) |
|||
30 |
IF ABS (A(I+I))<1. E-6 THEN 5Ø |
|||
40 |
NEXT I |
|
|
|
50 |
S=Ø: FOR K=I+1 TO 1 STEP 1: S=S+A(K): NEXT K |
|||
60 |
PRINT S: END |
Полученное значение 2,306899309 … и точное значение из справочника
2,306899231 . . .
2.3.РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
2.3.1.Разложение периодических функций в ряд Фурье
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Рядом Фурье периодической функции f (x) с периодом 2π, определенной на отрезке [− π, π], называется функциональный ряд
|
|
a 0 |
+ ∑∞ |
(a n cos n x + bn sin n x), |
||
|
2 |
|||||
|
n =1 |
π∫f (x) cos n dx |
||||
где |
|
a n |
= |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
π −π |
||
|
bn |
= |
1 |
|
π∫ f (x) sin n dx . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
π −π |
Если ряд (1) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом 2π, т.е. S(x + 2π)= S(x).
Теорема 2.2. Если функция f (x) на отрезке [− π, π] имеет конечное чис-
ло экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой
точке отрезка [− π, π] и сумма S(x): |
|
|||
1) S(x)= f (x) во всех точках непрерывности функции f (x), лежащих |
||||
внутри отрезка [− π, π]; |
|
|
||
2) S(x 0 )= |
1 |
(f (x |
0 − 0)+ f (x 0 + 0)), где x |
0 − точка разрыва первого |
|
||||
2 |
|
|
|
|
рода функции f (x); |
|
|
3) S(x)= 1 (f (− π + 0)+ f (π − 0)) на концах отрезка, т.е. при x = ±π .
2
Если функция f (x) задана на отрезке [− l, l], где l − произвольное положительное число, то при выполнении условий выше приведенной теоремы эта функция f (x) может быть представлена в виде ряда Фурье
f (x)= |
a |
0 |
∞ |
|
|
n π |
|
n π |
|
|
|
+ ∑ |
a n |
cos |
|
x + bn |
sin |
|
x , |
||
2 |
|
|
||||||||
|
n =1 |
|
|
l |
|
l |
|
где a n = |
1 |
|
∫l |
f (x)cos |
n π |
|
x dx, bn |
= |
1 |
|
|
∫l |
f (x)sin |
n π |
x dx. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
|
l |
|
l |
−l |
|
|
|
|
l |
|||||||||||||
В случае, |
когда f (x)− четная функция, ее ряд Фурье содержит только |
||||||||||||||||||||||||||||||
свободный член и косинусы, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n π |
|
|
|||||||||||||||||
f (x)= |
a 0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
n π |
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)cos |
|
|
|||||||||||||||||
+ ∑ |
a n |
cos |
x , где a n = |
|
x dx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
l |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если f (x)− |
нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только сину- |
||||||||||||||||||||||||||||||
сы, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x)= ∑∞ |
bn |
sin |
n π |
z dx , где Cn |
= |
2 |
∫l |
f (x)sin |
nπ |
x dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
0 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 2.42. Разложить в ряд Фурье на интервале (− π, π) функцию |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (x)= π, |
|
− π < x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
π − x, |
0 ≤ x < π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы разложимо- |
сти в ряд Фурье, вне предела интервала (− π; π) продолжаем периодически с
периодом T = 2π.
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
(π − x) |
2 |
|
π |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a 0 |
= |
|
|
∫ f (x)dx = |
|
∫ |
πdx + |
∫ |
|
(π − x)dx = |
π x |
− |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
−π |
|
|
|
|
|
π |
−π |
|
|
|
|
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
−π |
|
π |
2 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= π + π = |
3 |
π; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a n |
= |
|
|
∫ f (x)cos n x dx = |
|
|
∫ πcos n x dx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
π |
|
(−1)n +1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
− |
|
|
∫ x cos n x dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
cos n x |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π n 2 |
|
π n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
(x)sin n x dx = |
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
bn |
= |
|
|
|
∫ f |
|
∫ |
πsin n x dx |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n x |
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
− |
|
|
∫ x sin n x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
тогда |
ряд |
Фурье |
для этой функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
3 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π + ∑ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cos n x + + |
|
|
|
|
|
|
|
sin n x . |
Найденные раз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
n =1 |
|
n |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ложения имеет место при всех значениях x (− π; π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.43. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
периодом T = 2, заданную на отрезке (−1,1) уравнением f (x) = x 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график – |
|
дуга |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параболы, заключенная между точками (−1;1) и (1;1). Так как l = 1, то |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a 0 |
= |
|
∫ f (x)dx = 2 ∫ x 2 dx |
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
f (x)cos |
n π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a n |
= |
|
∫ |
d dx = |
2 ∫ |
x 2 cos n |
πdx . Здесь нужно дважды про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
интегрировать по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1) u = x 2 , dv = cos n x dx, du = 2 x dx, |
|
|
v = |
1 |
|
sin n π x; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a n = |
|
|
|
|
sin n π x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
∫ x sin n π x dx = − |
|
|
|
∫ x sin n π x dx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n π 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2) u = x, dv = sin n π x, du = dx, |
v = − |
1 |
|
cos n π x; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|