Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Здесь производная функции u(x, y) берется в направлении внешней нормали n по отношению к границе Г области G. При 0, 1 имеем первую краевую задачу для уравнения Лапласа (задача Дирихле), при 1, 0 вторую краевую задачу (задача Неймана), а при , 0 третью краевую задачу (смешанная задача).
161
20.01.2013
Основные понятия метода сеток
Для решения задач с уравнениями в частных производных наибольшее распространение нашел метод конечных разностей. В данном применении он называется метод сеток и сводит решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений с разреженными матрицами коэффициентов.
162
20.01.2013
Этапы метода сеток:
1 этап. Построение в области решения сетки из узловых точек. Конфигурация сетки должна соответствовать характеру задачи и граничным условиям, т.е. вид сетки определяется формой области решения.
163
20.01.2013
Виды сеток
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) г)
а) – прямоугольная, б) – полярная, в) – треугольная, г) – скошенная
164
20.01.2013
2 этап. Конечно-разностная аппроксимация производных искомой функции, входящих в уравнения задачи. С этой целью выбирают вычислительный шаблон разностной схемы - набор (конфигурацию) узлов, с помощью которых производится замена производных конечными разностями. Шаблон, содержащий р узлов, называется р-точечным.
165
20.01.2013
Например, для аппроксимации производных второго порядка, входящих в оператор Лапласа, применяют пятиточечный шаблон
|
|
|
|
|
|
u(x, y + h) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
i, j + 1 |
|
|||
|
|
hy |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
u(x - h, y) |
|
|
|
|
u(x, y) |
u(x + h, y) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i - 1, j |
|
|
|
|
i, j |
|
|
i + 1, j |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
u(x, y - h) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i, j - 1 |
|
|||
166
20.01.2013
В соответствии с выбранным шаблоном получают выражения для аппроксимации частных производных:
2u
x22uy2
u( x h, y) 2u( x, y) u( x h, y) O(h2 ), h2
u( x, y h) 2u( x, y) u( x, y h) O(h2 ). h2
167
20.01.2013
Разностные аппроксимации производных подставляют в уравнения задачи и получают систему алгебраических сеточных уравнений, связывающих значения искомой функции в соседних узлах.
168
20.01.2013
3 этап. Решение полученной системы алгебраических уравнений подходящим методом с целью получения приближенного решения в узлах сетки. Число уравнений системы равно числу узлов сетки и может быть велико. Матрица системы является сильно разреженной (много нулевых элементов).
169
20.01.2013
Прямые методы решения таких систем (если сеточные уравнения – линейные) неэффективны, поэтому их решают с помощью итерационных методов: простой итерации, Зейделя, релаксационных.
170