Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
В граничных узловых точках значения
функции ui,0, ui,m, u0,j, un,j известны точно и не изменяются в ходе расчета.
Для старта итераций необходимо знать начальное приближение, т.е. значения функции на нулевой итерации.
На практике в качестве хорошего начального приближения можно принять значение функции, полученное интерполяцией на область G значений функции в граничных узлах.
181
20.01.2013
Итерации заканчиваются при выполнении условия
|
u(k ) |
|
, |
|
max |
u(k 1) |
|
||
i , j |
i , j |
i , j |
|
|
|
|
|
|
|
где ε - заданная погрешность решения системы сеточных уравнений.
182
20.01.2013
Общая погрешность численного решения уравнения Лапласа складывается из двух погрешностей:
−погрешности конечно-разностной аппроксимации производных в дифференциальном уравнении, зависящей от выбранного шага сетки;
−погрешности приближенного решения системы сеточных уравнений.
183
начало
ввод a,b,h,
n=a/h |
m=b/h |
j=0,m
y=jh |
u0 j f1 ( y) |
un j f2 ( y) |
i=0,n
x=ih |
ui 0 f3 ( x) |
ui m f4 ( x) |
i=1, n-1 |
j=1, m-1 |
ui j 1 |
20.01.2013
p=0 |
i=1, n-1
j=1, m-1
s (ui 1, j ui 1, jui , j 1 ui , j 1 ) / 4
r s ui j
нет
r>p
да
p=r |
ui j s
p |
нет |
|
да
u[n,m]
конец
184
20.01.2013
Для сокращения числа итераций применяют релаксационные методы решения системы сеточных уравнений, в которых итерационный процесс строится по формуле
ui(,kj 1)
где
При
при
при
u(k ) |
1 |
u(k ) |
u(k 1) |
u(k ) |
u(k 1) |
, |
|
||||||
i , j |
4 |
i 1, j |
i 1, j |
i , j 1 |
i , j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
ω- параметр релаксации.
ω> 1 метод верхней релаксации,
ω= 1 метод полной релаксации и
ω< 1 методом нижней релаксации.
185
20.01.2013
Решение задачи теплопроводности
При решении задач для уравнений параболического и гиперболического типов используются различные разностные схемы, среди которых важное место занимают так называемые явные и неявные разностные схемы.
186
20.01.2013
Рассмотрим эти схемы на примере классического уравнения параболического типа - уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции u(x, t), удовлетворяющей в области
G. {0 x l, t 0} уравнению
u a 2u , a const , a 0,
t x2
187
20.01.2013
начальному условию (t = 0)
u( x,0) f ( x)
и граничным условиям
u(0,t) 1(t), u(l,t) 2 (t).
Так ставится задача о распространении тепла в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. В этой задаче a – коэффициент теплопроводности материала стержня.
188
20.01.2013
Замена t at приводит уравнение к
виду |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
, |
|||
|
t |
|
x2 |
|
||
поэтому примем a = 1.
В эволюционной задаче область решения является полубесконечной (t > 0). Для проведения численных расчетов ограничим область по оси времени (0 < t < T).
189
20.01.2013
Решение будем искать методом сеток. В области решения строим равномерную сетку с шагом h по x и τ в направлении t. Координаты узлов обозначим:
xi i h, i 0,1, ,n; t j j , j 0,1, ,m,
где h = l / n и τ = T / m. Искомую сеточную функцию u(x,t) в узлах обозначим ui , j u( xi ,t j ).
190