Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Математические модели используются для оценки состояния систем аналитическим или численным методом путем проведения на компьютере вычислительного эксперимента. Численный метод предполагает преобразование уравнений модели в соответствии с особенностями выбранного метода с целью получения рабочей программы для инженерного анализа.
91
20.01.2013
Математические модели основных задач строительной механики представляют собой краевую задачу для дифференциальных уравнений, или одну из задач линейной алгебры, или задачу математического программирования.
92
20.01.2013
Примеры.
Применение к стержневым системам метода сил или метода перемещений дает математическую модель в виде системы линейных уравнений.
Так для двухэтажной рамы углы поворота
узлов z1, z2, z3, z4
связаны с нагрузкой p следующей системой:
93
20.01.2013
Задачи расчета напряженно-деформированного состояния пластин, плит и оболочек имеют в качестве математической модели краевую задачу для дифференциальных уравнений
равновесия.
Прогиб w(x,y) плиты, изгибаемой нагрузкой p(x,y) удовлетворяет краевой задаче:
4wx4
при
при
2 |
4w |
|
|
4w |
|
p |
|
0 x a |
||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||
2 |
y |
2 |
y |
4 |
D |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
0 y b |
|||
x 0, x a : |
w 0, |
2w |
0; |
|
x2 |
||||
|
|
|
||
y 0, y b : |
w 0, |
2w |
0. |
|
y2 |
||||
|
|
|
94
20.01.2013
Метод конечных разностей для краевых задач
95
20.01.2013
Основные сведения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
F( x, y, y , , y(n) ) 0,
где F - известная функция, связывающая независимую переменную x, искомую функцию у(х) и ее производные вплоть до п-го порядка.
96
20.01.2013
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид
an ( x) y(n) a1 ( x) y a0 ( x) y f ( x) 0.
Например:
у" - х2 у + х2 = 0 – линейное дифференциальное уравнение второго порядка;
у" + e y = 0 – нелинейное уравнение.
97
20.01.2013
Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция
y( x) ( x, c1 , , cn ),
связывающая независимую переменную x и постоянные интегрирования c1,…, cn.
Для определения постоянных c1,…, cn задаются дополнительные условия. Их число равно числу постоянных (максимальному порядку производной).
98
20.01.2013
Если все дополнительные условия задаются только в одной точке совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий называют задачей Коши. В этом случае дополнительные условия называют начальными условиями.
Если же дополнительные условия задаются при нескольких значениях независимой переменной x, то это краевая задача, а дополнительные условия называют граничными или
краевыми условиями.
99
20.01.2013
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Свое первоначальное название этот тип задач получил по простейшим случаям, когда дополнительные условия задаются на концах (краях) отрезка. Примером является задача нахождения статического прогиба y(x) нагруженной струны с закрепленными концами
|
|
a x b; |
y ( x) f ( x), |
||
|
|
|
y(a) y(b) 0, |
|
|
100