Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
151
20.01.2013
Основные понятия и классификация уравнений
Многие инженерные задачи в таких областях, как механика сплошных сред, теория упругости, термодинамика и в других, математически описываются дифференциальными уравнениями, в которых искомая величина зависит от нескольких других величин. Такие уравнения называют уравнениями в частных производных. Другое название
- уравнения математической физики.
152
20.01.2013
Общий вид дифференциального уравнения в частных производных
|
|
u |
|
u |
|
|
|
n |
u |
|
f x , ,x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F x x |
,u, |
|
, , |
|
|
|
|||||||
|
|
p1 |
p2 |
|
|||||||||
1 k |
|
x1 |
xk |
pk |
1 |
k |
|
||||||
|
|
x1 |
x2 |
|
xk |
|
|
|
|
||||
Здесь |
p1 p2 |
pk n. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Если f(x1, ..., xk) = 0, то уравнение называется однородным.
Решением уравнения является такая функция u(x1, x2, …, xk), которая обращает его в тождество.
153
20.01.2013
В классических уравнениях математической физики в качестве независимых переменных присутствуют время и пространственные координаты.
Задача называется стационарной, если решение не зависит от времени, иначе -
нестационарной или эволюционной.
Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя - двумерными и т.д.
154
20.01.2013
Такие уравнения классифицируют либо в зависимости от их математической природы, либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач.
Запишем уравнение второго порядка в канонической форме
A x,y |
2u |
B x,y |
2u |
C x,y |
2u |
|
u |
|
u |
|
||
|
2 |
|
|
2 |
F x,y,u, |
|
, |
|
0, |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
x y |
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|||||
где А, В, С – коэффициенты-функции.
155
20.01.2013
Дополнительными условиями могут служить граничные условия (краевая задача) или начальные условия (задача Коши), а также комбинация тех и других (смешанная краевая задача).
Математическая классификация зависит от характера функций А, В и С. Обозначим D = В2 – АС. При D = 0 уравнение называется параболическим,
при D > 0 – гиперболическим,
а при D < 0 – эллиптическим.
156
20.01.2013
Эллиптические уравнения описывают установившиеся (стационарные) процессы, т. е. задача ставится в замкнутой области и в каждой точке границы этой области задаются граничные условия. Примером такого типа уравнения является уравнение Лапласа
u 2u 2u 0.x2 y2
157
20.01.2013
Параболическими и гиперболическими уравнениями описываются эволюционные процессы (процессы "распространения"). В таких задачах на одной части границы ставятся граничные условия, на другой - начальные. Примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности, а гиперболического типа - волновое уравнение.
158
20.01.2013
Постановка стационарной задачи
Классическими примерами уравнений эллиптического типа являются
уравнение Лапласа
2u |
|
2u |
0, |
x,y G |
|
x2 |
y2 |
||||
|
|
|
и уравнение Пуассона
2u |
|
2u |
f ( x, y), |
x,y G, |
|
x2 |
y2 |
||||
|
|
|
159
20.01.2013
где G - замкнутая область. Cтавится краевая задача нахождения распределения внутри области G искомой функции u(x, y), удовлетворяющей этим уравнениям, при условии, что на границах Г этой области значения функции u(x, y) известны (заданы) в виде граничных условий
|
u |
|
u |
|
|
( x, y). |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
n |
|
Г |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160