Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Практическое использование метода сеток представляет достаточно сложную задачу в виду широкого разнообразия типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно-разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем алгебраических уравнений.
171
20.01.2013
Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения
В строительной механике, теории упругости часто приходится решать задачи определения деформаций, возникающих в сечении стержня при кручении. Математическая постановка таких задач сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа или Пуассона.
172
20.01.2013
Требуется найти распределение значений функции u(x, y) (деформации материала) внутри замкнутой области G (по сечению стержня), то есть удовлетворяющей уравнению Лапласа
2u |
|
2u |
0, |
x,y G, |
|
x2 |
y2 |
||||
|
|
|
если ее значения на границе Г области известны (заданы):
u( x, y) Г x, y ,
173
20.01.2013
Для упрощения примем, что область решения G имеет прямоугольную форму G {0 x a, 0 y b}.
Тогда граничные условия можно представить в следующем виде:
u(0, y) f1( y), |
u(a, y) f2 ( y), |
y [0,b]; |
u( x,0) f3 ( x), |
u( x,b) f4 ( x), |
x [0,a], |
где f1( y), f2 ( y), f3 ( x), f4 ( x) - заданные функции.
Функция u(x, y) непрерывна на границе:
f1(0) f3 (0), f1(b) f4 (0), f2 (0) f3 (a), f2 (b) f4 (a).
174
20.01.2013
Для решения используем метод сеток. На первом этапе метода в области решения G строим равномерную сетку из узловых точек. Для упрощения примем, что шаги сетки по x и y
одинаковы, т.е. hx = hy = h. Координаты узловых точек:
xi i h, i 0,1, ,n; y j j h, j 0,1, ,m.
Искомую функцию в узловых точках обозначим ui, j = u(xi , yj).
175
20.01.2013
Область решения задачи Дирихле
y ym=b 
yj+1 
yj |
ui,j |
G |
|
|
yj-1 
hy
y0 x |
0 |
|
xi-1 |
xi |
xi+1 |
xn |
x |
0 |
hx |
a |
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
176
20.01.2013
На втором этапе в каждом внутреннем узле сетки аппроксимируем частные производные, входящие в уравнение Лапласа, конечно-разностными отношениями:
2u |
|
ui 1, j 2ui , j ui 1, j |
, |
||
|
|
|
|||
x2 |
|
|
h2 |
||
2u |
|
ui , j 1 2ui , j ui , j 1 |
. |
||
y2 |
|
||||
|
|
h2 |
|||
177
20.01.2013
Получим систему сеточных уравнений вида
ui 1, j 2ui , j ui 1, j |
|
ui , j 1 2ui , j ui , j 1 |
0, |
|
h2 |
||
h2 |
|
||
i 1,2, ,n 1, |
j 1,2, ,m 1. |
|
|
После несложных преобразований перейдем к виду
u |
ui 1, j ui 1, j ui , j 1 ui , j 1 . |
||
i , j |
|
4 |
|
|
|
||
178
20.01.2013
На третьем этапе нужно решить данную систему уравнений с целью получения значений во всех внутренних узлах сетки. Линейная система с сильно разряженной матрицей коэффициентов наиболее эффективно решается итерационными методами.
179
20.01.2013
Воспользуемся методом Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида
(k 1) |
|
1 |
(k ) |
(k 1) |
(k ) |
(k 1) |
||
ui , j |
|
|
ui 1, j ui 1, j |
ui , j 1 |
ui , j 1 . |
|||
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь верхний индекс означает номер итерации.
Значения ui-1,j и ui,j-1 берутся из (k+1)-й итерации, поэтому обход внутренних
узлов в расчете должен проходить слева направо и снизу вверх.
180